平行四邊形及特殊的平行四邊形

1、平行四邊形 與特殊的平行四邊形一.選擇題共20小題1. 2021?以下判斷錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B. 四個(gè)角都相等的四邊形是矩形C. 四條邊都相等的四邊形是菱形D. 兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形分析根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定，菱形的判定以與正方形的判定對各選 項(xiàng)分析判斷即可得解.解答解：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、四個(gè)角都相等的四邊形是矩形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、四條邊都相等的四邊形是菱形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形，錯(cuò)誤，應(yīng)該是菱形，故本選項(xiàng)正確. 應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng)此題考查了正

2、方形的判定，平行四邊形、矩形和菱形的判定，熟練掌握各四 邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.2. 2021 ?江以下命題中，真命題是A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形分析A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；B、根據(jù)菱形的性質(zhì)作出判斷；C、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷.解答解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；D、對角線互相垂直平分且相等

3、的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)此題綜合考查了正方形、矩形、菱形與平行四邊形的判定.解答此題時(shí)，必 須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系.3. ( 2021 ?)如圖，正方形ABCD的面積為1，那么以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形 A.； "B. 2 . p.5+1 D . 2 W分析由正方形的性質(zhì)和條件得出BC=CD= , 1=1 , / BCD=90 , CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF的長， EFGH的周長.CE=CF=1 ,得出即可得出正方形解答解：正方形ABCD的面積為1 , BC=CD= =1，/ BCD=90 ,/ E、 F分

4、別是BC、CD的中點(diǎn)， CE丄 BC丄,CF=LCD=L,2 2J 22 CE=CF CEF是等腰直角三角形， EF= >CE=,2正方形EFGH的周長=4EF=4<乎=2也;應(yīng)選：B.點(diǎn)評(píng)此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF的長是解決問題的關(guān)鍵.4. ( 2021 ?)如圖，在正方形ABCD中，連接BD,點(diǎn)0是BD的中點(diǎn)，假設(shè) M N是邊 AD上的兩點(diǎn)，連接MO NO,并分別延長交邊BC于兩點(diǎn)M 、N',那么圖中的全等三 角形共有()J一討VT>(/8cA. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對

5、分析可以判斷 AB醫(yī) BCD MD M BO NOD N' OB MO>N M ON 由此即可對稱結(jié)論.解答解：四邊形ABCD是正方形， AB=CD=CB=AD / A=Z C=Z ABCM ADC=90 ,AD/ BC在 ABD和 BCD中，:,I AD二CD AB醫(yī) BCD/ AD/ BC M MDON M BO在 MOD和 M OB中，BO ZM0D=Z.H.J" OB， MD越 M BQ 同理可證厶 NO墜 N OB / MO>N M ON 全等三角形一共有4對.應(yīng)選C.4_V D73¥AfC點(diǎn)評(píng)此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題

6、的關(guān)鍵是熟練掌握 全等三角形的判定方法，屬于根底題，中考?？碱}型.5. 2021 ?如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點(diǎn)在AD上.假設(shè)那么/ B的度數(shù)為何？A. 50 B . 55 C . 70 D . 75分析由平角的定義求出/ CED的度數(shù)，由三角形角和定理求出/ D的度數(shù)，再由平 行四邊形的對角相等即可得出結(jié)果.解答解：四邊形CEFG是正方形， / CEF=90 ,/ / CED=180 -/ AEF- / CEF=180 -15° 90° =75°, / D=180 - / CED- / ECD=180 -75°- 35

7、76; =70°,四邊形ABCD為平行四邊形， / B=Z D=7C°平行四邊形對角相等.應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)此題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形角和定理等知識(shí)；熟 練掌握平行四邊形和正方形的性質(zhì)，由三角形角和定理求出/ D的度數(shù)是解決問題的 關(guān)鍵.6. 2021 ?呼和浩特如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個(gè)小正方形EFGH,其中E、F、G分別在AB、BC、FD 上 .那么小正方形的周長為A.“ ' B.8分析先利用勾股定理求出DF,再根據(jù) BE可 CFD得EF：DPDC求出EF即可解決問題解答解：四邊形ABCD是正方形，面積為24 , BC=CD=2

