菱形知識講解

1、菱形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理【要點梳理】【高清課堂 特殊的平行四邊形（菱形） 知識要點】要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件. 要點二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱

2、圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分. （2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題. 要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【

3、典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、（2015石景山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點，且AE=AF，連接EF并延長，交CB的延長線于點G，連接BD（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若FGB=30°，GB=AE=1，求AG的長【思路點撥】（1）連接AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EGBD，根據(jù)對邊分別平行證明是平行四邊形即可（2）過點A作AHBC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可【答案與解析】 （1）證明：連接AC，如圖1：四邊形ABCD是菱形，AC平分DAB，且ACBD，AF=AE，ACEF，EGBD又菱形ABCD中，EDBG，四邊形EG

4、BD是平行四邊形 （2）解：過點A作AHBC于HFGB=30°，DBC=30°，ABH=2DBC=60°，GB=AE=1，AB=AD=2，在RtABH中，AHB=90°，AH=，BH=1GH=2，在RtAGH中，根據(jù)勾股定理得，AG=【總結(jié)升華】本題考查了菱形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及直角三角形的性質(zhì)解題舉一反三：【變式1】（2015溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點E是AB上的一點，連接DE交AC于點O，連接BO，且AED=50°，則CBO= 度【答案】50；解：在菱形ABCD中，ABCD，CDO=AED=50

5、6;，CD=CB，BCO=DCO，在BCO和DCO中，BCODCO（SAS），CBO=CDO=50°【高清課堂 特殊的平行四邊形（菱形） 例1】【變式2】菱形ABCD中，AB15，若周長為8，則此菱形的高等于( ) A.B.4C.1D.2【答案】C；提示：由題意，A30°，邊長為2，菱形的高等于×21.類型二、菱形的判定2、如圖所示，在ABC中，CD是ACB的平分線，DEAC，DFBC，四邊形DECF是菱形嗎?試說明理由【思路點撥】由菱形的定義去判定圖形，由DEAC，DFBC知四邊形DECF是平行四邊形，再由123得到鄰邊相等即可【答案與解析】解：四邊形DECF是

6、菱形，理由如下： DEAC，DFBC 四邊形DECF是平行四邊形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四邊形DECF是菱形【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時，首先判定這個四邊形是平行四邊形，再由一對鄰邊相等來判定它是菱形舉一反三：【變式】如圖所示，AD是ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是菱形嗎?請說明理由【答案】 解：四邊形AEDF是菱形，理由如下： EF垂直平分AD， AOF與DOF關(guān)于直線EF成軸對稱 ODFOAF， 又 AD平分BAC，即OAFOAE， ODFOAE AEDF， 同理可得：DEAF 四

7、邊形AEDF是平行四邊形， EOOF 又AEDF的對角線AD、EF互相垂直平分 AEDF是菱形3、如圖所示，在ABC中，BAC90°，ADBC于點D，CE平分ACD，交AD于點G，交AB于點E，EFBC于點F 求證：四邊形AEFG是菱形【思路點撥】由角平分線性質(zhì)易知AEEF，欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFG是平行四邊形或AGGFAE即可【答案與解析】 證明：方法一： CE平分ACB，BAC90°，EFBC， AEEF，1390°，4290° 12， 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG EFAG 四邊形AEFG是平行

8、四邊形 又 AEAG， 四邊形AEFG是菱形 方法二： CE平分ACB，BAC90°，EFBC， AEEF，1390°，4290° 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG 在AEG和FEG中，AEEF，34，EGEG， AEGFEG AGFG AEEFFGAG 四邊形AEFG是菱形【總結(jié)升華】判定一個四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件舉一反三：【變式】如圖所示，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AGDB交CB的延長線于點G (1)求證：DEBF； (2)若G90°，求證四邊形DE

9、BF是菱形 【答案】證明：(1)ABCD中，ABCD，ABCD E、F分別為AB、CD的中點 DFDC，BEAB DFBEDFBE 四邊形DEBF為平行四邊形 DEBF (2)證明： AGBD GDBC90° DBC為直角三角形 又 F為邊CD的中點 BFDCDF 又 四邊形DEBF為平行四邊形 四邊形DEBF是菱形類型三、菱形的應(yīng)用4、如圖所示，是一種長0.3，寬0.2的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長4.2 ，寬2.8的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚試問： (1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊?(2)全部貼滿后，這面墻壁會出現(xiàn)多少個面積相同的菱形?【答案與解析】解：墻壁長4.2，寬2.8，矩形瓷磚長0.3，寬0.2，4.2÷0.314，2.8÷0.214，則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻面 (1)則至少需要這種瓷磚14×14196(塊)(2)每塊瓷磚中間有一個白色菱形，則共有196個白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半另外在同一個頂點處的瓷磚能夠拼成一個淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚面積的一半，有花紋的菱形