隨機(jī)過(guò)程與排隊(duì)論

1、隨機(jī)過(guò)程與排隊(duì)論任課教師: 魏靜萱 副教授wjx曾勇 副教授第一節(jié) 排隊(duì)現(xiàn)象例一：電話系統(tǒng)：主叫用戶和被叫用戶之間提供語(yǔ)音服務(wù)，該服務(wù)承載于某條通信信道之上，即兩個(gè)用戶需要一條通道，3個(gè)用戶需要3個(gè)通道，4個(gè)用戶需要6個(gè)通道。一般的，n個(gè)用戶需要個(gè)通道。 地球人口60億，需要？通道。 海量通信接近天文數(shù)字。解決：信道“公用” 導(dǎo)致 擁擠排隊(duì)現(xiàn)象例二：排隊(duì)現(xiàn)象舉例服務(wù)系統(tǒng)公共資源排隊(duì)現(xiàn)象電話交換機(jī)呼叫等待機(jī)場(chǎng)跑道飛機(jī)等待起飛火車售票處售票員售票大廳人滿為患加工車間機(jī)床 零件排隊(duì)系統(tǒng)的三大要素：1. 輸入過(guò)程 2. 排隊(duì)規(guī)則：隊(duì)列允許的最大長(zhǎng)度 3. 服務(wù)窗：顧客是怎樣接受服務(wù)的1 輸入過(guò)程：顧客

2、按什么規(guī)則進(jìn)入系統(tǒng)？一個(gè)個(gè)？成批？到達(dá)過(guò)程和到達(dá)時(shí)間間隔符合一定的分布，稱到達(dá)分布。假設(shè)：到達(dá)過(guò)程和到達(dá)時(shí)間是獨(dú)立同分布的。到達(dá)過(guò)程假定為平穩(wěn)的，對(duì)時(shí)間是齊次的。 注：Markov齊次過(guò)程 如果一個(gè)過(guò)程只依賴于現(xiàn)在，而不是過(guò)去。 表1 輸入過(guò)程的三種隨機(jī)過(guò)程描述名稱含義在時(shí)間間隔(0,t) 內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客人數(shù),n=1,2,Sn表示第n個(gè)到達(dá)系統(tǒng)的顧客的到達(dá)時(shí)間，n=1,2, 表示第n個(gè)顧客與前一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔按顧客到達(dá)過(guò)程的不同概率特性分類： 定長(zhǎng)輸入（D）：顧客等間隔到達(dá)，的分布函數(shù)為 Poisson流輸入(M): 系統(tǒng)的輸入過(guò)程M(t)>0是Poission流滿足4個(gè)條件：a

3、) M(t)取值為非負(fù)數(shù) b) P(M(0)=0)=1, 即時(shí)間間隔為0時(shí)到達(dá)系統(tǒng) 的人數(shù)為0 c) 過(guò)程M(t) 具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性 d) 每一個(gè)增量M(a+t)-M(a)非負(fù)，且服從參數(shù)為的泊松分布 k階Erlang輸入(Ek) 一般獨(dú)立輸入(G)：顧客的到達(dá)過(guò)程是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)可以是任意函數(shù)。 成批到達(dá)系統(tǒng)：顧客一批批到達(dá)系統(tǒng)，每批相繼到達(dá)的時(shí)間間隔為上述各種分布之一。2 排隊(duì)與服務(wù)規(guī)則 損失制 （無(wú)排隊(duì)隊(duì)列）：顧客到達(dá)時(shí)，系統(tǒng)被占用，顧客離去，不再回來(lái)。例：？ 排隊(duì)制 （等待制）先到先服務(wù)、先到后服務(wù)、隨機(jī)服務(wù)、優(yōu)先服務(wù)(VIP)、多服務(wù)臺(tái)(?)混合制： 

4、2; 排隊(duì)長(zhǎng)度有限：ü 等待時(shí)間有限：血漿生物制劑ü 逗留時(shí)間有限（等待時(shí)間語(yǔ)）：藥品的有效期3 服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)包括：ü 服務(wù)員個(gè)數(shù)ü 服務(wù)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式：串聯(lián)、并聯(lián)、混聯(lián)ü 服務(wù)過(guò)程：即服務(wù)時(shí)間3.1 詳解服務(wù)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式：?jiǎn)侮?duì)列單服務(wù)員 （圖） 多服務(wù)員服務(wù)過(guò)程：第n個(gè)顧客在系統(tǒng)里接受服務(wù)的時(shí)間ü 定長(zhǎng)分布(D): 每個(gè)顧客被服務(wù)的時(shí)間是常數(shù)C,其分布函數(shù)為：ü 負(fù)指數(shù)分布(M): 每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間v1,v2,.vn都是獨(dú)立同負(fù)指數(shù)分布ü Erlang服務(wù)分布()ü 一般獨(dú)立服務(wù)分布(G): 顧

