導(dǎo)數(shù)在解決運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

1、淺談物理教學(xué)中的幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題王錕我們都知道，物理量的定義、物理規(guī)律、物理定律等通常都是通過(guò)數(shù)學(xué)式來(lái)描述的，求解物理問(wèn)題也常常要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以說(shuō)，物理離不開(kāi)數(shù)學(xué)，下面本人就如何運(yùn)用數(shù)學(xué)原理巧解一些物理問(wèn)題談?wù)勛约旱拇譁\體會(huì)。、運(yùn)用二次函數(shù)極值公式求極值問(wèn)題我們知道二次函數(shù) y =ax2 bx c有如下知識(shí):2假設(shè) a 0、x= 時(shí)，y有極小值 ymin =4ac _b2a4a假設(shè)a v0、X =時(shí)，y有極大值 ymax =4ac _b 。2a4a【例1】一輛汽車在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r，汽車以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛。恰在這時(shí)，一輛自行車以6m/s的速度同向勻速駛來(lái)，從后邊超過(guò)汽車，

2、試求汽車從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間 兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？解：設(shè)自汽車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，t時(shí)刻汽車和自行車的位移分別為：s,二12 =3t22 2S2 =vt =6t汽車追上自行車之前，t時(shí)刻兩車的距離為：L =s2 _可=6t-3t2 =_3t2 6t2 262由二次函數(shù)求極值的公式知：當(dāng)t= ( 2s時(shí)，L有最大值Lmax二-6m332 ()4 (-)22二、通過(guò)三角函數(shù)變換求極值問(wèn)題設(shè)三角函數(shù)y =cos，i.sin可作如下變換:令 tan B =卩，那么有： sin 日= ，cosT =-； 1于是有：y = 1 .|2 COS：. -T當(dāng)G=8時(shí)，y有極大值

3、ymax =申+卩2【例2】一質(zhì)量為m的木塊放在水平面上，以一個(gè)大小為 F的拉力拉著它在水平地面上運(yùn)動(dòng)，木塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，拉力F沿什么方向拉物體時(shí)，物體的加速度最大，此最大值為多少?解：木塊運(yùn)動(dòng)中受到如右圖 1所示的四個(gè)力的作用設(shè)拉力F與水平方向成：.角。由牛頓第二定律有：F mg。F cos - f =maF sin 亠 N =mg并且f =由式可解得a =F(cosa +Psin 0()內(nèi)m令 tan 日=!,那么有：sin 日= 卩 ,cosg =1Jl+疋Ji +疋加速度 a 便可寫成：a =F Ji+卩2 (cosa，cos日+sina sin 日)Mg =二 Ji+疋 c

4、os(a 日)pgm im 顯然當(dāng)-r，即拉力與水平面夾角? -arctan時(shí)，木塊運(yùn)動(dòng)的加速度最大，加速度最大值為:amax =F J +M2 內(nèi) m 三、導(dǎo)數(shù)在解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)即函數(shù) y=f(x)在某點(diǎn)xo附近，y對(duì)x的變化率的極限，即f(X。);而對(duì)于一個(gè)變速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，某時(shí)刻的瞬時(shí)速度即在某時(shí)刻to附近的平均速度的極限值，即v=s(to) = lm二：,而加速度即某時(shí)刻速度隨時(shí)間變化率的極限，即a =v (to)，因此，在某變速直線運(yùn)動(dòng)中只要找岀位移隨時(shí)間的變化規(guī)律(函數(shù)關(guān)系式)，求其導(dǎo)數(shù)，即得速度時(shí)間關(guān)系式；同理，對(duì)速度時(shí)間函數(shù)求導(dǎo)，即可求岀加速度時(shí)間關(guān)系，給定

