(完整word版)線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)等考研數(shù)學(xué)總結(jié)(數(shù)一二),推薦文檔

1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確A可逆r ( A)nA的列（行）向量線性無關(guān)A的特征值全不為 0Ax只有零解x， AxA0R n , Ax總有唯一解T是正定矩陣A AAEAp1 p2pspi 是初等陣存在 階矩陣B,使得ABE或AB En注n叫做n 維向量空間 .：全體 n 維實(shí)向量構(gòu)成的集合RA不可逆r ( A)nA0A的列（行）向量線性相關(guān)0是 A的特征值A(chǔ)x有非零解 , 其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于 aE bAr (aEbA)n(aEbA)x有非零解注=- ba向量組等價(jià)矩陣等價(jià) ()具有反身性、對稱性、傳遞性矩陣相似 (: )矩陣合同 (; ) 關(guān)于 e1, e2 ,

2、 en ： 稱為 R n 的標(biāo)準(zhǔn)基，R n 中的自然基，單位坐標(biāo)向量0的特征向量p教材 87 ； e1 , e2 , ,en 線性無關(guān)； e1 , e2 , , en 1 ； trE=n ； 任意一個(gè) n 維向量都可以用e1, e2 , en 線性表示 .a11a12La1n行列式的定義Dna21a22La2n1( j1 j2L j n )a1 ja2 jL anj( )nMMM j1 j2 L jn12an1an2Lann 行列式的計(jì)算： 行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余

3、子式乘積之和等于零.AOAAOA BOB=BB 若 A與 B 都是方陣（不必同階）O,則AA（拉普拉斯展開式）O=( 1) mnA BBOOB 上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.a1nOa1na2n1a2 n 11n ( n 1) 關(guān)于副對角線：2NN( )an1Oan1Oa1n a2 n K an1 （即：所有取自不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）11L1x1x2Lxn 范德蒙德行列式：x12x22Lxn2xix jMM1j inMx1n 1x2n 1 Lxnn 1a11a12La1n由 mn 個(gè)數(shù)排成的 m 行 n 列的表 Aa21a22La2nn 矩陣 .記作

4、： A aij或 Am n矩陣的定義稱為 mMMMm nam1am2LamnA11A21LAn1伴隨矩陣*AijTA12A22LAn2A 中各個(gè)元素的代數(shù)余子式 .AMM， Aij 為MA1nA2 nLAnn 逆矩陣的求法 :Aab1db主L 換位A1注1A：cdad bcc a副L 變號 ( AME)初等行變換(EMA1)a11111a1a1a3a21a21a2a2a31a31a3a1 方陣的冪的性質(zhì)：Am AnAmn( Am) n( A) mn 設(shè) Amn , Bn s, A 的列向量為1,2 , ,n , B 的列向量為1,2,s ，b11b12Lb1s則 ABCm s1 ,2 ,nb2

5、1b22Lb2sc1,c2 ,L, csA i ci， (i 1,2 ,L, s)i 為MMMbn1bn2LbnsAxci 的解A 1,2 ,sA 1,A2 , A sc1 , c2,L , csc1, c2 ,L, cs 可由 1 ,2 , ,n 線性表示 .即： C 的列向量能由A 的列向量線性表示，B 為系數(shù)矩陣 .同理： C 的行向量能由B 的行向量線性表示，AT 為系數(shù)矩陣 .a11a12La1n1c1a11 1a12 2La1n 2c1即：a21a22L a2 n2c2a21 1a22 2La2n 2c2MMMMMLLLan1an2L amnncmam1 1 am 2 2 Lamn

6、 2cm 用對角矩陣的對角線上的各元素依次乘此矩陣的左乘一個(gè)矩陣 ,相當(dāng)于用行向量；用對角矩陣右乘一個(gè)矩陣 ,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量 . 兩個(gè)同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.ABTCT 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：ATCDBTDTA111B 1AA分塊矩陣的逆矩陣：BB 1BA 1A C11A1CB11A 1OAA OO BOBC BB1CA1B分塊對角陣相乘：AA11, BB11ABA11 B11nA11nB22, AAnA22A22 B2222*BA*A*A( 1)mn A B分塊對角陣的伴隨矩陣：AB*B( 1)mn B AB 矩陣方程的解法 ( A0 )：

7、設(shè)法化成 (I)AXB或(II)XAB(I)的解法：構(gòu)造 ()初等行變換(E MX)AMB(II) 的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為 AT X T BT，用(I) 的方法求出 X T，再轉(zhuǎn)置得 X 零向量是任何向量的線性組合 ,零向量與任何同維實(shí)向量正交 .單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān).部分相關(guān) ,整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān) .（向量個(gè)數(shù)變動）原向量組無關(guān) ,接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān) .（向量維數(shù)變動）兩個(gè)向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)p教材 114 .向量組1,2 , ,n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量組的線性組合 .向量

