《工程流體力學(xué)》電子教案第四至七章

1、工程工程流體力學(xué)流體力學(xué)（第四至七章）周云龍洪文鵬合編 開(kāi)開(kāi) 始始.第四章不可壓縮流體的有旋流 動(dòng)和二維無(wú)旋流動(dòng)第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù)第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng)第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng).歡迎進(jìn)入第四章的學(xué)習(xí). 流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類(lèi)型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。 實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，

2、如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來(lái)的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿(mǎn)著尺度不同的大小旋渦。 00. 流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單 得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì)工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)黏性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本

3、章先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。 .第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流 動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。. 一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式zzuyyuxxuuucdddzzvyyvxxvvvcdddzzwyywxxwwwcddd.圖 4-1 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖 .yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuucd2

4、1d21d21d21dzzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvvcd21d21d21d21dyxxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwwwcd21d21d21d21d.剪切變形速率 、 、 、 、 、 ，引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱(chēng)：線變形速率 、 、 ，xx、yy、zz，zwyvxuzzyyxx,xyyxyzzyxzzxxwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy212121 （4-1） （4-2）.于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為旋轉(zhuǎn)角速度 、 、 ，xyzyuxvxwzuzvywzyx212121 （4-3）xyyxzwwzxzxyvvyzzyxuuyxzyz

5、xzzcxzyzyxyyczyxzxyxxcddddddddddddddd（4-4） . 二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特征，對(duì)式(4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說(shuō)明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化分析，僅討論在 平面上流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻 ，流體微團(tuán)ABCD為矩形，其上各點(diǎn)的速度分量如圖4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過(guò)時(shí)間 ，勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。xoyttd.1平移運(yùn)動(dòng)圖 4-2 分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖 a . 2線變形運(yùn)動(dòng) .

6、b. 圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(a).圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(b).圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(c) . 圖4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(d). 3角變形運(yùn)動(dòng) c.yuxvtyxxy21d)/2dd(yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21. 4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)d .yuxvtz21dd-d21tdd/ )-d(21.yuxvxwzuzvywzyx212121222zyx)(21Vkjizyxxy. 綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)及角變形運(yùn)動(dòng)，與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速率和剪切變形

7、速率。. 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度. 一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)，在圖4-4(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但

8、由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無(wú)旋流動(dòng)；在圖4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。在日常生活中也有類(lèi)似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè)兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來(lái)說(shuō)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。.圖4-4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng).判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿(mǎn)足根據(jù)式（4-3），則有0zyx,zvyw,xwzuyuxv（4-8）.二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度1速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一速度環(huán)量。 在流

9、場(chǎng)中任取封閉曲線k，如圖4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱(chēng)為速度沿封閉曲線k的環(huán)量，簡(jiǎn)稱(chēng)速度環(huán)量，用 表示，即 式中 在封閉曲線上的速度矢量； 速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。 VKKsvsVdcosdV.圖4-5 沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量 速度 與該點(diǎn)上切線之間的夾角 V. 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)镵的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-5所示。當(dāng)沿順時(shí)針?lè)较蚶@行時(shí)，式（4-9）應(yīng)加一負(fù)號(hào)。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線K運(yùn)動(dòng)的總的趨勢(shì)的大

10、小，或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。 由于和，則kwj vi uVkzj yi xsddddzwyvxusVdddd代入式（4-9），得KKzwyvxusV)ddd(d（4-10）.2旋渦強(qiáng)度沿封閉曲線的速度環(huán)量與有旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖4-6所示，在平面上取一微元矩形封閉曲線，其面積，流體在A點(diǎn)的速度分量為和，則B、C和D點(diǎn)的速度分量分別為：XOYyxAddduvxxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD.圖4-6 沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuudxxvvdyyuxxuuddyyvxxvvddy

11、yuudyyvvd.于是，沿封閉曲線反時(shí)針?lè)较駻BCDA的速度環(huán)量將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一階的無(wú)窮小各項(xiàng)，再將式（4-3）的第三式代入后，得然后將式（4-11）對(duì)面積積分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAAuBuCuDuAvBvCvDvAyxyuxvzd2ddd （4-11）Azd2（4-12）.于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理：沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二倍，稱(chēng)之為旋渦強(qiáng)度I，即和式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AInd2dAInd2（4-13） nAdn. 由式（4

12、-11）可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量，稱(chēng)為渦量，以 表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在Z軸方向的分量為 對(duì)于流體的空間流動(dòng)，同樣可求得X和Y軸方向渦量的分量 和 。于是得即zzyuxvA2ddzzyyxxyuxvxwzuzvyw222V2（4-14） （4-15） . 也就是說(shuō)，在有旋流動(dòng)中，流體運(yùn)動(dòng)速度 的旋度稱(chēng)為渦量。 由此可見(jiàn)，在流體流動(dòng)中，如果渦量的三個(gè)分量中有一個(gè)不等于零，即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)。 下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物理意

