四邊形的旋轉(zhuǎn)與翻折

1、一正三角形類型在正 ABC中, P為氐A(chǔ)BC 點(diǎn)，將 ABP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°,使得AB與AC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn) 變化，將圖1-1-a丨中的PA PB PC三條線段集中于圖1-1-b丨中的一個(gè) P'CP中，此時(shí) P'AP也為正 三角形。圖(1-1)=>圖 C +*H <L2)卩例1. 如圖：1-1：設(shè)P是等邊 ABC的一點(diǎn)，PA=3 PB=4, PC=5 / APB的度數(shù)是 .二正方形類型在正方形ABCD中, P為正方形ABCD一點(diǎn)，將 ABP繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°,使得BA與BC重合。經(jīng)過(guò) 旋轉(zhuǎn)變化，將圖2-1-a丨中的PA

2、 PB PC三條線段集中于圖2-1-b丨中的 CPP'中，此時(shí) BPP'為等腰 直角三角形。圖(2-1-a)圖(2-1-b)例2.如圖2-1： P是正方形ABCD一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的距離分別為PA=1, PB=2 PC=3求此正方形ABCD面積。8FDE=>BE圖二FB5C2三等腰直角三角形類型在等腰直角三角形 ABC中，/ C=Rt/ , P為氐A(chǔ)BC 點(diǎn)，將 APC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°，使得AC與BC重合。經(jīng)過(guò)這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖3-1-b丨中的一個(gè) P'CP為等腰直角三角形。例 3 .如圖，在 ABC中，/ ACB =

3、90°, BC=AC P 為厶 ABC一點(diǎn)，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC的度數(shù)。注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識(shí)相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)圖3噸圖(3-1-b)卜平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種根本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法那么，對(duì)給定的圖形或其一局部施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開(kāi)放,分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣闊考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識(shí)來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題，下面以近幾年中考題為例說(shuō)明其解法，供大家參考。題的能力在這一理念的引導(dǎo)下

4、，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一局部的一平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移.“一定的方向稱為平移方向，"一定的距離'稱為平移距離。平移特征：圖形平移時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都一樣，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來(lái)相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1.如圖，將 ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后得到 ABC，且C'為

5、BC的中點(diǎn)，那么 C'DDB=A. 1:2 B. 1:C. 1:D. 1:3點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和含30。角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn) AC C是等邊三角形.二、翻折翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折180。后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那 么說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運(yùn)動(dòng)中是比較重要的，考查得較多.另外，從運(yùn)動(dòng)變化得圖形得特殊位置探索

6、出一般的 結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題是極為重要的，值得大家留 意。例2.如圖，將矩形 ABCD& AE折疊，假設(shè)/ BAD = 30°,那么/ AED 等于A. 30°B . 4560°D . 75點(diǎn)評(píng)：本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)/ EA=Z EAD, / AED/ AED例丈的喃京巾己知矩形紙片AUC1K M j幫紙片折垂 抉頂點(diǎn)A-VlCD上的自E車合*如扇折igFG別HAIX AB交耳點(diǎn)只G血圈1】，廿二二 求DF的長(zhǎng)* “K 1點(diǎn)評(píng)：圖形沿某條線折疊，這條線就是對(duì)

7、稱軸，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)并借助方程的的知識(shí)就能較快得到計(jì)算結(jié)果。由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動(dòng)的思想圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動(dòng) 都一一考查到了因此在平時(shí)抓住這三種運(yùn)動(dòng)的特征和根本解題思路來(lái)指導(dǎo)我 們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動(dòng)手能力、觀察能力的好素 材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類問(wèn)題時(shí)，我們通 常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過(guò)線段、角的轉(zhuǎn)換到達(dá)求解的目的。例1 如圖，直角梯形 ABCD中，AD/ BC

8、, AB丄BQ AD=2 BC=3,將腰CD以D為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 至ED,連結(jié)AE、CE那么 ADE的面積是不能確定點(diǎn)評(píng)：明確 ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫(xiě)成DE作梯形高是常見(jiàn)的解題方法之一。變式題1:如圖， ABC中AB=AC / BAC =90° 直角/ EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊 PE PF分別交AB AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論：A1AE=CF 2丨/ APE=/ CPF 3A EPF是等腰直角三角形4EF=AP 5S四邊形 aep=Saabc2,當(dāng)/ EPF在厶ABC繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)E不與A、B重合上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有例2 D、E為A

9、B的中點(diǎn)，將 ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn) A落在點(diǎn)F處。假設(shè)/ B=50°,那么/ BDF=點(diǎn)評(píng)：幾何變換沒(méi)有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問(wèn)題，觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題。變式題2:如圖，矩形紙片 ABCD AB=2,Z ADB=30，將它沿對(duì)角線 BD折疊使 ABD和 EBD落在同一平面那么A E兩點(diǎn)間的距離為旋轉(zhuǎn)具有以下特征：1圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度;2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；3對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；4圖形的形狀和大小都不變。禾U用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如.求線段長(zhǎng)例：如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的周長(zhǎng)為20，AB=4

