多元函數(shù)微分學(xué)

1、第三講多元函數(shù)微分學(xué)§ 1概念及定理1.二元函數(shù)極限 lim f x, y = A：= -；0, T 個:0,4$y “00 <J(x-x0 ) +(y y° j c6 時，恒有 f (x, y )A £ 8。注意:動點(diǎn) Q(x,yy 定點(diǎn)P x0,y0的方向，方式，路徑是隨意的;往往是通過選擇兩條不同路徑求出的極限不相等lim f x, y不存在。x Jx0y y。亠 3 亠33x 2xy y 求limX 0y jo解:亠 3 亠 23烏迸亠0;3 2 2 33x +2x(x _x )+(x -x )I 二 limlimx jo?x x2 - xx 10y

2、x .x-2x-極限不存在。2. 函數(shù)的連續(xù)性定義1 ：設(shè)z二f x,y在P x0,y0的鄰域內(nèi)有定義，分別給 x, y以增量L x_ y，相應(yīng)地得到函數(shù)的全增量z，假設(shè)mzo二，那么稱函數(shù)z=f x, y在P xd，y0點(diǎn)處連續(xù)。y0定義2：設(shè)函數(shù)z = f x, y在P x0,y0點(diǎn)處滿足條件: 在P x°,y°的鄰域內(nèi)有定義； 吧f x, y存在；y妙0 lim f x, y =f X0,y° ；x 沁y jy0那么稱z二f x, y在P x°, y點(diǎn)處連續(xù)。3. 偏導(dǎo)數(shù)f x0 Lx, y 0 - f X °yxlim f x，y0 f

3、 x0，y0XFXy x0,y0 =mf 初。小xoy Uim f 乂“7。Uyy y。設(shè)fx x, y , fy x,y仍然對x, y可求偏導(dǎo)，得:2 2：z J，Z J，2 二 fx2 x,y ,2 二 fy2 X,y ;；：2zc z “"fxy x,y,x: yfyx x, y二階混合偏導(dǎo).:y .:x般講，fxy x,y = fyX x,y4. 全微分 設(shè)函數(shù)z = f x, y在P x, y的鄰域內(nèi)有定義，分別給x, y以增量L x,_ y ,相應(yīng)地得函數(shù)的全增量|_z，假設(shè)Lz可寫成：Lz = A_|x B_|y OiT ,那么稱函數(shù) “ f x,y在P x, y可微。

4、其中，P =+(_y f ,o(P是當(dāng)LIxT0,_yT0時P的高階無窮小，A, B與L x,_y無關(guān)， AJx BJy 為 z 二 f x, y 的全微分，記為 dz或 df x, y，即：dz 二 A x B_ y。當(dāng)z = f x,y可微時,A，,B 二二.x ；yT曰 于是:dz 二二 dx 三dy。例 2：設(shè) u =xyyzzx，求 du o解：In u = yl nxzl nyxl nz。取微分得:I nx d y xdzyd yl nzd x;zlnu lnz dxIL> x1o d z例3：設(shè)有方程xy x2y2z . 2，求在P 1,0, -1處的全微分dz。解：dz|

5、P ' |P dx '|p dy,xy方程兩邊對x求偏導(dǎo)，得：I將 P 1,0, -1 代入，得：zx=l ；x + zx zyz+ x y.z+£ ;x 2 2 2x y z方程兩邊對y求偏導(dǎo)，得：y +弓zxz xyyz0 ;y : 2 2 2x y z將 P 1,0, -1 代入，得：Zy =Y2 ；故：dz|p=dx-、2dy。重要定理：Th1 :設(shè)函數(shù)z = f x, y在P x, y的鄰域內(nèi)可微，那么f x, y在P x,y點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù) 三二fx x, y 和 =fy x, y 存在，并且有 dz = dx 二z dy。:x:y: x: yTh2 :設(shè)

6、函數(shù)z=- f x, y在P x, y的鄰域內(nèi)兩個偏導(dǎo)數(shù) fx x, y，二=f y x, y excy存在并且連續(xù)。那么z = f x, y在P x,y處可微。Th3 :設(shè)z = f x, y的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，fxy x, y = fyx x, y，即對x, y求偏導(dǎo)的次序無關(guān)。注意：z = f x, y的連續(xù)，可導(dǎo)指的是兩個偏導(dǎo)數(shù)fx x, y ， fy x, y存在，可微三者之間的關(guān)系： 可微 > 可導(dǎo)，可微 > 連續(xù)； 連續(xù)，不能 > 可導(dǎo)；連續(xù)，不能> 可微； 可導(dǎo)，不能 > 可微；可導(dǎo)，不能> 可連續(xù)；§ 2多元函數(shù)的微分法- 多元簡單

7、顯函數(shù)的微分法例4:設(shè)uz=xy，求：:u:x：:u:y,：u。:zuzyz -1解：二 y x.x:u=上 eyzinx)=eyl nx z 1 . z 1z y(zy In 燈 zyl n x ； xyyu ； - yzl nxy I nx zzz yee ylnylnx ylnylnx °x；z 之二多元顯函數(shù)的微分法f u,v , u = x, y , x, y ， f, :, 均可微，那么z二f L Ix,y , ' x, y 對x, y的偏導(dǎo)數(shù)存在，并且有:czczcuczcvczdzcuczdv=+ ， =+。.x；u jxjv；x；:yju ；yjv；y=f