8、組1,2 , ,n 線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n1 個(gè)向量線性表示 .向量組1,2 ,n 線性無關(guān)向量組中每一個(gè)向量i 都不能由其余n1 個(gè)向量線性表示 .m 維列向量組1,2 ,n 線性相關(guān)r ( A)n；m 維列向量組1 ,2 ,n 線性無關(guān)r ( A)n .若 1,2 ,n 線性無關(guān)，而1, 2, n ,線性相關(guān) ,則可由1,2, n 線性表示 ,且表示法唯一 .矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)

9、非零元為1 ，且這些非零元所在列的其他元素都是?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.0時(shí)，稱為行最簡形矩陣即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對 A 施行一次初等 行變換得到的矩陣 ,等于用相應(yīng)的初等矩陣 左乘 A ；對 A 施行一次初等 列變換得到的矩陣 ,等于用相應(yīng)的初等矩陣 右乘 A .矩陣的秩如果矩陣A 存在不為零的r階子式，且任意r1階子式均為零，則稱矩陣A的秩為r.記作r ( A)r向量組的秩向量組1 ,2,L,n 的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記作

10、r (1 ,2,L,n )矩陣等價(jià)A 經(jīng)過有限次初等變換化為B .記作： A %B向量組等價(jià)1,2 , n 和1 , 2 , n 可以相互線性表示.記作： 1,2,n% 1 , 2 , , n? 矩陣A與B等價(jià)PAQB ， P,Q 可逆r ( A)r (B), A, B為同型矩陣A, B 作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣 A 與 B 作為向量組等價(jià)r ( 1 , 2 ,n )r ( 1,2,n )r ( 1 ,2 ,n , 1 , 2 , n )矩陣 A與 B等價(jià).?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n 線性表示AXB 有解r ( 1 , 2 , n )= r ( 1

11、, 2 ,n , 1, 2 , , s)r ( 1, 2 , s ) r ( 1, 2 , n ) .?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 ,且 s n ，則1,2,s 線性相關(guān) .向量組1,2 , s線性無關(guān) ,且可由1,2 , , n 線性表示 ,則 s n .?向量組1,2 ,s可由向量組1 ,2 ,n 線性表示 ,且 r ( 1,2 ,s )r (1, 2, n ) ,則兩向量組等價(jià)；p教材 94, 例10?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).?向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.?若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們

12、包含的向量個(gè)數(shù)相等.?設(shè)A 是 mn 矩陣 ,若r ( A)m ，A 的行向量線性無關(guān)；若 r ( A)n，A 的列向量線性無關(guān),即：1 ,2 ,n 線性無關(guān). 矩陣的秩的性質(zhì)： 若 AOr ( A) 1若 AOr (A)00 r ( Am n ) min( m,n)()(T)(T)ArAr A Ap教材 101, 例 15r r (kA)r ( A)若 k0 若Am n , Bn s ,若 r ( AB)0r ( A) r (B)n的列向量全部是Ax的解B0 r ( AB) minr ( A), r (B)若A可逆若B可逆 若 r ( Am n )r ( AB)r (B)r ( AB)即：可

13、逆矩陣不影響矩陣的秩 .r (A)Ax只有零解nr ( AB) r ( B)；在矩陣乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r (Bn s)nr ( AB) r (B)在矩陣乘法中有右消去律 .B若 ( )ErOErO等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型 .與唯一的等價(jià)，稱為矩陣 的r ArAOOAOO r ( AB) r ( A)r (B)max r ( A), r (B)r (A, B) r ( A)r ( B) p教材 70AOOAr (A) r ( B)ACr ( B) rBBOrr (A)OOBn可由 1,2L,n線性表示Ax有解r ( A) r ( AM),nr ( A)r ( AM )不可由1 ,2

14、,L ,n 線性表示Ax無解r ( A)r ( AM )r ( A)1r ( AM )Ax有無窮多解當(dāng) A為方陣時(shí)A 0表示法不唯一1 ,2 , L , n 線性相關(guān)Ax0有非零解Ax有唯一組解當(dāng) A為方陣時(shí)A 0 克萊姆法則表示法唯一1 ,2 ,L , n 線性無關(guān)Ax只有零解教材 72講義 87Ax有無窮多解其導(dǎo)出組有非零解注：Ax有唯一解其導(dǎo)出組只有零解線性方程組的矩陣式Ax向量式x1 1x22 Lxnna11a12L a1nx1b11 ja21a22L a2n, xx2b22 j, j1A,j,2, , nMMMMMMLam1am 2 Lamnxnbmmjx1(1, 2,L ,x2n