5、時(shí)刻t0,即可求出對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)速度 v和瞬時(shí)加速度a。1 2s =v0t ? at2，由 t 及2【例3】某物體的位移時(shí)間關(guān)系為：s =4t2 - 2t 3，求物體5s末的瞬時(shí)速度及加速度。過(guò)去學(xué)生遇到此類問(wèn)題，一般采用公式對(duì)照法確定加速度和初速度，即對(duì)照位移公式t2的系數(shù)確定v0和a,再套用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出對(duì)應(yīng)值，但此題中增加了常數(shù)項(xiàng)，使學(xué)生理解其含義增加難度(其 實(shí)是時(shí)間和位移起點(diǎn)不同造成的)，但如果用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，問(wèn)題迎刃而解。即：v =s = & 2(m/s) a=v =8(m/s顯然，當(dāng) t =5(s)時(shí)，v =42m/s)a為常數(shù)，即勻變速直線運(yùn)動(dòng)，恒為8m/s2。*評(píng)注：對(duì)照法只能解決勻

6、變速直線運(yùn)動(dòng)，而對(duì)于非勻變速直線運(yùn)動(dòng)無(wú)能為力，而導(dǎo)數(shù)解法不受此影響，例如st3 2t照樣可用求導(dǎo)的方法解決其某瞬時(shí)的速度和加速度?！纠?】右圖2中表示某上拋物體在上升過(guò)程中上升高度隨時(shí)間 變化的關(guān)系圖像，假設(shè)上升過(guò)程中阻力恒定。由圖像確定物體的初速度？確定上升過(guò)程中阻力是重力的幾倍？此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即某點(diǎn)曲線的斜率代表該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值， 而st圖象中，某點(diǎn)的斜率代表該點(diǎn)瞬時(shí)速度，由圖可知t=0時(shí)，斜率為該點(diǎn)的瞬時(shí)速度即運(yùn)動(dòng)的初速度，v0 =40m/s ；而t =2處斜率為零即速度為零，物體上升到最高點(diǎn)，可用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解運(yùn)動(dòng)加速度，從而求出阻力和重力的關(guān)系，即vt -v0 a 二t_0 -

7、40 -2-20(m/s);f =mg四、導(dǎo)數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用當(dāng)閉合電路中磁通量發(fā)生變化時(shí)，會(huì)在導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，法拉第電磁感應(yīng)定律給岀，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與閉合電路中磁通量隨時(shí)間的變化率成正比，即E =n ， n為線圈匝數(shù)。當(dāng)事隨時(shí)間均勻變化時(shí)，二-為0心定值，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為定值，可由任意時(shí)間內(nèi)的磁通量變化求岀;能計(jì)算平均值，無(wú)法計(jì)算瞬時(shí)值。假設(shè)利用導(dǎo)數(shù)，找岀：隨時(shí)間的變化規(guī)律，求導(dǎo)便可求岀E的瞬時(shí)值?！纠?】某發(fā)電機(jī)有n匝線圈，單匝線圈為正方形， 邊長(zhǎng)為a,通過(guò)線框平面的磁場(chǎng)恒為B,如右圖3所示，當(dāng)線圈平面以角速度.從垂直磁場(chǎng)位置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求 線框平面中E的表達(dá)式。過(guò)去學(xué)生遇到這些問(wèn)題，

8、一般利用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求 岀切割磁感線兩邊瞬時(shí)速度的表達(dá)式，利用E =BLv求解，即E =nBS .sin t =nBa ,sin .t，此結(jié)論也可由導(dǎo)而當(dāng)非均勻變化時(shí)，E隨時(shí)改變，E=n上:只圖3數(shù)得出，隨著線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)線圈平面內(nèi)的磁通量：.：-BS=Ba2cost，求導(dǎo)得E。-：-.Ba2sin.t，(負(fù)號(hào)代表磁通量減小時(shí)E增大)，那么線圈中總電動(dòng)勢(shì)為 E =nE =nB a2sin t。*評(píng)注：求導(dǎo)的方法不僅可以找岀電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間的變化情況，而且還可看岀在發(fā)電機(jī)中磁通量的變化和電動(dòng) 勢(shì)的關(guān)系，即磁通量減小時(shí)電動(dòng)勢(shì)增大，另外對(duì)自感現(xiàn)象中自感電動(dòng)勢(shì)E=L=l也可將I(t)求導(dǎo)得出，即E=|【后記】在數(shù)學(xué)高考試題中已岀現(xiàn)對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查，可以預(yù)