8、u,v , u = t , v ：嘰;t ， f, 均可微，那么z = f : t t對t可導(dǎo)并且有：空=2理0。dt cu dtdv dt設(shè) z = f x,u,v , u = x,y,v= x, y ， f,:'均可微，那么復(fù)合函數(shù):z = f x,x,y J x, y對x,y的偏導(dǎo)數(shù)存在，并且有:； + fv'竺，U=fx O+fu'd.x ；x :y: y:u ' ；:v fv 。注意如下事項(xiàng):用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系:1偏導(dǎo)數(shù)或三的結(jié)構(gòu)偏導(dǎo)數(shù)或二的項(xiàng)數(shù)=中個變量個數(shù)，每項(xiàng)是兩個因子的乘積，第一個因子是函數(shù)對中間變量的偏導(dǎo)；第二個因子是中間變量對指定

9、自變量的偏導(dǎo)數(shù)。-或 三仍然是以x, y為自變量，以u,v為中間變量的函數(shù)，再求偏導(dǎo)數(shù)要將.x :y前面的連鎖法那么再作一遍。對于抽象的復(fù)合函數(shù)一定要設(shè)中間變量。例如：z = f x y,si nxy，令u =x y ，v二sinxy。如果求的是高階偏導(dǎo)數(shù)，中間變量通常用1,2,3ll I數(shù)字表示更簡單。例5:設(shè)pf鬲Qff x, y, z 是 k 次齊次函數(shù)，即 f tx,ty,tz =tk f x,y, z，計算 x y z '-excycz解：令 u =tx, V =ty,w =tz，那么f tx,ty,tz 二tkf x, y,z - f u,v,w 二tkf x, y, z，

10、兩邊對t求偏導(dǎo)，得:f;:f;fx y z_:u:v:w兩邊同乘以t,得：ff;fU V w；:u；:v:Wk二kt f x, y,z j=kf u,v, w ;故: x丄 y丄 zf = kf x, y,z。.x:y-z例 6：設(shè) z = x y, x - y' xy, = JI x丿，V均可微，求zex cy解：z=®(x + y,x y )4 fxy,-'；k x丿:z:x_y2 x:zL、: y ; y'x 2。x - - cos例 7：設(shè) z = f x y,cosxy .、y= Psi n 日解：令 u = x y,v = cosxy,z = f

11、u,v ;-U u =1, 1;：y-X.：VV.ysin xy,xsin xy ；:x: y.zcPL、L、L、f"*.uex：-：L、L、L、L、L、L、L、L、:z :u :y : z :v :x : z : v :y+L、L、L、L、_u 冷二 :V :x伙:：zsi®-yr=-Usdyico：-x xsy-V.zs i n:VL、l、l、:z :z : u :x:z:u=七u 上.'z=- si nz+ Pco比 + y sxyi s 尿cueVaxi n£ o scv例&設(shè)Z = f x2y2, xey . f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)，求CZ

12、'' y解： =£ 2x + f2e ;x-2_- = £(f；2x + f2ey ) = 2x( f；2 y+ f；Xe 十 y e 2件(e 2f +y 2界 :x .y:y=4xyf11 2ey x2 y f12 xe2y f22 ey f2三隱函數(shù)微分法 設(shè)F x,y =0,史x，y ；dx Fy(x, y) z = z x,y，由方程F x,y,z =0確定cZFx(x, y,z )邑_ Fy (x,y,z):xFz' x, y,z ' :yF； x,y,z(意味著jF(x,y,z)=o,只能確定兩個因變量，一個自變量，假設(shè)求G x

13、,y,z "f列卄蟲=十Fy dx Fz dxFxG魚+G生一Gyzxi dx dxx為自變量，y, z均為x的函數(shù))兩邊對 x求偏導(dǎo)，得：F' l+F' + F 竺=0Fx ' Fy dx Fz dx 0 Gx 1 Gy'dy Gz -0 Ldx dx由克萊姆法那么:dy ？dx例 9：設(shè) F x-z, y-z =0，求 dz。解：u = x-z, v = y-z, F u,v = 0，求微分得:Fu'du+Fv'dv = 0，即:Fu' dx-dz F； dy-dz =0= dz =Fu dx FvdyFu - F；例 10

14、：設(shè) x2y2 z2 = xyf z2。計算 x目。excy解：兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)：cz2'cz2x 2z yf z xyf t 2z :x: x2:z'；:z=2x 2z x yf t 2xyzf t x :x:x；z=x -exoxyf t -2x2z 1 xyf' t '2:Zxyf t -2yy:y 2z1-xyf t:zcz- x y 次dy 1 -xyf (t):z ；z例11:設(shè)F x+ ,y + =0。計算x + y 。:x: y解： 設(shè) u=x.?,v = y.?y xF u, v =0 ,兩邊對x求偏導(dǎo)，得:Fu 1+lzx +Fv"