13、義，以及有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。V.【例例4-1】 一個(gè)以角速度 按反時(shí)針?lè)较蜃飨駝傮w一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖4-7所示。試求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng) . (解)【例例4-2】 一個(gè)流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該 點(diǎn)半徑成反比，即 ，其中C為常數(shù)，如圖4-8所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。(解)rCV .【解解】 在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑 和 的圓周速度各為 和 ，沿圖中畫(huà)斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量 可見(jiàn)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。 以上結(jié)論可

14、推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。1r2r11 rV22 rV)()(212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV)(2d212221rrrrArrA2ABCDA.圖4-7 有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算圖4-8 無(wú)旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算. 【解解】 沿扇形面積周界的速度環(huán)量 可見(jiàn)，在這區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如 。若包有圓心( )，該處速度等于無(wú)限大，應(yīng)作例外來(lái)處理?，F(xiàn)在求沿半徑 的圓周封閉曲線的速度環(huán)量 上式說(shuō)明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有 旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于

15、零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱(chēng)為奇點(diǎn)。01122DACDBCABABCDArrCrrCADCBA0r202d常數(shù)CrrC.第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí)刻處處為零，即滿(mǎn)足 的流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)也稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。 一、速度勢(shì)函數(shù)引入一、速度勢(shì)函數(shù)引入 二二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)0 V. 一、速度勢(shì)函數(shù)引入一、速度勢(shì)函數(shù)引入 由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說(shuō)，存在速度勢(shì)函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)流。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫(xiě)成

16、于是得0 Vzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（4-16） .按矢量分析對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有于是 從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿(mǎn)足無(wú)旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 gradkzjyixkwj viuVzvrvrvzr，1zvrvrvzrdddd（4-17） （4-18） .二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) （1）不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù) 滿(mǎn)足拉普拉斯方程，勢(shì)函數(shù) 是調(diào)和函數(shù)。 將式（4-16）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程（3-28）中，則有 式中 為拉普拉斯算子，式（4-19）稱(chēng)為拉普

17、拉 斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿(mǎn)足拉普拉斯方程，而凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。02222222zyx2222222zyx0zwyvxu. 從上可見(jiàn)，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形 式，這樣把求解無(wú)旋流動(dòng)的問(wèn)題，就變?yōu)榍蠼鉂M(mǎn)足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問(wèn)題。 . （2）任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù) 值之差。而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。 根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分 這樣，將求環(huán)量問(wèn)題，變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。對(duì)于任意封閉曲線，若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函

18、數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即 。ABBABABAABdwdzvdyudxsdV)(0AB.第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 一、流函數(shù)的引入一、流函數(shù)的引入 對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分方程為 ,將其改寫(xiě)成下列形式 （4-20） 在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng)必須滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，即 或 （4-21） 由數(shù)學(xué)分析可知，式（4-21）是（ ）成為某函數(shù)全微分的充分必要條件，以 表示該函數(shù)，則有 （4-22）函數(shù)稱(chēng)為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式（4-22）可得 （4-23）vyuxdd0ddyuxv0yvxuyvxuyuxvdd yuxvyyxxddddd）

19、，（yxxvyu，. 由式(4-22)，令 ，即 常數(shù)，可得流線微分方程式(4-20)。由此可見(jiàn), 常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流線簇?；蛘哒f(shuō)，只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）代入流函數(shù) ，便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。 對(duì)于極坐標(biāo)系，可寫(xiě)成 （4-24） （4-25） 在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)函數(shù)一樣，可由曲線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù) ，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流

20、體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù) 。 這里需說(shuō)明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于三維流動(dòng)，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存在的。 0d），（yx00yx ，rvr1rvdddrvrvr），（yx. 二、流函數(shù)的性質(zhì)二、流函數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù) 永遠(yuǎn) 滿(mǎn)足連續(xù)性方程。 將式（4-23）代入式（4-21）得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿(mǎn)足連續(xù)性方程。 （2）對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù) 滿(mǎn)足拉普 拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)， ，則 將式（4-23）代入上式 因此，不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程，

21、也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿(mǎn)足邊界條件的 的拉普拉斯方程.yxxy220z0yuxv022222yx. （3）平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線間任一曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。 如圖4-9所示，在兩流線間任一曲線AB，則通過(guò)單位厚度的體積流量為 （4-26）由式（4-26）可知，平面流動(dòng)中兩條流線間通過(guò)的流量等于這兩條流線上的流函數(shù)之差。圖4-9 說(shuō)明流函數(shù)物理意義用圖21212121dd)d(dxxyyxxyyVxxyyxvyuq12,),(2211dyxyx.三、三、 和和 的關(guān)系的關(guān)系 （1