5、客接受服務(wù)時(shí)間是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)任意。4 排隊(duì)系統(tǒng)的分類與符號(hào)1953年由英國(guó)數(shù)學(xué)家肯達(dá)爾提出-肯達(dá)爾模型。組成：A/B/C/D/E/F A: 顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布 （輸入過(guò)程）B：服務(wù)窗服務(wù)時(shí)間的分布 （服務(wù)過(guò)程）C：服務(wù)窗個(gè)數(shù)D：系統(tǒng)中允許的最大顧客數(shù)，默認(rèn)無(wú)窮E：顧客源中顧客數(shù)，默認(rèn)無(wú)窮F：服務(wù)規(guī)則：先來(lái)先服務(wù)時(shí)刻省略不寫(xiě)例：M/M/C/K排隊(duì)系統(tǒng)意義例：G/E3/2/排隊(duì)系統(tǒng)意義2.4 排隊(duì)論的特性指標(biāo)1. 瞬態(tài)特性指標(biāo): 對(duì)于任意時(shí)刻的t的對(duì)長(zhǎng)（系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)，包括排隊(duì)等服務(wù)員的顧客數(shù)加上接受服務(wù)的顧客數(shù)）、顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間、逗留時(shí)間等。上述指標(biāo)絕大多數(shù)都是

6、隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程，因此主要關(guān)注他們的概率特性分布與期望特性。表2.3 排隊(duì)論的瞬態(tài)特性指標(biāo)t時(shí)刻系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)（總顧客數(shù)）t時(shí)刻系統(tǒng)的等待隊(duì)長(zhǎng)（顧客排隊(duì)的人數(shù)）t時(shí)刻系統(tǒng)忙的服務(wù)員個(gè)數(shù)（接受服務(wù)的顧客數(shù)目）t時(shí)刻系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)為j的概率t時(shí)刻系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)t時(shí)刻系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)t時(shí)刻系統(tǒng)忙的服務(wù)員平均個(gè)數(shù)t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間（排隊(duì)時(shí)間）t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中接受服務(wù)時(shí)間t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間（排隊(duì)平均時(shí)間）t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中接受服務(wù)平均時(shí)間由上表可得以下公式：2穩(wěn)態(tài)特

7、性指標(biāo)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，在其運(yùn)行的初始階段，各個(gè)特性指標(biāo)和t密切相關(guān)，受初始條件的影響較大（瞬態(tài)過(guò)程）。但在經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間后，系統(tǒng)地工作狀態(tài)趨于平穩(wěn)，各特性指標(biāo)不再和實(shí)間t有關(guān)，受初始條件影響較弱，則稱排隊(duì)系統(tǒng)已由過(guò)渡階段進(jìn)入平穩(wěn)狀態(tài)（重點(diǎn)）表2.4 排隊(duì)論的穩(wěn)態(tài)特性指標(biāo)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)（總顧客數(shù)）系統(tǒng)的等待隊(duì)長(zhǎng)（顧客排隊(duì)的人數(shù)）系統(tǒng)忙的服務(wù)員個(gè)數(shù)（接受服務(wù)的顧客數(shù)目）系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)為j的概率系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)忙的服務(wù)員平均個(gè)數(shù)到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間（排隊(duì)時(shí)間）到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客在系統(tǒng)中接受服務(wù)時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間