15、< y丿12zxx x2兩邊同乘以x y，得:''；zx yFu xFu x - ex J-yzF v yF= x£g=yzFvx2yFu , 泳yFv +xFu同理可得:z xzFV -y2xFu y:yyFv xFucz x _ :xy=z-xy。例12：設(shè)y = f x,t , t由方程F x,ty,t = 0確定為x, y的二元函數(shù)，求 魚。dx解:y = f x,tr V ；，令 ty =un < F x,ty,t i=0兩邊對x求導(dǎo)，得：= fx 1ftdx 卜'1 +Fu y = f x,t F x,u,t = 0 ''

16、;dtdx'型'dx dxdy I'dt門FtdT。d_ft， dxtFuFx+IyFu+F； dxdxfx-ftdy 一Fx yFu+Rfx( yFu * Ft )ft Fxr dx 1-ft'yFu + Ft' +tft'FutFu yFu +Ft§ 3多元函數(shù)的極值定義1：設(shè)z =f xy ,在P xo，yo的鄰域內(nèi)有定義，Q x, y為該鄰域內(nèi)異于P Xo，y°的 任一點(diǎn)，假設(shè)恒有 f x,y f Xo，y° (或：:：f x)，yo)，那么 f Dy。為 f x,y 的 極小值(或極大值)。I -'

17、定義2：方程組 fx x,y =°的解，稱為函數(shù)f x,y的駐點(diǎn)。fy(x,y)=oTh1 ：(取極值的必要條件) 設(shè)f x°, y°為f x, y的極值，且z=f x, y在P x°,y°處 '的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx x, y ,fy x,y存在，那么fx x, y °。fy(x,y )=°Th2 :(取極值的充分條件)設(shè) z=fx,y在P x°,y°的鄰域內(nèi)有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且fx x°, y° =0, fy x°,y° =0,令：A 二 fx2 x°

18、;,y° , B = fx； x°,y° , C = fy2 x°, y°- 卄2A>0 (此時必有Ca0戶f(x°,y° )為極小值 右B -AC <0，那么(A <0 (此時必有C £0呂f (x0, y0 )為極大值 B2 - AC 0，那么f x0, y0不是極值；2 B -AC =0，用配方法判別。一無條件極值：fx(x, y )= 0令z=f x, y , 求出駐點(diǎn)及使，無解的點(diǎn)；fy(x,y )=0 求出二階導(dǎo)數(shù)fx, fy2, fxy在中點(diǎn)處的值； 用Th3判別。二條件極值：設(shè)目標(biāo)

19、函數(shù)u=f x,y,z的約束條件為 x,y,zi； = o。極值的求法： 化為無條件極值；利用拉氏乘數(shù)法。拉氏乘數(shù)法： 作輔助函數(shù)：令 F x, y, z = f x, y, z 亠門h x, y,z ;解方程:fx川冷x =0 fy=0fz：；yz =o：x, y,z =0得出駐點(diǎn) xo,y°,Zo ;:x, y,z =0f xo,yo,zo就是所求的極值或最值。最值的求法:求函數(shù)z = f x, y在閉區(qū)域D上的最值。 先求z = f x, y在D內(nèi)可能的極值點(diǎn)，求出對應(yīng)的函數(shù)值; 再求z = f x, y在D的邊界上的可能取值點(diǎn)，求出對應(yīng)的函數(shù)值； 進(jìn)行比擬，最大者為最大值，最

20、小者為最小值。2例13：求z = f x, y = xy 4 -x -y在由x y =16與x軸，y軸所圍區(qū)域D上的最值。解：先求f x, y在D內(nèi)可能的取值:解方程組 ' 2 2fx =y 4 - x-y -xy =0 fy = 2xy 4 _x _ y xy2 = 0= y = 2x x= 1,y =2=駐點(diǎn)為 1,2。2f 1,2 =1 24-1-2 =4 ；再求f x,y在D的邊界上的可能取值:在 x 軸上，y=0, 0_x_6, f=0 ；在y軸上，x = 0, 0乞y空6, f =0 ；在x y二6上，令x = 6 - y，代入函數(shù)中， 2f y =6-yy 4-6 y-y

21、 = -2y 6- y ；f (y)=-22y(6-y)-y2 = 0 =y=4,x=2 ；f 2,4 =2 42 4 -2 -4 二-64 ；比擬后，得：max' f x,y 4, min、f x,y * 八64。DD2例14：求拋物線y = x上的點(diǎn)到直線 y = x-4的最短距離。解：y=x_4 二 x_y_4=0 ；d =yo 2 目標(biāo)； yo=x。2 約束條件;Ji2 +(-1)22令 F xo, yo = xo yo "4亠 / I yo 'xo ；解方程組Lfx)- 2xo yo 4- 2 ' xo = :_!fyo= -2 xo - yo - 4 '= 02yo =xo 1 1二xoNyo二駐點(diǎn)為4 2 415 片min d =>/2 ；V282 2 2x