8、T / B=Z C=90 ,四邊形EFGH是正方形，EFG=90 ,EFB亡BEF=/ZZZDFC=90 ,/ BEF亡 EFB=90 ,DFC / / EBF=/ C=90 , CFDBEFEFBFDF fDCCF=P, DF=/ BF=正方形EFGH的周長為7 . ( 2021 ?)女口圖，/ AEB2 CFD=90 ,點(diǎn)評(píng)此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正 確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型.在正方形ABCD中， ABE和 CDF為直角三角形，AE=CF=5 , BE=DF=12 ,貝U EF 的長是(A. 7 B . 8 C

9、 . 7 ： D. 7 j分析由正方形的性質(zhì)得出 / BAD=/ ABCM BCDM ADC=90 , AB=BC=CD=AD,由 SSS 證明 AB妾 CDF 得出/ ABEM CDF 證出/ ABEM DAGM CDFM BCH 由 AAS 證 明 ABE ADG 得 出 AE=DG, BE=AG ,同 理：AE=DG=CF=BH=5 , BE=AG=DF=CH=12 ,得 出EG=GF=FH=EF=7 ,證出四邊形EGFH是正方形，即可得出結(jié)果.解答解：如下列圖：/四邊形ABCD是正方形， M BADM ABCM BCDM ADC=90 ,AB=BC=CD=AD, M BAE+M DAG

10、=90 ,在 ABE和 CDF中， ABE CDF( SSS), M ABEM CDF/ M AEBM CFD=90 , M ABE+M BAE=90 , M ABEM DAGM CDF同理：M ABEM DAGM CDFM BCH, M DAGM ADGM CDFM ADG=90 ,即 M DGA=90 ,同理：M CHB=90 ,在 ABE和 ADG中，rZABE=ZDAG 二ZDGA二90“， ABE ADG( AAS), AE=DG BE=AG,同理:AE=DG=CF=BH=5 , BE=AG=DF=CH=12 , EG=GF=FH=EF=425=7 ,/ M GEH=180 -90&

11、#176; =90° ,四邊形EGFH是正方形， EF=EG=7 .】；應(yīng)選：C.點(diǎn)評(píng)此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方 形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.8. ( 2021 ?)如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上 的點(diǎn)E處，折痕為GH.假設(shè)BE: EC=2:1，那么線段CH的長是()A. 3 B . 4 C . 5 D . 6分析根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DH=EH,在直角 CEH中，假設(shè)設(shè)CH=x ,那么DH=EH=9 - x , CE=3cm ,可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CH的長.解答解：由題意設(shè) C

12、H=xcm ,貝U DH=EH= ( 9 - x) cm,/ BE EC=2 : 1 , CE=BC=3cm在 Rt ECH 中,EH =EC +CH ,即(9 - x ) 2=3 2+x 2,解得：x=4 ,即 CH=4cm .點(diǎn)評(píng)此題主要考查正方形的性質(zhì)以與翻折變換，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱性質(zhì)： 對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.找到相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理求解是解決此 題的關(guān)鍵.9 . ( 2021 ?)以下關(guān)于矩形的說法中正確的選項(xiàng)是()A.對角線相等的四邊形是矩形B. 矩形的對角線相等且互相平分C. 對角線互相平分的四邊形是矩形D. 矩形的對角線互相垂直且平分分析根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定定

13、理逐個(gè)判斷即可.解答解：A、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、矩形的對角線相等且互相平分，故本選項(xiàng)正確；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 應(yīng)選B.點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記矩形的性質(zhì)和判定定理是解此 題的關(guān)鍵.10 . ( 2021 ?)以下說法： 三角形的三條高一定都在三角形 有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 兩邊與一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形其中正確的個(gè)數(shù)有()A. 1個(gè) B. 2個(gè)