10、,點(diǎn)E在BC上，且AE丄EF, AE=EF求CF的長(zhǎng)。C二.求角的大小例：如圖，在等邊 ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB BC上的兩點(diǎn)，且 BE=CD AD與 CE交于點(diǎn) M求/ AME的大 小。三.進(jìn)展幾何推理例：如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD勺邊BC上, AE平分/ DAF，請(qǐng)說(shuō)明DE=AF-BF成立的理由數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為 兩種思想一一對(duì)稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：1、對(duì)稱的思想： 在平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱這些概念中，對(duì)稱這一概念非常重要.它包括軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心對(duì)稱.對(duì)稱是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛例

11、：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個(gè)較根本的圖形經(jīng)過(guò)哪些運(yùn)動(dòng)變換產(chǎn)生的？它是不是軸對(duì)稱圖 形？旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形？中心對(duì)稱圖形？分析： 這是一個(gè)涉與軸對(duì)稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路主要通過(guò)直觀觀察取得。這個(gè)圖案較根本的圖形是正方形，一個(gè)小正方形沿對(duì)角線方向平移一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)、兩個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個(gè) 90°后得到題目中給出的圖案，整個(gè)過(guò)程如下列圖。這個(gè)圖形是軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱 中心對(duì)稱圖形。方法探究：這里的較根本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過(guò)程。2、旋轉(zhuǎn)的思想： 旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種根本變換，通過(guò)圖形旋

12、轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡(jiǎn)單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，使?wèn)題獲得簡(jiǎn)單的解決，它是一種要的解題方法。例:如圖，正方形 ABCD一點(diǎn)P, / PAD=Z PDA= 15°,連結(jié)PB PC,請(qǐng)問(wèn)： PBC是等邊三角形嗎？為什么?P1.如圖， ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將厶ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP重合，如果AP=3,請(qǐng)求出PP'的長(zhǎng).2.如圖，在 ABC中，/ BAC=120，以BC為邊向形外作等邊三角形 BCD ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。后得到厶ECD假設(shè)AB=3 AC=2求/ BAD的度數(shù)與 AD的長(zhǎng).A3. 如圖，點(diǎn) 0是等邊 ABC一點(diǎn)，/

13、AOB=110 , / BOC=.將 BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60 °得厶ADC連接0D1試說(shuō)明： COD是等邊三角形；2當(dāng) =150°時(shí)，試判斷厶AOD的形狀，并說(shuō)明理由；3探究：當(dāng) 為多少度時(shí)， AOD是等腰三角形？4.如圖在口ABCD中, E、F分別是AD BC邊上的任意兩點(diǎn)，S APB 20cm2,S CDQ 30cm2,那么S陰影=。5.如圖，在口ABCD中, E F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE= DF,點(diǎn)G H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且 AG=CH 連接 GE EH HF FG求證：四邊形 GEHFi平行四邊形.6.如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD

14、點(diǎn)E、F分別是BC AD的中點(diǎn)，連接 EF并延長(zhǎng)，分別與 BA CD的延 長(zhǎng)線交于點(diǎn) M N,那么/ BMEh CNE不需證明.小明的思路是：在圖1中，連接BD取BD的中點(diǎn)H,連接HE HF,根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF從而/仁/ 2,再利用平行線性質(zhì)，可證得/ BMEMCNE1如圖2，在四邊形 ADBC中, AB與CD相交于點(diǎn) O, AB=CD E、F分別是BC AD的中點(diǎn)，連接 EF, 分別交DC AB于點(diǎn)M N,判斷AOMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；2如圖3,在厶ABC中，AO AB, D點(diǎn)在AC上，AB=CD E、F分別是BC AD的中點(diǎn)，連接 EF并延 長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

15、G ,假設(shè)/ EFC=60 ,連接GD，判斷 AGD的形狀并證明.7如圖，在 ABC中，AB=AC人。是4 ABC的角平分線，點(diǎn) O位AB的中點(diǎn)，連接 DO并延長(zhǎng)到點(diǎn) E,使OE=OD 連接AE、BE1求證：四邊形 AEBD是矩形；2當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，矩形 AEBD是正方形，并說(shuō)明理由.8.如圖，平行四邊形 ABCD中，AB AC , AB 1 , BC5 對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)0，將直線AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交 BC, AD于點(diǎn)E, F 1證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 90時(shí)，四邊形 ABEF是平行四邊形；2試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段 AF與EC總保持相等；3在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形 BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明理由并求出此時(shí) AC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).9.在厶ABC中,AB=AC / BAC=x 0°< a<60°，將線段BC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段BD。 1如圖1,直接寫(xiě)出/ AB