22、）滿(mǎn)足柯西-黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速度勢(shì)和流函數(shù)，比較式（4-16）和式（4-23），可得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 （4-27） （4-28） 這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱(chēng)作柯西-黎曼條件。因此， 和 互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類(lèi)問(wèn)題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用式（4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。xyyx，0yyxx.（2）流線與等勢(shì)線正交。 式（4-28）是等勢(shì)線簇 常數(shù)和流線簇 常數(shù)互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線和等勢(shì)線，則它們必

23、然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱(chēng)為流網(wǎng)，如圖4-10所示。 ），（yx），（yx 圖4-10 流網(wǎng)0yyxx. 【例例4-3】 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為 。該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；若在流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4105Pa，流體的密度，則B（2m，5m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？ 【解解】 （1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程該流動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程，流動(dòng)是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動(dòng) 該流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz.（2）由流函數(shù)的全微分得：積分 由速度勢(shì)函數(shù)的

24、全微分得：積分 （3）由于 ，因此，A和B處的速度分別為 由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4dddddCyx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)(464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp.第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 流體的平面有勢(shì)流動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的，很多復(fù)雜的平面有勢(shì)流動(dòng)可以由一些簡(jiǎn)單的有勢(shì) 流動(dòng)疊加而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢(shì)流動(dòng)，它包括均勻直線流動(dòng)，

25、點(diǎn)源和點(diǎn)匯、點(diǎn)渦等 . 一、均勻直線流動(dòng)一、均勻直線流動(dòng) 流體作均勻直線流動(dòng)時(shí)，流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小相等，方向相同，即 和 。由 式（4-16）和式（4-23），得 于是速度勢(shì)和流函數(shù)各為以上兩式中的積分常數(shù) 和 可以任意選取，而不影響流體的流動(dòng)圖形（稱(chēng)為流譜）。 0uu 0vv 00,vxyvuyxu10000ddddCyvxuyvxuyyxx20000d)d(ddCyuxvyuxvyyxx1C2C.若令 ，即得均勻直線流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 （4-29） （4-30） 由式（4-29）和式（4-30）可知，等勢(shì)線簇（ 常數(shù)）和流線簇（ =常數(shù)）互相垂直，如圖4-11所示。各流線與軸的夾角

26、等于 。由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都相等，根據(jù)伯努里方程（3-41），得 常數(shù)如果均勻直線流動(dòng)在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽略重力的影響，于是 常數(shù) 即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。021 CCyvxu00yuxv00yvxu00yuxv00001 -tguvgpzp.圖4-11 均勻直線流的流譜. 二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯 如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn)（圖4-12，a）；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn)（圖4-12，b）。顯然，這兩種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出

27、和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 ?，F(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則rvrrv0vrvrdd.圖4-12 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜點(diǎn)源點(diǎn)匯back. 根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，流體每秒通過(guò)任一半徑為 的單位長(zhǎng)度圓柱面上的流量 都應(yīng)該相等，即 常數(shù)由此得 （4-31）式中 是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量，稱(chēng)為點(diǎn)源強(qiáng)度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源， 與 同向， 取正號(hào)；對(duì)于點(diǎn)匯， 與異向， 取負(fù)號(hào)，于是積分得 式中積分常數(shù) 是任意給定的，現(xiàn)令 。又由于 ，于是得速度勢(shì) （4-32）當(dāng) 時(shí)，速度勢(shì) 和 速度都變成無(wú)窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。所以速度勢(shì) 和速度 的表達(dá)式（4-31）和式（4-32）只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn)以外才

28、能應(yīng)用。rVqVrqrv12rqvVr2VqrvrvrrVqVqrrqVd2dCrqVln2C0C22yxr22ln2ln2yxqrqVV0rrvrv. 現(xiàn)在求流函數(shù)，由式（4-25）積分得(令式中的積分常數(shù)為零) （4-33） 等勢(shì)線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）是同心圓簇（在圖4-12中用虛線表示）與流線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）成正交。而且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。如果 平面是無(wú)限水平面，則根據(jù)伯努里方程（341）式中 為 在處的流體壓強(qiáng)，該處的速度為零。 將式（4-31）代入上式，得 （4-34）由式（4-34）可知，壓強(qiáng) 隨著半徑 的減小而降低。當(dāng) 時(shí)， 。圖4-13表示當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)

29、匯沿半徑 的壓強(qiáng)分布。 d2ddddVrrqrvrvrvxyqqVV1-tg22rXOYgpgvgpr22pr22218rqppVpr2/ 1220)8/(pqrrV rr00pr.圖4-13 點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布.三、點(diǎn)渦三、點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為 的無(wú)限長(zhǎng)直線渦束，該渦束以等角速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦束周?chē)牧黧w繞其環(huán)流。由于直線渦束為無(wú)限長(zhǎng)，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說(shuō)，這種繞無(wú)限長(zhǎng)直線渦束的流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來(lái)處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流線是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即 常

