數(shù)學(xué)歸納法——四種類型題導(dǎo)學(xué)案

1、一，知識梳理1、證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按以下步驟進(jìn)展：1；2。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從no開始的所有正整數(shù) n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。2、注意：1適用圍：2(3 )二、典例分析1例1、數(shù)學(xué)歸納法證明13+ 23+ 33+ n3=丄n2n+ 124例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1 n+2 n+n=2n 1 3 2n 1三、穩(wěn)固加強(qiáng)1.等式1222n25n2 7n 42，以下說確的是A .僅當(dāng)n1時等式成立B .僅當(dāng)1,2,3時等式成立12n 23.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1冷+3+&-祗n* ,心°推證n=k+1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是A.2k_1B.2k-

2、1時，由n=k k> 1不等式成立,C.2kD.2k+14.用數(shù)學(xué)歸納法證明彳 n 22 1,n+1 1 X1+ x+ X2+ X =x1 X成立時，驗證n=1的過程中左邊的式子是()(A)1(B)1 + x(C)1 + x+ x2(D)1 + x+ x2 + x3+ x25.在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成假設(shè)干堆“正三棱錐"2.設(shè) fn1+1+ + n N *，那么 fn+1一 fn等于n 1 n 2 n 3 2nA.丄B.丄丄2n 1 2n 2 2n 1 2n 2 2n 1形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2,3,4,堆最底 層

3、第一層分別按圖 4所示方式固定擺放，從第二層開始， 每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓f(n)球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，那么f(3) ;6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+6+. + n(n+1)= n(n+1)( n+2)2 6答案用n表示7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1-1/2+1/3-1/4+1- 1 = 1 + 1+ + 12n-1 2n n+1n+22n8.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 2 3+2 3 4+n(n+1)(n+2)= n (n+1) ( n+2) (n+3)4例1.是否存在常數(shù)a, b, c使等式1 222 323 42n n 12an bn c12對一切自

4、然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。11例2在各項為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn (an )2an1求s,a2,a32由1猜想數(shù)列an的通項公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.穩(wěn)固加強(qiáng):1.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n +1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1)(n N*)時，從“ k到k+1"左邊需增乘的代數(shù)式是()。(A)2k+1(B) 2k+1(C) 2(2k+1) (D)k+1k+12. Sk丄(k 1,2,3,),那么 Sk+1 =()2k(A) Sk +12(B) Sk +1)2k 21 1(C) Sk + -k 12k 112k-(D) Sk +212k 1

5、2k 23假設(shè)把正整數(shù)按以下列圖所示的規(guī)律排序，那么從2002到2004年的箭頭方向依次為14 5891214589236710114.觀察下表:設(shè)第n行的各數(shù)之和為Si，那么 Sn=.1B.C.D.23434567456789105.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,第 n 個式子為。x6.f(x)=，記 f1(x)=f(x), n > 2 時，fn(x)=ffn-1 (x)，那么 f 2(x) = ,f 3(X)= ,f 4(x)=，由此得f n(x)=.7如圖，第n個圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展'而來n=1, 2, 3，那么第n 2個圖形中共有個頂點

6、.8.數(shù)列何中,1 1 11 4 4 7 7 101(3n 2)(3 n 1)S1,S2,S3,S4，猜想Sn并證明之9數(shù)列an的前n項和Sn 2n a.,先計算數(shù)列的前 4項，后猜想 耳并證明之.例1、數(shù)學(xué)歸納法證明13n9> n> 一且 n N 丨.10例2.數(shù)學(xué)歸納法證明:12+3<2、n(N* 且n>1)1111例3.數(shù)學(xué)歸納法證明：1+ -r+ -T + 2 <2 一(n22 32n2n1.1+2 3+3 32+4 33+n 3n-1=3n(na-b)+c 對于一切 n N*都成立，那么 a、b、c 的值為()。(A)a=1/2,b=c=1/4(B)a=

7、b=c=1/4(C)a=0,b=c=1/4(D)不存在這樣的 a、b、c2. f(n) 1-11 n N ,證明不等式23 nnk 1kn 時，f 2 比f 2多的項數(shù)為()A.2k12k1C.2kD. 2k 13.某個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，假設(shè)n=k時，該命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立。現(xiàn)2當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得()(A)當(dāng)n=6時命題不成立(B)當(dāng)n=6時該命成立(C)當(dāng)n=4時命題不成立(D)當(dāng)n=4時命題成立1114.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 + 234那么從k到k + 1時,左邊應(yīng)添加的項為1 1 1(A)(B)(C)2k 1 2k 2 2k 41 1 1 1

8、2n 1 2n n 1 n 212n(nN),12k 2(D)12k 112k 25.假設(shè)要用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2(n N*)那么僅當(dāng)n取值圍是時不等式才成立。6.數(shù)學(xué)歸納法證明:1 1 1+ + n 1n+2n+3+丄(n N*且n>1)2n 247.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1 '(1 +丄35(1+丄)2n-1：(n N*.n>1)數(shù)學(xué)歸納法4一一整除證明例題一、用數(shù)學(xué)歸納法證明32n+2-8 n 9 n N 能被 64 整除.例題二、用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n 1 y2n 1( n N)能被x y整除穩(wěn)固提高：1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn+ yn能

9、被x+ y整除"，在第二步時，正確的證法是()A .假設(shè)n= k(k N +),證明n = k + 1命題成立B .假設(shè)n= k(k是正奇數(shù))，證明n= k+ 1命題成立C.假設(shè)n= 2k+ 1(k N + ),證明n= k+ 1命題成立D .假設(shè)n= k(k是正奇數(shù))，證明n = k+ 2命題成立2對于不等式.n2+ n<n + 1(n N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：當(dāng)n = 1時，. 12+ 1<1 + 1,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n = k(k N*)時，不等式成立，即k2 +k<k+1,那么當(dāng)n= k+ 1時，k +1 2+k+1 =k2 + 3k+

10、2< k2+ 3k+ 2 + k+ 2 =k+ 2 2 = (k+ 1) + 1,當(dāng)n= k+ 1時，不等式成立，那么上述證法()A .過程全部正確 B . n= 1驗得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D .從n= k到n= k+ 1的推理不正確3用數(shù)學(xué)歸納法證明“ n3 + (n + 1)3+ (n+ 2)3(n N*)能被9整除，要利用歸納假設(shè)證n = k+ 1時的情況，只需展開()52(k 1) 1可變形為A . (k+ 3)3B. (k+ 2)3C. (k+ 1)3D. (k+ 1)3+ (k+ 2)34.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n 1 52n 1(n N)能被8整除時，當(dāng)n k 1時，對于34(k 1) 15觀察不等式：1 八 1111 1 3 八 11 , 111, 1 51>2，1 + 2+3>1,1 + 2+ 3+ 7>2，1+ 2+ 3+ 亦>2+ 2+寸+ 3T0，A.56-34k125(34k152k ) B.34-34k152-52k C.34k152k1D. 25(34k 152k1)由此猜想第n個不等式為 (n N*).6整數(shù)對的序列如下：(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1) , (1,4