14、C. 3個(gè) D. 4個(gè)分析根據(jù)三角形高的性質(zhì)、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判 定方法、平行四邊形的判定方法即可解決問題.解答解：錯(cuò)誤，理由：鈍角三角形有兩條高在三角形外. 錯(cuò)誤，理由：有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形不一定是矩形，有三個(gè)角是直角的 四邊形是矩形. 正確，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. 錯(cuò)誤，理由兩邊與一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 錯(cuò)誤，理由：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形有可 能是等腰梯形.正確的只有，應(yīng)選A.點(diǎn)評(píng)此題考查三角形高，菱形、矩形、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是 靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.11

15、. ( 2021 ?)矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下列圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 4),)C. ( 3, J)D. ( 3 , 2)AB上，當(dāng) CDE的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為()分析如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)H,連接CH與AB的交點(diǎn)為E,此時(shí) CDE 的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點(diǎn)即可解決問題.解答解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)H,連接CH與AB的交點(diǎn)為E,此時(shí) CDE的周長最小. D (學(xué)，0) , A ( 3 , 0),二 H<,0),直線CH解析式為y - _Lx+4 ,g x=3 時(shí)，y=,3點(diǎn)E坐標(biāo)(3 ,3點(diǎn)評(píng)此題考查矩形的性

16、質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、一次函數(shù)等 知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱找到點(diǎn)E位置，學(xué)會(huì)利用一次函數(shù)解決交點(diǎn)問題， 屬于中考?？碱}型.12 . ( 2021?)如圖，在矩形 ABCD 中，AD=6 , AE! BD 垂足為 E, ED=3BE ,點(diǎn) P、Q 分別在BD, AD上，貝U AP+PQ的 最小值 為()A. 2 '二B. ?C. 2 JD. 3 .分析在Rt ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對稱 點(diǎn)A ，連接A D,可證明 ADA 為等邊三角形，當(dāng)PQL AD時(shí)，那么PQ最小，所以 當(dāng)A Q! AD時(shí)AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ

17、的最小值等于DE的長，可得出答案.解答解：設(shè) BE=x，那么 DE=3x，/四邊形ABCD為矩 形，且AE! BD ABE DAE2 2 2 AE =BE? DE，即 AE =3x ， AE=R：x，2 2 2 2 2 2在Rt ADE中，由勾股定理可得AD =AE +DE ,即6 = ( T；x)+ ( 3x )，解得x=：, AE=3 DE=3 逅,如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A ,連接A D, PA ,貝U A A=2AE=6=AJDAD=A D=6 AA d是等邊三角形，/ PA=PA ,當(dāng)A 、P、Q三點(diǎn)在一條線上時(shí)，A P+PQ最小，又垂線段最短可知當(dāng)PQL AD時(shí)，A P+PQ

18、最小， AP+PQ=A P+PQ=A Q=DE=3 '：,應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng)此題主要考查軸對稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點(diǎn)，從 而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明 A DA是等邊三角 形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計(jì)算.BD DE/ AC 假設(shè)13 . ( 2021?)如圖，矩形ABCD的對角線 AC、BD相交于點(diǎn)O, CE/ ( )分析由四邊形ABCD為矩形，得到對角線互相平分且相等，得到OD=OC,再利用兩 對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形DECO為平行四邊形，利用鄰邊相等的平 行四邊形為菱形得到四邊形DECO為菱形，根據(jù)AC的長求出O

19、C的長，即可確定出其 周長.解答解：四邊形ABCD為矩形， OA=OC OB=OD,且 AC=BD, OA=OB=OC=OD=2/ CE/ BD DE/ AC四邊形DECO為平行四邊形，/ OD=OC四邊形DECO為菱形， OD=DE=EC=OC=2那么四邊形OCED的周長為2+2+2+2=8 ,應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)，以與菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解 此題的關(guān)鍵.14 . ( 2021 ? 威海)如 圖，在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=6，點(diǎn) E為BC的中點(diǎn)，將 ABE 沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形點(diǎn)F處，連接CF,那么CF的長為()分析連接BF，根據(jù)/ FE=BE