30、數(shù)于是 （4-35）因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則成為一條渦線，這樣的流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)渦，又稱(chēng)為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí)， ，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。IIrv202rvrv，00r00rv.圖4-14 點(diǎn)渦的流譜. 現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于由 積分后得速度勢(shì) （4-36）又由于 由 積分后得流函數(shù) （4-37）當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針?lè)较?，如圖4-14所示；當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針?lè)较颉?由式（4-36）和式（4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 rrvrvr210，d2d1ddrrrrxy1-tg22rrvrvr201，r

31、rrrrrd2d1ddrln200. 設(shè)渦束的半徑為 ，渦束邊緣上的速度為 ，壓強(qiáng)為 ； 時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為 。代入伯努里方程（3-41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （4-38）由式（4-38）可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為 或 （4-39）所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常數(shù)。又由式（4-38）可知，在 處，壓強(qiáng) ，顯然這是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱(chēng)為渦核區(qū)。由式（4-39）可得渦核的半徑0r002 rv0prp2222182rpvpp2022200182rpvpp2022200182

32、1rvpp0rp常數(shù)gVgpz22.由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度 和 代入上兩式，得以 和 分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得xpyuvxuu1ypyvvxvu1yuxvxpx12ypy12xdydyypxxpyyxxdd1)dd(2pyxd1d2222）（CvCrCyxp222222212121）（.在 處， ，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （4-40）或 （4-40a）于是渦核中心的壓強(qiáng) 而渦核邊緣的壓強(qiáng) 所以 可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速

33、度分布和壓強(qiáng)分布如圖4-15所示。 0rr 00vvpp、20202002002121vpvvpvpC22021vvpp2220221rrpp20220rpvppc2022002121rpvpp2022000212121rvppppppcc）（.圖5-14 渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布.第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 從上節(jié)可以看到，只有對(duì)一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng)，才能求出它們流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí)，根據(jù)流動(dòng)直接求解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)往往十分困難。我們可以將一些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)進(jìn)行疊加，得到較復(fù)雜的流動(dòng)，這樣一來(lái)，為求解流動(dòng)復(fù)雜的流場(chǎng)提供了一個(gè)有力的工具。因此，本節(jié)先介紹勢(shì)流的疊加原理，然后再介紹

34、幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流動(dòng)。. 一、勢(shì)流疊加原理一、勢(shì)流疊加原理 前面我們知道，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都滿(mǎn)足拉普拉斯方程。凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析上都稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然是調(diào)和函數(shù)，可將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))線性組合成一個(gè)代表某一有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))。現(xiàn)將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù) 、 、 、疊加，得 （4-41）而 （4-42）顯然，疊加后新的速度勢(shì)函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程。同樣，疊加后新的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程，即 （4-43） 1233210)(3222123212203222122.

35、這個(gè)疊加原理方法簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義，可以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本平面有勢(shì)流動(dòng)疊加成所需要的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)。 將新的速度勢(shì)函數(shù) 分別對(duì) 、 和 取偏導(dǎo)數(shù)，就等于新的有勢(shì)流動(dòng)的速度分別在 、 和 軸方向上的分量： （4-44）或 （4-45）即 （4-46）xyzzzzzyyyyxxxx321321321321321321wwwwvvvvuuuuXYZ321VVVV. 由此可見(jiàn)，疊加后所得的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)的速度為疊加前原來(lái)的有勢(shì)流動(dòng)速度的矢量和。 由此，可得出一個(gè)重要結(jié)論：疊加兩個(gè)或多個(gè)不可壓平面勢(shì)流流動(dòng)組成一個(gè)新的復(fù)合流動(dòng)，只要把各原始流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加，

36、就可得到該復(fù)合流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱(chēng)為勢(shì)流的疊加原理。 . 二、螺旋流二、螺旋流 螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù) （4-47） （4-48）式中 取反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎Ｓ谑堑玫葎?shì)線方程 常數(shù)或 （4-49）流線方程為 常數(shù)或 （4-50）顯然，等勢(shì)線簇和流線簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇（圖4-16），稱(chēng)為螺旋流。流體從四周向中心流動(dòng)。）（rqVln21）（Vqrln21rqVlnVqCre1VqrlnqVCre2.圖4-16 螺旋流的流譜. 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室

37、、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布為 （4-51） （4-52） （4-53）代入伯努里方程（3-41），得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布 （4-54） rrv21rqrvVr222222224rqvvVVr222122221118rrqppV）（. 三、偶極流三、偶極流 將流量各為 的點(diǎn)源和 的點(diǎn)匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流動(dòng)圖形如圖4-17所示，它的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 （4-55） （4-56） 由流線方程（4-56） 常數(shù)，得 常數(shù)，所以流線是經(jīng)過(guò)源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的圓簇，而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R點(diǎn)。 222221lnln2lnln2yaxyax