8、到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客唉系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間（排隊(duì)平均時(shí)間）到達(dá)系統(tǒng)的任一顧客在系統(tǒng)中接受服務(wù)平均時(shí)間絕對(duì)通過(guò)能力：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完成顧客的均值相對(duì)通過(guò)能力：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)被服務(wù)完顧客數(shù)與請(qǐng)求顧客數(shù)之比值系統(tǒng)的損失概率，即系統(tǒng)滿員的概率由上表得出：當(dāng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時(shí)：=到達(dá)率顧客到達(dá)隊(duì)列分配規(guī)則服務(wù)員離開(kāi)圖2.6 單服務(wù)員隊(duì)列穩(wěn)態(tài)指標(biāo)2.6 LIttLe 公式對(duì)一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)，一般假定滿足以下3個(gè)條件：（1） 排隊(duì)系統(tǒng)能夠進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)（2） 服務(wù)員的忙期與閑期交替出現(xiàn)，即系統(tǒng)不總會(huì)處于盲期（3） 系統(tǒng)中任意顧客不會(huì)永遠(yuǎn)等待，系統(tǒng)也不會(huì)永無(wú)顧客到達(dá)若上述假設(shè)成立，則有l(wèi)ittle公式：注意：1。只關(guān)注三個(gè)

9、量的平均統(tǒng)計(jì)值2對(duì)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔分布、服務(wù)時(shí)間分布、排隊(duì)規(guī)則不做要求3必須針對(duì)同一顧客群排隊(duì)系統(tǒng)直觀的解釋綜上兩個(gè)公式和little公式，得知，只要求得或，再知道四個(gè)指標(biāo)中的任一個(gè)，其他3個(gè)就可以立即求出，從而解得排隊(duì)系統(tǒng)。 通常容易從統(tǒng)計(jì)中獲得，而容易從理論中獲得。l 概率論回顧Markov過(guò)程：當(dāng)隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻所處的狀態(tài)為已知，過(guò)程在大于的時(shí)刻所處的概率只與有關(guān)，而于以前的時(shí)刻無(wú)關(guān)，此性質(zhì)為無(wú)后效性。 Markov Chain (MC)Discrete-time Markov Chain (DTMC) Continuous-time Markov Chain (CTMC)馬爾科夫鏈n時(shí)

10、刻的k步轉(zhuǎn)移概率：n時(shí)刻MC處于狀態(tài)i, 經(jīng)過(guò)k步時(shí)間，系統(tǒng)處于j狀態(tài)的概率： 轉(zhuǎn)移概率特點(diǎn)：特別的，當(dāng)k=1時(shí)，得到一步轉(zhuǎn)移概率其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)為：的狀態(tài)的狀態(tài)K步轉(zhuǎn)移概率矩陣記為P(k)本課程研究時(shí)間齊次馬爾可夫過(guò)程：系統(tǒng)行為不依賴于觀測(cè)時(shí)間，即馬爾科夫過(guò)程中的條件分布函數(shù)不隨觀察起始時(shí)刻的變化而變化，我們可以任選時(shí)間軸為起點(diǎn)。N時(shí)刻的k步轉(zhuǎn)移概率：從狀態(tài)i到狀態(tài)j的概率和時(shí)刻n無(wú)關(guān)，稱這類MC為時(shí)齊馬爾科夫鏈。例1.1 只傳輸數(shù)字0和1的串聯(lián)系統(tǒng)。如下圖所示，設(shè)每一級(jí)的傳真率為p，誤碼率為q=1-p,設(shè)一個(gè)單位時(shí)間傳輸一級(jí)，X0是第一級(jí)的輸入，Xn是第n級(jí)的輸出。12n0-1傳

11、輸系統(tǒng)分析：是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程， 狀態(tài)空間I=0，1 是一個(gè)齊次馬爾科夫過(guò)程，轉(zhuǎn)移概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣?yán)?.2 一維隨機(jī)游動(dòng) 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在如圖所示的直線的點(diǎn)集I=1，2，3，4，5上隨機(jī)游動(dòng)，并僅在1秒、2秒等整秒時(shí)刻發(fā)生游動(dòng)。12345一維隨機(jī)游動(dòng)游動(dòng)規(guī)則是：如果Q現(xiàn)在位于點(diǎn)i(1<i<5),則下一時(shí)刻各以1/3的概率向左或向右移動(dòng)一格，或以1/3的概率留在原處；如果Q位于1（或5）這點(diǎn)上，則下一時(shí)刻就以概率1游動(dòng)到2 （或4）這一點(diǎn)上。1和5這兩點(diǎn)稱為反射壁，上述現(xiàn)象為帶有兩個(gè)反射壁的隨機(jī)游動(dòng)。分析：表示時(shí)刻n時(shí)Q的位置，不同的位置就是的狀態(tài)。所處的狀態(tài)的概率分

