(完整word版)電動(dòng)力學(xué)-郭碩鴻-第三版-課后題目整理(復(fù)習(xí)備考專用)

1、電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答電動(dòng)力學(xué)答案2.設(shè) u 是空間坐標(biāo)x, y, z 的函數(shù)，證明：第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律f (u)dfu，A(u)u dA，dudAduA(u)udu1.根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：證明：(AB) B (A)(B )AA(B)(A) BA(A)1A2(A )A2第1頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答3.設(shè) r( xx') 2( yy') 2(zz') 2 為源點(diǎn) x ' 到場(chǎng)點(diǎn) x的距離， r 的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。（ 1）證明下列結(jié)果，并體會(huì)對(duì)源變量求微商與對(duì)場(chǎng)變量求微商的關(guān)系：r'rr / r ；(1/ r )' (1/ r

2、 )r / r 3 ；(r / r 3 )0 ；( r / r 3 )' (r / r 3 )0 ，( r0) 。（ 2 ） 求r，r， (a)r，(a r )， E 0 sin( k r ) 及 E 0 sin( k r ) ，其中 a 、 k 及 E 0 均為常向量。4. 應(yīng)用高斯定理證明dVfdS f ，應(yīng)用斯托克斯VS（Stokes）定理證明dSdlSL第2頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答5. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t )( x ', t)x' dV ' ，6. 若 m 是常向量， 證明除 R0 點(diǎn)以外，向量 A （ m R ）/ R3V的旋度等于標(biāo)量m

3、R / R3 的 梯 度 的 負(fù) 值 ， 即利用電荷守恒定律J0 證明p 的變化率為：A，其中 R 為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原t點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。dpJ ( x ' ,t )dVdtV第3頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答7.有一內(nèi)外半徑分別為r1 和 r2 的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷f ，求：（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（ 2）極化體電荷和極化面電荷分布。9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p 總是等于體自由電荷密度f(wàn) 的 (10/ )倍。8. 內(nèi)外半徑分別為 r1 和 r2 的無(wú)窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J f ，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流

4、。第4頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答10. 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為l1 和 l 2 ，電相反 ( 但兩個(gè)電流元之間容率為 1和 2 ，今在兩板接上電動(dòng)勢(shì)為E的電池，求： （ 1）的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)電容器兩極板上的自由電荷面密度f(wàn) 1和f 2 ；（ 2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度f(wàn) 3 。 ( 若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為1 和 2 當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體的結(jié)果如何？ )第5頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答12.證明：13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情（1）當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自

5、由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況曲折滿足下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。tantan2 21 1其中1 和 2 分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，1和2 分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。（ 2）當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)， 分界面上電場(chǎng)線的曲折滿足tantan2 21 1其中1 和2 分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。第6頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答14.內(nèi)外半徑分別為 a 和 b 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器，單位長(zhǎng)度荷電第二章靜電場(chǎng)為 f ，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。1.一個(gè)半徑為 R 的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為 PKr / r2，電容率（1）證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位

6、移電流嚴(yán)格抵消，因?yàn)?。此?nèi)部無(wú)磁場(chǎng)。（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：（2）求 f 隨時(shí)間的衰減規(guī)律。（2）計(jì)算自由電荷體密度；（3）求與軸相距為 r 的地方的能量耗散功率密度。（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；（4）求長(zhǎng)度 l 的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。段的靜電能減少率。第7頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答2. 在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為 R0 的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)： （ 1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢(shì)差0 ；（ 2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q4. 均勻介質(zhì)球 （電容率為1）的中心置一自由電偶極子p f ，球外充滿了另一種介質(zhì)（電容

7、率為2 ），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。3.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷Q f ，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷Q f 的電勢(shì) Q f / 4R 與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。第8頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為 R1 和 R2 ，球中心置一偶極子 p 球殼上帶電 Q ，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和電荷分布。7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為2 的液體，使其中流著均勻的電流 Jf0。今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為1 的小球， 求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布， 討論12 及21兩

8、種情況的電流分布的特點(diǎn)。6.在均勻外電場(chǎng)E 0 中置入一帶均勻自由電荷f 的絕緣介質(zhì)球（電容率為），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。第9頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答8. 半徑為 R0 的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離9.R1 和 R2 ，在球內(nèi)離球心為a 處 (a球心為 a 處（ a > R0 ）置一點(diǎn)電荷 Q f ，試用分離變量法求空接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為< R1 )置一點(diǎn)電荷Q 。用鏡像法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。(RR0)少？分布在內(nèi)表面還是外表面？PR'R1ROQQ'第10頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，

9、而是帶總電荷Q0 ，或使具有確定電勢(shì) 0 ，試求這兩種情況的電勢(shì)。 又問(wèn) 0 與 Q0 是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解是相等的？11. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為 a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上， 點(diǎn)電荷 Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上， 并與平面相距為 b（ b>a），試用電象法求空間電勢(shì)。zQaQ( x0,a,b)(x0 , a, b)byQQ(x0, a, b)( x0 , a, b)第11頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答12. 有一點(diǎn)電荷 Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所充滿電導(dǎo)率為 的液體。取該兩平面為xz面和 yz面在圍成的直角空間內(nèi)， 它到兩個(gè)平面的距離為a和 b，求空間( x0 ,

10、y0 , z0 ) 和 ( x0 , y0 ,z0 ) 兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流電勢(shì)。I，求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。Q ( x 0 , y0 , z0 ) zQ ( x0 , y0 , z0 )Q ( x0 , y 0 , z0 )Q( x0 , y 0 , z0 )oyxQ( x0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )Q (x 0 , y0 , z0 )Q( x0 , y0 , z0 )zA(x0 , y0 , z0 )oyxB( x0 , y0 , z0 )13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無(wú)窮容器，其內(nèi)第12頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答14. 畫出函數(shù) d( x) / dx 的圖，說(shuō)