38、qrrqVV）（）（）（2222ln4yaxyaxqV）（）（2221VVqq）（VqVq.圖4-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加 常數(shù). 現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近的同時(shí)，流量無(wú)限增大（即 ），以至使 保持一個(gè)有限常數(shù)值 的極限情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱(chēng)為偶極流， 稱(chēng)為偶極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。如圖4-18所示，偶極流指向 軸方向，這時(shí)的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢(shì)可由式（4-55）根據(jù)上述極限條件求得，將式（4-55）改寫(xiě)成Vqa，02Vaq2MMMX22121211ln2ln2lnln2rrrqrrqrrqVVV）（. 常數(shù) 常數(shù)圖4-1

39、8 偶極流的流譜 . 從圖4-19中可知，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)向原點(diǎn)O無(wú)限接近時(shí)， ，而且當(dāng) ， 時(shí) ， ， ，又由于當(dāng) 為無(wú)窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得 。因此，偶極流的速度勢(shì)或 （4-57）121cos2arr02 aVqMaqV2rrr210214321ln432）（ )1ln(21022102cos22limcos21ln2limraqraqVqaVqaVV2cos22cosrrMrM22222yxxMrxM. 圖4-19 推導(dǎo)偶極流用圖 . 在圖4-19中，BC為從B點(diǎn)向AP所作的垂線，則又當(dāng) ， ， ，所以 ，代入式（4-56）得偶極流的流函數(shù)或 （4-58）令式（4-58）等于常數(shù) ，于是

40、得流線方程 （4-59）即流線簇是半徑為 、圓心為（0， ），且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-18中實(shí)線所示。 又令式（4-57）等于常數(shù)，得等勢(shì)線方程 （4-60）即等勢(shì)線簇是半徑為 、圓心為（ ，0）且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-18中虛線所示。12sin2sinBCar02 a0asinsin2ar20202sin2sin22lim2limrrMraqqVqaVqaVV22222yxyMryM1C2121244CMCMyx14 CM14 CM2222244CMyCMx24 CM24 CM. 四、繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)四、繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無(wú)環(huán)量流

41、動(dòng)。設(shè)有一在無(wú)窮遠(yuǎn)處速度 為 、平行于X軸、由左向右流的均勻直線流，與在坐標(biāo)原點(diǎn)O上偶極矩為M、方向與X軸相反的偶極流疊加，如圖4-20所示，組合流動(dòng)的流函數(shù)為 （4-61）流線方程 （4-62）選取不同的常數(shù)值 ，可得到如圖4-20所示的流動(dòng)圖形。對(duì) 的所謂零流線的方程為或 ， V22221212yxVMyVyxyMyVCyxyMyV222C0 C012122yxVMyV0yVMyx222.圖4-20 均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng).由此可知，零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑 的圓周與正負(fù)X軸 和 所構(gòu)成的圖形。該流線到A點(diǎn)處分為兩段，沿上、下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，又重新匯合。這個(gè)平面組合流動(dòng)的流

42、函數(shù)為 (4-63)同樣，也可得到它的速度勢(shì) (4-64)以上兩式中， ，這是因?yàn)?的圓柱體內(nèi)的流動(dòng)沒(méi)有實(shí)際意義。 VMr20BB AA sin112202220rrrVyxryV22202212yxrxVyxxMxVcos1220rrrVr0r0rr. 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為 (4-65)在 ， 處， ， 。這表示，在離開(kāi)圓柱體無(wú)窮遠(yuǎn)處是速度為 的均勻直線流動(dòng)。在圖4-20中的A點(diǎn)（ ，0）和B點(diǎn)( ，0)處， ，A點(diǎn)為前駐點(diǎn)，B點(diǎn)為后駐點(diǎn)。 用極坐標(biāo)表示的速度分量為 （4-66） 2sin)(22cos1)()(1220222202202222220rrVyxxyrVyvrrVyxyxr

43、VxuxyVu0vV0r0r0vusin11cos1220220rrVrvrrVrvr.沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為所以，均勻直線流繞圓柱體的平面流動(dòng)是沒(méi)有速度環(huán)量的。因此，一個(gè)速度為 的均勻直線流繞半徑為 的圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)，可以用由這個(gè)均勻直線流與偶極矩 的偶極流疊加而成的平面組合流動(dòng)來(lái)代替。 當(dāng) ，在圓柱面上 （4-67）這說(shuō)明，流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的，也就是說(shuō)理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)不會(huì)與圓柱面發(fā)生分離。202200dsin1drrrVsvV0r202rVM0rr sin20Vvvr. 由式（4-67）可知，在圓柱面上的速度是按照正弦曲線規(guī)律分布的，如圖