12、布只與=i有關(guān)，而與Q在時(shí)刻n之前如何到達(dá)狀態(tài)i無(wú)關(guān)，因此該過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程，并是齊次的。一步轉(zhuǎn)移概率：例1.3 初始時(shí)Z0=（1，0），狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 問(wèn)n步后的狀態(tài)？ 問(wèn)題：一步轉(zhuǎn)移矩陣最終收斂到穩(wěn)態(tài)，且收斂有快有慢，這與矩陣的什么有關(guān)？例 1.4 排隊(duì)模型 設(shè)服務(wù)系統(tǒng)由一個(gè)服務(wù)員和只可容納2人的等候室組成，服務(wù)規(guī)則是：先到先服務(wù)，后來(lái)者須在等候室依次排隊(duì)。假定一個(gè)需要服務(wù)的顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)已有3個(gè)顧客（一個(gè)正在接受服務(wù)，兩個(gè)在等待時(shí)排隊(duì)），則該顧客離去。設(shè)時(shí)間間隔內(nèi)將有一個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的概率為q,有一原來(lái)被服務(wù)的顧客離開(kāi)系統(tǒng)（服務(wù)完畢）的概率為p. 又設(shè)當(dāng)充分小時(shí)，在這一時(shí)間間

13、隔內(nèi)多于一個(gè)顧客進(jìn)入或離開(kāi)系統(tǒng)實(shí)際上是不可能的。該系統(tǒng)是馬爾科夫鏈。 設(shè)表示時(shí)刻時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)，即系統(tǒng)的狀態(tài)。是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài)空間I=0,1,2,3. 下面來(lái)計(jì)算此馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率。?例1.9 某計(jì)算機(jī)機(jī)房的一臺(tái)計(jì)算機(jī)經(jīng)常出現(xiàn)故障，研究者每隔15分鐘觀察一次計(jì)算機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)，收集了24小時(shí)的數(shù)據(jù)（共作97次觀察），用1表示正常狀態(tài)，用0表示不正常狀態(tài)，所得的數(shù)據(jù)序列如下：1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111設(shè)Xn為第n（n

14、=1，2，97）個(gè)時(shí)段的計(jì)算機(jī)狀態(tài)，可以認(rèn)為它是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間I=0，1，96次狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況是：因此，一步轉(zhuǎn)移概率可用頻率近似地表示為：馬爾可夫特性隱含的重要結(jié)論：過(guò)程在任何狀態(tài)的逗留時(shí)間（Sojourn Time， ST）的分布必定具有無(wú)記憶性（Memoryless Property）。若過(guò)程未來(lái)的演化只依賴于過(guò)程當(dāng)前的狀態(tài)，則狀態(tài)的剩余逗留時(shí)間必定與過(guò)程在該狀態(tài)已經(jīng)花費(fèi)的時(shí)間無(wú)關(guān)。在例1.9中，若計(jì)算機(jī)在前一時(shí)段（15分鐘）的狀態(tài)為0，問(wèn)從本時(shí)段起此計(jì)算機(jī)能夠連續(xù)正常工作一個(gè)小時(shí)的概率是多少？1.4 離散事件馬爾科夫鏈的性質(zhì)五個(gè)基本性質(zhì)：互通性、周期性、常反性、遍歷性和穩(wěn)定

15、狀態(tài)的分布。1 互通性互通性：若有兩個(gè)狀態(tài)i和j, ij同時(shí)ji 則稱i和j狀態(tài)相通，記為可達(dá)性：某倆個(gè)狀態(tài)i和j的n步轉(zhuǎn)移概率大于0,即，則稱狀態(tài)i可以到達(dá)j, 記為圖1所示。 互通性滿足三條性質(zhì)：（1） 自反性：ii 每個(gè)狀態(tài)0步轉(zhuǎn)移到自己（2） 對(duì)稱性：ij 當(dāng)且僅當(dāng)ji（3） 傳遞性：若ik且kj, 則ij 例1：例1.2 一維隨機(jī)游動(dòng) 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在如圖所示的直線的點(diǎn)集I=1，2，3，4，5上隨機(jī)游動(dòng)，并僅在1秒、2秒等整秒時(shí)刻發(fā)生游動(dòng)。12345一維隨機(jī)游動(dòng)游動(dòng)規(guī)則是：如果Q現(xiàn)在位于點(diǎn)i(1<i<5),則下一時(shí)刻各以1/3的概率向左或向右移動(dòng)一格，或以1/3的概率留在原處；