15、)Mxn矩陣轉(zhuǎn)置(AT)TA(AB)TBT AT(kA)TkATATA( AB)TATBT(A 1)T(AT) 1(AT) (A )T的性質(zhì)：(A1)1A(AB) 1B1A1(kA) 1k 1 A 1A 1A1B) 1A 1B 1( A 1 )k( Ak ) 1A k矩陣可逆( A的性質(zhì)：伴隨矩陣n 2A(A)A的性質(zhì)：n若 r ( A) nr ( A )1若 r ( A) n 10若 r ( A) n1( Ak )( A )k(AB) B A(kA) kn 1AAAn 1*( A1) (A)1A(A B)ABAAB ABkA k n AAkAkAA A A A E （無條件恒成立）ABAB(

16、1)1, 2 是Ax的解, 12也是它的解(2)是Ax的解, 對任意 k, k 也是它的解(3)1, 2,L ,k是 Ax齊次方程組的解, 對任意 k個(gè)常數(shù)1, 2,L ,k ,1 12 2k k也是它的解線性方程組解的性質(zhì)：(4)是Ax(5)1, 2是Ax(6)2是 Ax(7)1, 2,L ,的解, 是其導(dǎo)出組 Ax的解 ,是Ax的解的兩個(gè)解 , 12 是其導(dǎo)出組 Ax的解的解 ,則 1也是它的解12是其導(dǎo)出組 Ax的解k是 Ax的解 ,則1 122k k也是 Ax的解12k11 122k k是 Ax 0的解12k0 設(shè) A 為 mn 矩陣 ,若 r ( A)m r ( A) r ( AM

17、)Ax一定有解，當(dāng) m方程個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù),則該向量組線性相關(guān) .n 時(shí) ,一定不是唯一解向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)m 是 r ( A)和 r ( AM ) 的上限 . 判斷1, 2 ,L , s 是 Ax的基礎(chǔ)解系的條件： 1 , 2 ,L , s 線性無關(guān)；1 ,2 ,L , s 都是 Ax的解；sn r ( A) 每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù). 一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是 Ax的一個(gè)解，1 , ,L , s 是 Ax的一個(gè)解1 , ,L , s,線性無關(guān) Ax與 Bx同解（ A, B 列向量個(gè)數(shù)相同）,則： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；

18、 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.AxBxrA)() 兩個(gè)齊次線性線性方程組與同解(.rArBBA 兩個(gè)非齊次線性方程組 Ax與 BxMr ( A)r (B) .都有解，并且同解rBM 矩陣 Am n 與 Bl n 的行向量組等價(jià)齊次方程組 Ax與 Bx同解PAB （左乘可逆矩陣P ）； p教材 101矩陣 Am n 與 Bl n 的列向量組等價(jià)AQB （右乘可逆矩陣Q ） . 關(guān)于公共解的三中處理辦法：把 (I) 與 (II) 聯(lián)立起來求解；通過 (I) 與 (II) 各自的通解，找出公共解；當(dāng) (I) 與 (II) 都是齊次線性方程組時(shí)，設(shè)1 , 2, 3 是 (I) 的基礎(chǔ)解系 ,4 , 5

19、是 (II) 的基礎(chǔ)解系，則(I) 與(II) 有公共解基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示.即： r ( 1 , 2 , 3 )r ( 1 , 2 , 3 Mc1 4c2 5 )當(dāng) (I) 與 (II) 都是非齊次線性方程組時(shí)，設(shè)1c1 1c2 2 是 (I) 的通解，2c3 3 是 (II) 的通解，兩方程組有公共解2c3 31 可由 1, 2 線性表示 .即： r ( 1 ,2 )r ( 1, 2 M2c3 31 ) 設(shè) (I) 的通解已知，把該通解代入(II) 中，找出 (I) 的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足(II) 的關(guān)系式而求出公共解。標(biāo)準(zhǔn)正交基n 個(gè) n 維線性無關(guān)

20、的向量,兩兩正交 ,每個(gè)向量長度為1.TTna1 , a2 ,L , anb1, b2 ,L(,)aibia1b1 a2b2L an bn向量與, bn的內(nèi)積i1與正交(,)0 .記為：Tna1 , a2 ,L , an(,)ai2a12a22Lan2向量的長度i1是單位向量( ,) 1.即長度為1的向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)：正定性： (,)0,且(,)0 對稱性： (,)(,) 雙線性： (,12 )(,1 )(,2 )( 12 , )(1,)(2,)(c,)c(,)(, c )A 的特征矩陣EA .A 的特征多項(xiàng)式E A() . ( )是矩陣A 的特征多項(xiàng)式( A)OA 的特征方程EA 0.A