44、4-21所示。在（圖4-20中的B點(diǎn)）和（圖4-20中的A點(diǎn)）處，；在處，達(dá)到最大值，與圓柱體的半徑無(wú)關(guān)，而等于無(wú)窮遠(yuǎn)處速度的兩倍。由伯努里方程（3-41）可求得不可壓縮理想流體的圓柱面上壓強(qiáng)分布的公式，即將式（4-67）代入上式，得 (4-68)在工程上常用無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)來(lái)表示流體的壓強(qiáng)分布，它定義為 (4-69)將式（4-68）代入上式，得 (4-70)01800v90 Vv2max222121Vpvp)sin41 (2122Vpp22121VvVppCp222sin41)180(sin41sin41pC無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的壓強(qiáng) .圖4-21 均直流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)中圓柱面上的速度分布. 根

45、據(jù)式（4-70）計(jì)算出理論無(wú)量綱壓強(qiáng)系數(shù)曲線如圖4-22中實(shí)線所示。注意:在計(jì)算時(shí)， 角是從前駐點(diǎn)A（ ）起沿順時(shí)針?lè)较蛟黾?。在前駐點(diǎn)A（ ）上，速度等于零，壓強(qiáng)達(dá)到最大值， ；垂直于來(lái)流方向的最大截面( )上，速度增加到最大值，壓強(qiáng)降到最小值， ；在后駐點(diǎn)B（ ）上，速度又降到零，壓強(qiáng)又回升到最大值, 。這種流動(dòng)在圓柱面上的壓強(qiáng)分布上下、前后都是對(duì)稱(chēng)的，因此流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力等于零。由于流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力可分為與來(lái)流方向垂直的升力和與來(lái)流方向平行的阻力。因此，無(wú)黏性的理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí)，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻力。不承受升力與實(shí)際情況是相符合的，但是不承

46、受阻力則與實(shí)際情況大不相符,這就是著名的達(dá)朗伯（JRdAlembert）疑題001pC903pC1801pC.事實(shí)上，有黏性的實(shí)際流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí)，在圓柱面上流動(dòng)方向的壓強(qiáng)分布是不對(duì)稱(chēng)的。這是由于實(shí)際流體存在著黏性，當(dāng)流體繞流圓柱體時(shí)，從前駐點(diǎn)開(kāi)始在圓柱面上逐漸形成一層邊界層（在第五章中講述）。流體在圓柱體的前半部的流動(dòng)是降壓增速，邊界層處于較穩(wěn)定狀態(tài)。到圓柱體的后半部變?yōu)樯龎簻p速流動(dòng)，容易發(fā)生邊界層分離，在圓柱體后面形成尾渦區(qū)，壓強(qiáng)下降。破壞了圓柱體面上前后壓強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，使圓柱體前后產(chǎn)生壓強(qiáng)差，形成壓差阻力。圖4-22中所示的實(shí)驗(yàn)所得的亞臨界雷諾數(shù)下（層流）的壓強(qiáng)分布曲線（虛線）

47、比超臨界雷諾數(shù)下（紊流）的壓強(qiáng)分布曲線（點(diǎn)劃線）更遠(yuǎn)離理論曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得，在亞臨界雷諾數(shù)下層流邊界層的分離和超臨界雷諾數(shù)下紊流邊界層的分離分別發(fā)生在大約 和附近。84120.圖4-22 壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布理論線 超臨界 亞臨界 5107 . 6Re51086. 1Re.第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節(jié) 邊界層的基本概念 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門(mén)渦街第四節(jié) 繞流阻力和阻力系數(shù) . 在本世紀(jì)初之前，流體力學(xué)的研究分為兩個(gè)分支：一是研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)不考慮黏性，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué)理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研

48、究，解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問(wèn)題，但其結(jié)果常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全不同，這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了150多年，直到本世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義，因此得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 .第一節(jié) 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念一、邊界層的概念 1904年，在德國(guó)舉行的第三屆國(guó)際數(shù)學(xué)家學(xué)會(huì)上，德國(guó)著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認(rèn)為對(duì)于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動(dòng)時(shí)，黏性對(duì)流動(dòng)的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可

49、以忽略不計(jì)，這一薄層稱(chēng)為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學(xué)的發(fā)展史上有劃時(shí)代的意義。 圖5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動(dòng)，根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場(chǎng)劃分為三個(gè)區(qū)域，即邊界層、外部勢(shì)流和尾渦區(qū)。 .圖5-1 翼型上的邊界層 III外部勢(shì)流 II尾部流區(qū)域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 . 在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi)，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力有相同的數(shù)量級(jí)，屬于黏性流體的有旋流動(dòng)區(qū)；在邊界層和尾渦區(qū)外，流體的運(yùn)動(dòng)速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外部的流動(dòng)不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力也很小，主要是慣性力。所以可將這個(gè)區(qū)域看作是