11、明( p) ( x ) 是一個(gè)位15. 證明：（ 1）(ax)( x) / a(a0) ，（若 a0 ，結(jié)果于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。如何？）（ 2） x(x)0d ( x) dxox第13頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為 P( x ' ) ，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為P( x ' ) rdV '，另外4 0 r 3V根據(jù)極化電荷公式' P( x ' ) 及nP ，極化介17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化。（ 1）在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的。（ 2）在面偶極層兩側(cè)

12、，電勢(shì)有躍變21nP /0 ，而電pp質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為' P( x' ) dV 'P ( x ') dS' ，試證明以上兩表達(dá)V 4 0 rS 4 0r式是等同的。勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負(fù)面電荷密度zE±而靠的很近的兩個(gè)面， 形成面偶極層，而偶極矩密度Pliml ）l01x2SE第14頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答18. 一個(gè)半徑為 R0 的球面，在球坐標(biāo)0/ 2 的半球面上電勢(shì)為0在 /2的半球面上電勢(shì)為0，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。提示：Pn ( x)dxPn 1 (x)Pn 1 ( x)11， Pn (1)102n100 , （ n 奇數(shù)）P

13、n (0)( 1)n / 2 1 35(n 1)偶數(shù)）24 6, （nn第三章靜磁場(chǎng)1.試用 A 表示一個(gè)沿 z 方向的均勻恒定磁場(chǎng) B0 ，寫出 A 的兩種不同表示式，證明二者之差為無(wú)旋場(chǎng)。2. 均勻無(wú)窮長(zhǎng)直圓柱形螺線管， 每單位長(zhǎng)度線圈匝數(shù)為 n，電流強(qiáng)度 I ，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度B 。第15頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答3. 設(shè)有無(wú)限長(zhǎng)的線電流 I 沿 z 軸流動(dòng)，在 z<0 空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)， z> 0 區(qū)域?yàn)檎婵?，試用唯一性定理求磁感?yīng)強(qiáng)度 B ，然后求出磁化電流分布。4.設(shè) x< 0 半空間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)， x> 0 空間為真空，今有線

14、電流 I 沿 z 軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對(duì)稱磁場(chǎng)。 在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知Bz B0C ( z22 / 2) ，其中 B0 為常量。試求該處的 B 。提示：用B0 ，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足H 0 。第16頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答6. 兩個(gè)半徑為 a 的同軸圓形線圈，位于 zL 面上。每個(gè)線圈7. 半徑為 a 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體上有恒定電流J 均勻分布于截面上載有同方向的電流 I。上，試解矢勢(shì)A 的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為0 ，導(dǎo)體（1）求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。外的磁導(dǎo)率為。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時(shí)的L 和 a 的關(guān)系。提示：用條件2 Bz / z20第17

15、頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答8. 假 設(shè) 存 在 磁 單 極 子 ， 其 磁 荷 為 Qm ， 它 的 磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為3HQm r / 40 r 。給出它的矢勢(shì)的一個(gè)可能的表示式，并10. 有一個(gè)內(nèi)外半徑為R1 和 R2 的空心球，位于均勻外磁場(chǎng)H 0內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為，求空腔內(nèi)的場(chǎng) B ，討論0 時(shí)的磁屏蔽作用。9.將一磁導(dǎo)率為，半徑為R0 的球體，放入均勻磁場(chǎng)H 0 內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度B 和誘導(dǎo)磁矩m。(對(duì)比 P49 靜電場(chǎng)的例子。 )第18頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答11. 設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為BH0 M 0 ，其中 M 0 是恒13. 有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為R0 ，總電荷為 Q ，今使定的

16、與 H 無(wú)關(guān)的量。 今將一個(gè)理想鐵磁體做成的均勻磁化球球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求球內(nèi)外的磁場(chǎng)B 。（ M 0 為常值）浸入磁導(dǎo)率為' 的無(wú)限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng)提示：本題通過(guò)解A 或m 的方程都可以解決，也可以比較度和磁化電流分布。本題與 §5 例 2 的電流分布得到結(jié)果。12. 將上題的永磁球置入均勻外磁場(chǎng)H 0 中，結(jié)果如何？第19頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為Q ，半徑為 R0 ，它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，求（1）它的磁矩；（ 2）它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動(dòng)量之比（設(shè)質(zhì)量M 0 是均勻分布的） 。15. 有一塊磁矩為 m 的小永磁體，

17、位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實(shí)物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力F 。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d和d的線偏振平面波，它們都沿z 軸方向傳播。（ 1）求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個(gè)波。（ 2）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。第20頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答2. 一平面電磁波以45°從真空入射到 r2 的介質(zhì)， 電場(chǎng)強(qiáng)4. 頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若E, D,B,H度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。仍按 ei( k x t ) 變化，但 D 不再與 E 平行（即 DE 不成立）。（ 1 ） 證 明 k B k D

18、B D B E0，但一般k E0 。 k 2 E (k E)k /2（2）證明 D。（3）證明能流S 與波矢 k 一般不在同一方向上。3. 有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為 60°，證明這時(shí)將會(huì)發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃取ＴO(shè)該波在空氣中的波長(zhǎng)為0 6.28 10 5cm，水的折射率為 n=1.33。第21頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答5. 有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z 軸傳播，一個(gè)波沿8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為 1 。x 方向偏振，另一個(gè)沿 y 方向偏振，但相位比前者超前2 ，求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長(zhǎng)度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，求合成撥的偏振。反之，一個(gè)圓偏振可以