21、xx ( x為非零列向量 )Ax與 x線性相關(guān)ntrA ， tr A稱為矩陣 A 的跡 . A1 2 Ln1i 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的n 各元素 . 若 A0 ,則0為 A 的特征值 ,且 Ax的基礎(chǔ)解系即為屬于0 的線性無關(guān)的特征向量 .a1 r ( A)1A 一定可分解為A =a2b1 ,b2 ,L , bn2(a1b1a2b2L anbn ) A ,從而 A 的特征值為：M、Aan1tr Aa1b1a2b2 Lanbn ,23Ln0p指南 358 .Tb1,b2 ,L , bn為 A 各列的公比 . a1 , a2 ,L , an 為 A 各行的公比，注 若

22、A 的全部特征值1, 2,L ,n ， f ( A) 是多項(xiàng)式 ,則 : 若 A 滿足 f ( A)OA 的任何一個(gè)特征值必滿足f (i )0f ( A) 的全部特征值為f (1 ), f (2 ),L , f ( n ) ； f ( A)f (1) f ( 2 ) L f ( n ) . 初等矩陣的性質(zhì)：E(i , j )1Ei (k )kEi , j (k)1E (i, j )TE(i, j )Ei (k )TE i (k)Ei, j (k)TE j, i( k)E (i , j ) 1E(i , j )Ei (k )1Ei, j (k) 1Ei , j ( k)Ei ( k1 )E(i

23、, j )*E(i , j )Ei (k )*kEi ( 1k )Ei, j (k)*E i, j ( k) 設(shè)f ( x)am xmam 1xm 1La1 xa0，對n 階矩陣A 規(guī)定：f ( A)am Amam 1 Am 1La1 Aa0 E 為A 的一個(gè)多項(xiàng)式.kAkaAbEabAT是A的特征值 ,則 :A1分別有特征值1.A12L 3A22AAmmkAkaAbEab是 關(guān)于 的特征向量,則 也是A1關(guān)于1的特征向量 . x AxAA12 L 322AmmA A2 , Am 的特征向量不一定是A 的特征向量 . A 與 AT 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A與B相似P 1APB（

24、 P 為可逆矩陣）記為： A: BA與B 正交相似P 1APB（ P 為正交矩陣）A 可以相似對角化A 與對角陣相似 .記為： A:（稱是 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)形） A 可相似對角化nr ( iEA)kiki 為i 的重?cái)?shù)A 恰有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 這時(shí),P為 A的特征向量拼成的矩陣， P 1 AP 為對角陣 ,主對角線上的元素為A的特征值 .設(shè) i 為對應(yīng)于i 的線性無關(guān)的特征向量 ,則有：1A ( 1, 2 ,L , n ) ( A 1, A 2 ,L , An ) ( 1 1, 2 2 ,L , n n ) ( 1, 2 ,L , n )2.O14424431442443nPP14

25、4424443注0 為 A 的重的特征值時(shí)，A 可相似對角化i 的重?cái)?shù)n r ( A)Ax基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù) .：當(dāng) i 若 n 階矩陣 A 有 n 個(gè)互異的特征值A(chǔ) 可相似對角化 . 若 A 可相似對角化 ,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重根重復(fù)計(jì)算）r ( A) .g(1)若A:Ak = Pk P 1 ， g( A)Pg( )P 1Pg(2 )P 1Og (n ) 相似矩陣的性質(zhì)：E AE B ,從而 A, B 有相同的特征值 ,但特征向量不一定相同 .注0 的特征向量, P1x 是 B 關(guān)于0 的特征向量 .x 是 A 關(guān)于 tr A tr B AB從而 A, B 同時(shí)可逆或不可逆 r ( A) r

26、 ( B) AT:BT；A1: B1（若 A, B 均可逆）； A* :B* Ak:Bk（ k 為整數(shù)）； f (A) :f (B) ， f (A)f (B),AB:A: BC: DDC注前四個(gè)都是必要條件. 數(shù)量矩陣只與自己相似. 實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；注：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若 A 有重的特征值 ,該特征值 i 的重?cái)?shù) = n r ( i E A) ；必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；與對角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變

27、換化為標(biāo)準(zhǔn)形；兩個(gè)實(shí)對稱矩陣相似有相同的特征值 .正交矩陣AATE A 為正交矩陣A 的 n 個(gè)行（列）向量構(gòu)成? n 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 正交矩陣的性質(zhì)： ATA 1 ；AATAT AE ；正交陣的行列式等于 1 或 -1 ；A 是正交陣 ,則 AT ， A 1 也是正交陣；兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；A 的行（列）向量都是單位正交向量組 .f ( x1 , x2 ,L , xn ) xTnn(x1, x2 ,L , xn )T二次型Axaij xi x jaij aji ，即 A 為對稱矩陣， xi 1j 1A與B合同CT ACB .記作： A; B（ A, B為實(shí)對稱矩陣 ,C為可逆矩陣 ）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)p負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)r p符號差2 pr( r 為二次型的秩 ) 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A : B 兩