50、理想流體勢(shì)流區(qū)，可以利用前面介紹的勢(shì)流理論和理想流體伯努里方程來(lái)研究流場(chǎng)的速度分布。普朗特邊界層理論開(kāi)辟了用理想流體理論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實(shí)際上邊界層內(nèi)、外區(qū)域并沒(méi)有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與流速達(dá)到來(lái)流速度的99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度沿著流體流動(dòng)方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質(zhì)點(diǎn)受到摩擦阻力的作用，沿著流體流動(dòng)方向速度逐漸減小，因此，只有離壁面逐漸遠(yuǎn)些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達(dá)到來(lái)流速度。 . 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，同管流一樣，邊界層內(nèi)也存在著層流和紊流兩種流動(dòng)狀態(tài)，若全部邊界層內(nèi)部都是層流，稱(chēng)為層流邊界層，若在邊界層起始部分內(nèi)是層流，而在其

51、余部分內(nèi)是紊流，稱(chēng)為混合邊界層，如圖5-2所示，在層流變?yōu)槲闪髦g有一過(guò)渡區(qū)。在紊流邊界層內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄的層流底層。判別邊界層的層流和紊流的準(zhǔn)則數(shù)仍為雷諾數(shù)，但雷諾數(shù)中的特征尺寸用離前緣點(diǎn)的距離x表示之，特征速度取邊界層外邊界上的速度 ，即VxVRex (5-1) .圖5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層過(guò)渡區(qū)域紊流邊界層層流底層. 對(duì)平板的邊界層，層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為 。臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度、層外流體的紊流度等因素有關(guān)。增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w的紊流度都會(huì)降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值，使層流邊界層提前轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟吔鐚?。二、邊界層的基本特征二、邊界層的基本特?(1)

52、 與物體的特征長(zhǎng)度相比，邊界層的厚度很小, .(2) 邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動(dòng)方向是增加的，由于邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用，流動(dòng)速度降低，所以要達(dá)到外部勢(shì)流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。x65103105xRe.(4) 由于邊界層很薄，可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的 壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。 (5) 在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級(jí)。 (6) 邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。 .第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 邊界層內(nèi)的流體是黏性流體的運(yùn)動(dòng)，理論上可以用N-S方程來(lái)研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中，非線

53、性項(xiàng)仍存在，因此即使對(duì)于外形很簡(jiǎn)單的繞流物體求解也是很復(fù)雜的，目前只能對(duì)平板、楔形體繞流層流邊界層進(jìn)行理論計(jì)算求得其解析解。但工程上遇到的很多問(wèn)題，如任意翼型的繞流問(wèn)題和紊流邊界層，一般來(lái)說(shuō)求解比較困難，為此人們常采用近似解法，其中應(yīng)用的較為廣泛的是邊界層動(dòng)量積分方程解法。 . 下面來(lái)推導(dǎo)邊界層動(dòng)量積分方程。假定平面邊界內(nèi)流動(dòng)是定常的并忽略質(zhì)量力，在邊界層的任一處，取單位寬度、沿邊界層長(zhǎng)度為d的微元段作為控制體，如圖5-3所示?？刂企w的控制面由邊界層的橫斷面AB與CD以及內(nèi)邊界AD和外邊界BC組成。對(duì)控制體應(yīng)用物理概念十分清楚的動(dòng)量方程則有：通過(guò)控制面AB、BC、CD的動(dòng)量變化率等于作用在控制

54、面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。 首先計(jì)算通過(guò)邊界層控制面在軸方向上的動(dòng)量變化率。 單位時(shí)間流入x處控制面AB的動(dòng)量為 從 處控制面CD流出的動(dòng)量為 02d yvKxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd0202.從控制面BC流入的動(dòng)量采用下列求法，首先計(jì)算從 處控制面AB流入的質(zhì)量流量 而從 處控制面CD流出的質(zhì)量流量為 由不可壓縮流體的連續(xù)性方程可知，通過(guò)CD與AB控制面質(zhì)量流量的差值應(yīng)等于由BC控制面流入的質(zhì)量流量，于是流入BC控制面的質(zhì)量流量與動(dòng)量分別為 0d yvmxxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd0202xyvxmxdd0BCxyvxuKxedd0BC

55、.圖5-3 推導(dǎo)邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式用圖 .整理上述單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面的流體動(dòng)量的通量在x方向的分量，得下面計(jì)算作用在控制面上所有外力在x軸方向的合力。忽略質(zhì)量力，故只有表面力。作用在控制面AD上的表面力為 作用在控制面AB、CD上的表面力分別為作用在邊界層外邊界控制面BC上的表面力，因摩擦應(yīng)力為零，而壓強(qiáng)可取B、C兩點(diǎn)壓強(qiáng)的平均值，于是有xyvxuxyvxKKKKxexxxxxdddd002BCdxFwdADpFxxxppFxxdd)(ddxxxxppFdddddd21BC.整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代數(shù)和，并注意到略去二階小量，得式(5-2)又稱(chēng)為邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式

