二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1、.二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)一、二次根式的有關(guān)概念： 1.二次根式：式子(a0)叫做二次根式。 2.最簡(jiǎn)二次根式：滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式； 1被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； 2被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開(kāi)方數(shù)中含有4是可開(kāi)得盡方的因數(shù)，又如，.都不是最簡(jiǎn)二次根式，而，5，都是最簡(jiǎn)二次根式。 3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)一樣，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如, , 就是同類二次根式，因?yàn)?2，=3，它們與的被開(kāi)方數(shù)均為2。 4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，

2、那么說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如與，a+與a-，-與+，互為有理化因式。 二、二次根式的性質(zhì)： 1.(a0)是一個(gè)非負(fù)數(shù), 即0; 2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：()2=a(a0)； 3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即=|a|=4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即=a0,b0。 5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根，即=a0,b0。 三、例題：例1.x為何值時(shí)，以下各式在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)才有意義： 123 4+56+分析：這是一組考察二次根式根本概念的問(wèn)題，要弄清每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解

3、，即要考慮到分式的分母不能為0并且偶次根號(hào)下被開(kāi)方數(shù)要大于或等于零。 解：1 6-x0, x6時(shí)原式有意義。 2 x20, x2+30, x取任意實(shí)數(shù)原式都有意義。 3 當(dāng)x3且x-3時(shí)，原式有意義。 4 當(dāng)-x時(shí)，原式有意義。 5 當(dāng)x0且x1時(shí)，原式有意義。 6 x=2 當(dāng)x=2時(shí)，原式有意義。 例2.寫出以下各等式成立的條件： 1=-3x 2=-mn3=1+2a4= 5-=7 分析：此題考察算術(shù)平方根的概念及二次根式的性質(zhì)。 解：1=|3x|=-3x, -3x0, 3x0, x0. 2=|mn|=-mn, mn0, 成立，隱含m0, m0且n0. 3=|2a+1|=1+2a 1+2a0,

4、 a-. 4由題意得 x=1. 5-=- =|x+5|-|2-x|=7 只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2時(shí)才成立， x2. 例3.化簡(jiǎn)以下各式： 1 2a2(m0) 3+|2-x|+2x3) 45(x-y)+6(y3, =|3-|=-3. 2 m0, 要使有意義，那么a0, a2=a2=a2=-=-a. 3 2x3, 原式=+|2-x|+ =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. 4=|3x-1|= 在這里我們分3x-10或3x-10 原式=(x-y)+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. 6 y0, 原式= =2|xy| =-2|x|y 當(dāng)x

5、0時(shí), 原式=-2xy, 當(dāng)x0時(shí), 原式=2xy。 7+ =+=|4-x|+|x+1| 假設(shè)|4-x|=0,那么x=4;假設(shè)|x+1|=0那么x=-1，那么此題需要將x的取值分成三段，即分x-1, -1x4, x4三段來(lái)進(jìn)展討論。 當(dāng)x-1時(shí)，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 當(dāng)-1x4時(shí), 原式=4-x+x+1=5. 當(dāng)x4時(shí)，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根號(hào)外的因式移至根號(hào)內(nèi)： 122-53m(m0) 4x(x0)5a 分析：此題需逆用性質(zhì)=a0,b0)只能將根號(hào)外的正因式移至根號(hào)內(nèi)。 解：12=。 2-5=-=-。 3 m0, m=。 4x(x0) x=-=-。 5成立，隱含a0, a=-=-=-。 例5.1：y-1=,求：x+2y的值。 2假設(shè)+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。 分析：1觀察條件，等式右邊有兩個(gè)根式，要使兩個(gè)根式有意義，那么 x=2， y=1, 從而可求出x+2y的值。 1解：由可得： x=2, y=1 當(dāng)x