20、=EC AE=z| _.，=5 , / BFC=90 ,應(yīng)選：D.5三角形的面積公式求出BH,得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得 到/ BFC=90 , 根據(jù)勾股定理求出答案.解答解：連接BF, BC=6 點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)， BE=3又/ AB=4點(diǎn)評(píng)此題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它 屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是 解題的關(guān)鍵.15 . ( 2021 ?)如圖，矩形ABCD中，AD=2 , AB=3 ,過點(diǎn)A, C作相距為2的平行線段AE, CF,分別交CD, AB于點(diǎn)E, F,那么DE的長是()A.' B. L

21、C. 1 D . L6 6分析過F作FFU AE于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD, AB/ CD 推出四邊形AECF 是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 匕丄，于是得到AE=AF，列方程即可得到結(jié)論.AF_FH解答解：過F作FH! AE于H,四邊形ABCD是矩形， AB=CD AB/ CD/ AE/ CF,四邊形AECF是平行四邊形， AF=CE DE=BF AF=3- DE, AE= “ ，/ / FHA2 D=Z DAF=90 , / AFH+Z HAF2 DAE+/ FAH=90 , / DAEM AFH AD0 AFH AE=AF、=3 - D

22、E,應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形 的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.16 . ( 2021 ?)如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC 的長分別是6和8 ,那么點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是()A. 4.8 B . 5 C . 6 D . 7.2分析首先連接0P,由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，可求得0A=0D=5, AOD 的面積，然后由 S aod=Sa aop+S dopOA? PE+OD? PF 求得答案.解答解：連接op,/矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8

23、 ,-S 矩形 abcd=AB ? BC=48 , OA=OC, OB=OD, AC=BD=10 , OA=OD=5Sa acd=-S 矩形 abcd=24 ,2 Sa aod=SA ACD=12 ,21 1Sa aod=S aop+S dop=-OA?PE+丄 0D?PF=_ X 5X PE+X 5X PF=丄一 (PE+PF) =12 ,22222解得：PE+PF=4.8點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)以與三角形面積問題.此題難度適中，注意掌握輔助 線的作法以與掌握整體數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.17 . 2021 ?資陽如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對角線均交于點(diǎn)O,且EG/ BC 將矩形折

24、疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)0重合，折痕MN恰好過點(diǎn)G假設(shè)AB=."，EF=2 , / H=120 , 那么DN的長為DrA.亠無 2- 7 分析延長EG交DC于P點(diǎn)，連接GC FH,那么 GCP為直角三角形，證明四邊形0GCM 為菱形，那么可證0C=0M=CM=0G=：氣，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位線定 理CM+DN=2GP,即可得出答案.解答解：長EG交DC于P點(diǎn)，連接GC、FH;如下列圖： GCP為直角三角形，/四邊形EFGH是菱形，/ EHG=120 , GH=EF=2/ 0HG=6° ,EGL FH, OG=GH? sin60 ° =2X由折疊的性質(zhì)得：C

25、G=OG£，OM=CM / MOG/ MCG PG=嚴(yán)，/ OGI CM / MOG/ OMC=180 , / MCG/ OMC=180 , OMZ CG四邊形OGCM為平行四邊形，/ OM=C,M四邊形OGCM為菱形， CM=OG= ；,根據(jù)題意得：PG是梯形MCD N的中位線， DN+CM=2PG= ',， DN= _ :-二應(yīng)選：C.Dr點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、梯形中 位線定理、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，由梯形中位線定理得出 結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵.18 . ( 2021 ?)如圖，以矩形ABCD的A為圓心，AD長為半徑畫弧，交 AB于F點(diǎn)；再 以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交AB于E點(diǎn).假設(shè)AD=5 , CD，那么EF的長度為何？分析連接CE，可得出CE=CD，由矩形的性質(zhì)得到BC=AD，在直角三角形BCE中，利 用勾股定理求出BE的長，由AB - AF求出BF的長，由BE- BF求出EF的長即可.解答解：連接CE,貝U CE=CD亠,BC=AD=5 , BCE為直角三角形， BE=又/ BF=A- AF=2上-5=Z EF=BE- BF=2點(diǎn)評(píng)此題考查了矩形的性質(zhì)，以與勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)19.( 2021 ?)如圖，矩形 ABCD 的