16、如果Q位于1（或5）這點(diǎn)上，則下一時(shí)刻就以概率1游動(dòng)到2 （或4）這一點(diǎn)上。1和5這兩點(diǎn)稱為反射壁，上述現(xiàn)象為帶有兩個(gè)反射壁的隨機(jī)游動(dòng)。一步轉(zhuǎn)移概率：我們畫(huà)出其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，圖中每條有向邊上的數(shù)值即為一步轉(zhuǎn)移概率。圖2。每條邊上的值為一步轉(zhuǎn)移概率。2 不可約 不可約：若一個(gè)馬爾科夫鏈的任意兩個(gè)狀態(tài)都互通，則此馬爾科夫鏈為不可約馬爾科夫鏈。 圖33 周期性 周期：對(duì)于一個(gè)狀態(tài)j,若，即過(guò)程可以經(jīng)過(guò)n步，從狀態(tài)j返回狀態(tài)j,則定義所有正整數(shù)n的最大公約數(shù)為狀態(tài)j的周期，記為。l 若>1 狀態(tài)j是周期性狀態(tài)l 若=1 狀態(tài)j是非周期狀態(tài)l 若 狀態(tài)j的周期定理：若， 則 ， 互通的狀態(tài)有相同的周

17、期判斷非周期的充分條件：l 若此狀態(tài)帶有自環(huán)，則必為非周期的l 若此狀態(tài)與一個(gè)非周期的狀態(tài)相通，則必為非周期的圖44 常返性常返性考察馬爾科夫鏈由一個(gè)狀態(tài)出發(fā)能否載回到本狀態(tài)的特性。l 正常返 （必定會(huì)返回，平均返回時(shí)間為有限值，）l 零常返 (必定會(huì)返回，平均返回時(shí)間為，)l 非常返 （可能不再返回）=P在離開(kāi)狀態(tài)j后經(jīng)過(guò)n步走首次返回j=P不斷返回j若， 則稱j為常返態(tài)； 若，狀態(tài)j為非常返。: 離開(kāi)狀態(tài)j后第一次返回狀態(tài)j所需要的平均步數(shù)。 例2： 例35 遍歷性馬爾科夫遍歷性：在馬爾可夫鏈中，如果n步轉(zhuǎn)移概率對(duì)一切i ,j存在不依賴于i的極限，即，則稱馬爾科夫鏈具有遍歷性。其中表示在極

18、限時(shí)間（平衡狀態(tài)）系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率，系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率。 定理：如果其次馬爾可夫鏈的一個(gè)狀態(tài)j是非周期的、正常返的、，則此狀態(tài)j是遍歷的。例4；設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為S=1,2,3, 轉(zhuǎn)移概率為：研究各狀態(tài)的分類。例5: 設(shè)其次馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為1，2，3，4, 一步轉(zhuǎn)移矩陣為：試研究各狀態(tài)關(guān)系性質(zhì)6：穩(wěn)定狀態(tài)分布如何求解平穩(wěn)狀態(tài)分布性質(zhì)1：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣各行和為1性質(zhì)2：性質(zhì)3：至少有一個(gè)特征值為1問(wèn)題：系統(tǒng)是否存在平穩(wěn)分布？若存在如何求解？平穩(wěn)分布 若中無(wú)零元，則存在平穩(wěn)分布定理:馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的其平穩(wěn)性分布必定存在、唯一與初始分布無(wú)關(guān)且保持不變。 例： p24一般的：所以此鏈不具有穩(wěn)態(tài)，不具有遍歷性。例： 是否具有穩(wěn)態(tài)？p25例：由上例存在否？生滅過(guò)程生滅過(guò)程是一種特殊的馬爾科夫鏈，即每一次狀態(tài)轉(zhuǎn)移都發(fā)生在相鄰狀態(tài)之間，齊狀態(tài)的變化只可能有三種：加（1）生，減(1)滅和不變， 如圖：在間隔為的一個(gè)充分小的時(shí)間內(nèi)，忽略高階無(wú)窮小后，以表示時(shí)刻t系統(tǒng)內(nèi)某群體的個(gè)數(shù)，則該群體個(gè)數(shù)n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移：“生”：從n增加一個(gè)，其概率為；“滅”：從n減小一個(gè)，其