矩陣的合同,等價(jià)與相似的聯(lián)系與區(qū)別

1、矩陣的合同，等價(jià)與相似的聯(lián)系與區(qū)別一、基本概念與性質(zhì)（一）等價(jià)：1、概念。若矩陣A可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B,則稱矩陣A與B等價(jià)，記為AB。2、矩陣等價(jià)的充要條件：AbA.B同型，且人r（A尸媽存在可逆矩陣可口Q,使得PAQ二成立3、向量組等價(jià)，兩向量組等價(jià)是指兩向量組可相互表出，有此可知：兩向量組的秩相同，但兩向量組各自的線性相關(guān)性卻不相同。（二）合同：1、概念，兩個(gè)n階方陣A,B,若存在可逆矩陣P,使得ABPTAPB成立，則稱A,B合同，記作AB該過(guò)程成為合同變換。2、矩陣合同的充要條件：矩陣A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則AB二次型xTAx與xTBx有相等的E負(fù)慣性指數(shù)，即有相同的標(biāo)準(zhǔn)型。（三

2、）相似1、概念：n階方陣A,B,若存在一個(gè)可逆矩陣P使得BP1AP成立，則稱矩陣A,B相似，記為AB。2、矩陣相似的性質(zhì)：ATBT,AkBk,A1B1(前提，AB均可逆)A B|E-A|EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩陣相似的充分條件及充要條件：充分條件：矩陣A,B有相同的不變因子或行列式因子。充要條件：AB(EA)(EB)二、矩陣相等、合同、相似的關(guān)系(一)、矩陣相等與向量組等價(jià)的關(guān)系：設(shè)矩陣A(1,2,L,n),B(i,2,L,m)1、若向量組(1,2,L,m)是向量組(1,2,L,)的極大線性無(wú)關(guān)組，則有

3、mn,即有兩向量等價(jià)，而兩向量組線性相關(guān)性卻不同，錢(qián)者一定線性無(wú)關(guān)，而后者未必線性無(wú)關(guān)。而矩陣B與A亦不同型，雖然r(A)r(B)但不能得出AB。2、若m=n,兩向量組(1,2,L,n)(1,2,l,m)則有矩陣A,B同型且r(A)r(B)AB,A;B,ABr(A)r(B)AB。3、若ABr(A)r(B)兩向量組秩相同，兩向量組等價(jià)，即有AB(1,2,L,n)(1,2,L,n)綜上所述：矩陣等價(jià)與向量等價(jià)不可互推。(二)、矩陣合同。相似，等價(jià)的關(guān)系。1、聯(lián)系：矩陣的合同、相似、等價(jià)三種關(guān)系都具有等價(jià)關(guān)系，因?yàn)槿呔哂凶苑葱?、?duì)稱型和傳遞性。2、合同、相似、等價(jià)之間的遞推關(guān)系相似等價(jià)：ABA,

4、B同型且r(A)r(B)AB合同等價(jià)：A;BA,B同型且r(A)r(B)AB相似與合同之間一般情況不能遞推，但有一下附加條件時(shí)可以I、若A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣，則有A,B一定可以合同于對(duì)角矩陣當(dāng)AB時(shí)，|EA|EB|二次型f(x)XTAX與g(x)XTBX有相同的標(biāo)準(zhǔn)型，即二者有相同的正負(fù)慣性指數(shù)A;BAB即有ABA;BABH、存在一個(gè)正交矩陣P,即PTPE使得PTAPB即A;B則有BPTAPP1APAB即有A;BAB田、若A,B實(shí)對(duì)稱，且存在一個(gè)正交矩陣P,則AB時(shí)有ABA;BABIV、ABr(A)r(B)、A;Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)下面討論r(A)r(B)時(shí)AB,A;B,A

5、B成立的條件。由I、H、出的論述可知存在正交矩陣P時(shí)，有PTP1,則r(PTAP)r(A)記BPTAP貝(Jr(A)r(B)此時(shí)A;BABAB即P為正交矩陣時(shí)，由r(A)r(B)AB,A;B,AB(三)1、矩陣等價(jià)：同型矩陣而言一般與初等變換有關(guān)秩是矩陣等價(jià)的不變量，同次，兩同型矩陣相似的本質(zhì)是秩相等2、矩陣相似：針對(duì)方陣而言秩相等是必要條件本質(zhì)是二者有相等的不變因子3、矩陣合同：針對(duì)方陣而言，一般是對(duì)稱矩陣秩相等是必需條件本質(zhì)是秩相等且存在慣性指數(shù)相等，即標(biāo)準(zhǔn)型同由以上知，秩是矩陣等價(jià)的不變量；不變因子是矩陣相似的不變量；特征值是可對(duì)角化矩陣相似的不變量，存在負(fù)慣性指數(shù)是對(duì)稱矩陣合同的不變量，等價(jià)關(guān)于最弱、合同與相似是特殊的等價(jià)關(guān)系