56、。該式是匈牙利科學(xué)家馮卡門(mén)(VonKarman)于1921年根據(jù)邊界層的動(dòng)量定理首先推導(dǎo)出來(lái)的。由于在推導(dǎo)過(guò)程中未加任何近似條件，從這個(gè)意義上講，它是嚴(yán)格的，而且對(duì)邊界層的流動(dòng)性質(zhì)也未加限制，因此它既可求解層流邊界層，又可適用于紊流邊界層。 根據(jù)動(dòng)量定理，令 ，可得邊界層動(dòng)量積分方程為 (5-2) 由于積分上限 只是 的函數(shù)，因此式(5-2)中 的可寫(xiě)成 xxxxppxxpppxFwxdddddd21dd)(ddxxxpddddWxxFKW002ddddxpyvxuyvxxexx/xxd/d.又根據(jù)勢(shì)流的伯努里方程 注意到式（5-3），則式（5-2）可寫(xiě)成 常數(shù) 則有 （5-3） （5-4）2

57、21eupxuuxpeeddddW002ddddddddxuuyvxuyvxeexex.考察邊界層的動(dòng)量積分方程式（5-2）和式（5-4）可以看到，方程中含有五個(gè)未知量： 、 、 、 、 ，其中 和 可由主流區(qū)的勢(shì)流方程求得，剩下的三個(gè)未知量是 、 、 ，因此要求解邊界層動(dòng)量積分方程，原則上還需要補(bǔ)充兩個(gè)方程，即 (1) 滿(mǎn)足繞流物體壁面條件和邊界層外邊界條件的速度分布 ； (2) 與速度分布有關(guān)的 與 的關(guān)系式。事實(shí)上， 與 的關(guān)系可根據(jù)邊界層內(nèi)的速度分布求出 peuxvWeupxvW）（yfvxWW. 通常在求解邊界層動(dòng)量積分方程時(shí)，總是先選取邊界層內(nèi)速度分布，選取的速度分布 越接近實(shí)際，

58、則所得結(jié)果越正確。但由于邊界層運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，而預(yù)先選定的速度分布只能滿(mǎn)足主要的邊界條件，不可能正好滿(mǎn)足動(dòng)量積分方程，這樣求得的結(jié)果（ 、 等）就都是近似的，故積分方程的解法只能是近似的解法。但這種解法有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，就是只要能大致選定速度分布形式，則可以得到誤差并不很大的結(jié)果，而且解法較簡(jiǎn)單，因此在工程上用得較廣泛。 下面列出了用動(dòng)量積分方程求得的平板層流和紊流邊界層的部分近似解。對(duì)于層流邊界層 平板上離前緣點(diǎn)處的邊界層厚度 (5-5)W2184. 584. 5xxReVx. 在平板一個(gè)壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-6) 摩擦阻力系數(shù) (5-7) 對(duì)于紊流邊界層 平板上離前緣點(diǎn)處的邊

59、界層厚度 (5-8) 在平板一個(gè)壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-9) 摩擦阻力系數(shù) (5-10)2123686. 0686. 0lDxReVbllVbF212372. 121lDxfReblVFC5137. 0 xxRe512036. 0lDxReVblF51074.0lfReC.以上幾式中 均勻來(lái)流速度，m/s； 平板的寬度， m； 平板的長(zhǎng)度， m； 來(lái)流的密度， kg/m3。Vbl.第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門(mén)渦街 如前所述，當(dāng)不可壓縮黏性流體縱向流過(guò)平板時(shí)，在邊界層外邊界上沿平板方向的速度是相同的，而且整個(gè)流場(chǎng)和邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)都保持不變。當(dāng)黏性流體流經(jīng)曲面物體時(shí)，邊界層外邊界

60、上沿曲面方向的速度是改變的，所以曲面邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)也將同樣發(fā)生變化，對(duì)邊界層內(nèi)的流動(dòng)將產(chǎn)生影響。曲面邊界層的計(jì)算是很復(fù)雜的，這里不準(zhǔn)備討論它。這一節(jié)將著重說(shuō)明曲面邊界層的分離現(xiàn)象。 . 一、曲面邊界層的分離現(xiàn)象一、曲面邊界層的分離現(xiàn)象 在實(shí)際工程中，物體的邊界往往是曲面（流線型或非流線型物體）。當(dāng)流體繞流非流線型物體時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)下列現(xiàn)象：物面上的邊界層在某個(gè)位置開(kāi)始脫離物面， 并在物面附近出現(xiàn)與主流方向相反的回流，流體力學(xué)中稱(chēng)這種現(xiàn)象為邊界層分離現(xiàn)象，如圖5-4所示。流線型物體在非正常情況下也能發(fā)生邊界層分離，如圖5-4(a)所示。 .（a）流線形物體；（b）非流線形物體圖5-4 曲面邊界層