閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的影響

1、 具有閉一個(gè)環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)中零點(diǎn)位置不同對(duì)單位暫態(tài)響應(yīng)的影響馬維東 12電本1班 4120208106 摘要二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是典型的二階系統(tǒng)。因此分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，對(duì)于研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的暫態(tài)特性具有重要意義。在實(shí)際工作中，在一定的條件下，常常需要把一個(gè)高階系統(tǒng)降為二階系統(tǒng)來處理，這樣的近似處理可以大大簡(jiǎn)化分析方法，減少計(jì)算量，而且任然不失其運(yùn)動(dòng)過程的基本性質(zhì)。二階系統(tǒng)在欠阻尼時(shí)的響應(yīng)雖有振蕩，但阻尼比取值恰當(dāng)，則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因此在控制過程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)為欠阻尼的情況。大多數(shù)高階系統(tǒng)中含有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)就可以近似的用這對(duì)

2、主導(dǎo)極點(diǎn)所描述的二階系統(tǒng)來表達(dá)。本論文是通過直接求解系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通過對(duì)設(shè)零點(diǎn)系統(tǒng)與未設(shè)零點(diǎn)系統(tǒng)上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等暫態(tài)特性各個(gè)方面的對(duì)比，以及零點(diǎn)位置的變化對(duì)各動(dòng)態(tài)性能變化趨勢(shì)最終找到閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)實(shí)際二階系統(tǒng)的作用效果。關(guān)鍵字：暫態(tài)響應(yīng) 動(dòng)態(tài)指標(biāo) 單位階躍 二階系統(tǒng) 欠阻尼 閉環(huán)零點(diǎn) 0 引言二階系統(tǒng)是工程中常用到的系統(tǒng)，不僅僅是研究二階系統(tǒng)本身，而且研究高階系統(tǒng)也是將其化為二階系統(tǒng)，因此二階系統(tǒng)是個(gè)非常重要的系統(tǒng)，欠阻尼振蕩的二階系統(tǒng)在實(shí)際中可以看成是穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此分析欠阻尼系統(tǒng)具有實(shí)際意義。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)最能反映二階系

3、統(tǒng)的本質(zhì)特性。在實(shí)際生產(chǎn)中，二階系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)，而通過改變開環(huán)放大系數(shù)的方法會(huì)增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，為了滿足這一要求的同時(shí)還能保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的精度，常用設(shè)置零點(diǎn)的方法來做到。本文就是對(duì)閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)影響做了描述。1 二階系統(tǒng)簡(jiǎn)單描述一個(gè)系統(tǒng)的階次是由其最簡(jiǎn)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母S的最高次項(xiàng)決定的。二階系統(tǒng)就是S的最高次項(xiàng)為2的閉環(huán)傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)典型。簡(jiǎn)單來說就是由二階微分方程描述的系統(tǒng)就叫做二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見圖1圖1由圖可知二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為：當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)其響應(yīng)為： 取拉氏逆變換有 其中 圖2二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)仿

4、真圖二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖見圖3：圖3二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性上升時(shí)間 令中 則有 得 峰值時(shí)間 令中 則第一個(gè)峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間 最大超調(diào)量 由于 且得 調(diào)節(jié)時(shí)間 2 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù)帶零點(diǎn)的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見圖4：圖4具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：時(shí)間常數(shù)令，則上式可寫為如下形式： 由式可得，其系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有零點(diǎn)-z，是具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)將式分解，由得 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：為求其階躍響應(yīng)，設(shè)，取初始條件為零，則Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反變換為求出中兩項(xiàng)然后相加即得輸出量，經(jīng)過運(yùn)算得上述式子中的l為極點(diǎn)與零點(diǎn)間的距離，在復(fù)平面上畫

5、出其位置（假設(shè)零點(diǎn)在極點(diǎn)左側(cè)）：Zl-Zjw圖5復(fù)平面上的零點(diǎn)與極點(diǎn)分布由圖5可知：故式子可以寫成：式子中：令，則上式中的可以寫為r代表閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部與零點(diǎn)實(shí)部之比。因此式子可以寫為：由此計(jì)算得到了典型的具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式，即為公式。3 具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)由公式得到了具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式：3.1 上升時(shí)間在動(dòng)態(tài)過程中，系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間稱為上升時(shí)間。根據(jù)定義在公式中令時(shí)，得=0但在期間，即沒有達(dá)到最終穩(wěn)定之前，>0，所以使上式為0的原因是=0，因此討論=0所出現(xiàn)的情況。由=0得：=由上式可以看出上升時(shí)間受到，

6、的影響，當(dāng)，一定的時(shí)候，上升時(shí)間只與有關(guān)。-z-p1z圖6 零點(diǎn)實(shí)部小于極點(diǎn)實(shí)部 圖7 零點(diǎn)實(shí)部等于極點(diǎn)實(shí)部z-z-p1圖8 零點(diǎn)實(shí)部大于極點(diǎn)實(shí)部-p1-zz由圖6，圖7，圖8可以看出隨著z值的減小，零點(diǎn)越來越靠近虛軸，值逐漸增大，由可得逐漸減小。3.2 最大超調(diào)量%最大超調(diào)量發(fā)生在第一周期中時(shí)刻，即導(dǎo)數(shù)為0的時(shí)刻。得因此即 因?yàn)榈谝淮芜_(dá)到最大值經(jīng)過時(shí)間，因此n取值為1，當(dāng)n=1時(shí)，有式子可以看出，的值隨的值增大而減小，結(jié)合圖6，圖7，圖8得到結(jié)論：z值逐漸減小，值逐漸增大，逐漸減小。3.3 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許的范圍而不再超出的動(dòng)態(tài)過程時(shí)間。在動(dòng)態(tài)過程中的偏差為當(dāng)時(shí)采

7、用近似計(jì)算法得到： （或0.02）由此求得調(diào)節(jié)時(shí)間為：，0<<0.9,0<<0.9由上面的兩個(gè)式子可以看出，具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間只與和有關(guān)，與z的大小無關(guān)。3.4 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，波動(dòng)的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為：其中即阻尼振蕩的周期時(shí)間。由上述公式可以看出，振蕩次數(shù)只與與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，因此振蕩次數(shù)不受零點(diǎn)的位置影響，即與零點(diǎn)的大小無關(guān)。3.5取不同零點(diǎn)時(shí)二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)仿真圖 圖9 有零點(diǎn)時(shí)二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)仿真圖（）圖10 有零點(diǎn)時(shí)二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)仿真圖（）圖11有零點(diǎn)時(shí)二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)仿真圖（）4 結(jié)束語(yǔ)1. 通過上述分析可以看出，有具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)與無零點(diǎn)的系統(tǒng)有很大的差別。2. 無零點(diǎn)的上升時(shí)間只與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，而在具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)中，上升時(shí)間還與零點(diǎn)的實(shí)部有關(guān)，反映到圖像上，即零點(diǎn)離虛軸越近上升時(shí)間越小。由可知，r值越大，振蕩性就越強(qiáng)。3. 最大超調(diào)量%也與零點(diǎn)的位置有關(guān)，z值越小，值越大，影響的值變小。4. 調(diào)節(jié)時(shí)間只與阻尼和振蕩角頻率有關(guān)，所以不受零點(diǎn)位置的影響，同樣，振蕩次數(shù)也不受其影響。參考文獻(xiàn)：【1】王建輝