《金屬塑性成形力學(xué)》課件：5極限分析原理

1、5 極限分析原理教學(xué)目的和要求教學(xué)目的和要求 通過本章的學(xué)習(xí)，掌握上界法通過本章的學(xué)習(xí)，掌握上界法(上限法上限法)的基本原理的基本原理。 內(nèi)容前言前言5.1 極限分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)極限分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)5.2 極限分析的基本概念極限分析的基本概念5.3 虛功原理虛功原理5.4 最大塑性功原理最大塑性功原理5.5 下界定理下界定理5.6 上界定理上界定理前言前言n極限分析法：極限分析法：n極限狀態(tài)：即使載荷不再繼續(xù)增加，塑性變形也可自由地發(fā)展的狀態(tài)。極限狀態(tài)：即使載荷不再繼續(xù)增加，塑性變形也可自由地發(fā)展的狀態(tài)。n極限載荷：使材料或構(gòu)件達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的載荷。極限載荷：使材料或構(gòu)件達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的載荷。n極

2、限狀態(tài)的開始也就是塑性變形的開始。極限狀態(tài)的開始也就是塑性變形的開始。n求極限載荷的問題一般只限于求極限載荷的問題一般只限于理想剛塑性體理想剛塑性體。圖圖1.28 理想理想剛剛-塑性材料塑性材料n上界法（上限法）：上限中求最上界法（上限法）：上限中求最小小值。值。n下界法（下限法）：下限中求最下界法（下限法）：下限中求最大大值。值。n上界法：其計(jì)算結(jié)果上界法：其計(jì)算結(jié)果大大于實(shí)際的數(shù)值。于實(shí)際的數(shù)值。n下界法：其計(jì)算結(jié)果下界法：其計(jì)算結(jié)果小小于實(shí)際的數(shù)值。于實(shí)際的數(shù)值。n極限分析法的適用范圍遠(yuǎn)超過工程法和滑移線法。極限分析法的適用范圍遠(yuǎn)超過工程法和滑移線法。5.1 極限分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)極限分析的

3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(自學(xué)自學(xué))n自由下標(biāo)：自由下標(biāo)：a13a23n應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程：應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程：（直角坐標(biāo)系）（直角坐標(biāo)系）相關(guān)規(guī)定相關(guān)規(guī)定： (P24)式式(1.25)y式式(1.27)n應(yīng)變速率與位移速度的幾何方程：應(yīng)變速率與位移速度的幾何方程：應(yīng)變速率與位移速度關(guān)系的應(yīng)變速率與位移速度關(guān)系的幾何方程幾何方程應(yīng)變與位移關(guān)系的應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程幾何方程式式(1.39)應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量式式(1.27)5.2 極限分析的基本概念極限分析的基本概念n金屬成形要得到應(yīng)力與應(yīng)變的金屬成形要得到應(yīng)力與應(yīng)變的真實(shí)解真實(shí)解必須滿足很多條件。必須滿足很多條件。(P145)n運(yùn)動(dòng)許可：

4、運(yùn)動(dòng)許可：只要求只要求滿足幾何方程、體積不變、速度邊界條件。滿足幾何方程、體積不變、速度邊界條件。 (上界法上界法)n靜力許可：靜力許可：只要求只要求滿足靜力平衡、應(yīng)力邊界條件、滿足靜力平衡、應(yīng)力邊界條件、不違背不違背屈服條件。屈服條件。 (下界法下界法)n上界法：上限中求最上界法：上限中求最小小值。其計(jì)算結(jié)果值。其計(jì)算結(jié)果大大于實(shí)際的數(shù)值。于實(shí)際的數(shù)值。應(yīng)用更廣泛。應(yīng)用更廣泛。n下界法：下限中求最下界法：下限中求最大大值。其計(jì)算結(jié)果值。其計(jì)算結(jié)果小小于實(shí)際的數(shù)值。于實(shí)際的數(shù)值。n真實(shí)解介于二者之間真實(shí)解介于二者之間。塑性變形方程小結(jié)：塑性變形方程小結(jié)：1.力平衡方程：方程數(shù)力平衡方程：方程數(shù)

5、3個(gè)，未知數(shù)個(gè)，未知數(shù)6個(gè)個(gè)2.幾何方程（應(yīng)變與位移）：方程數(shù)幾何方程（應(yīng)變與位移）：方程數(shù)6個(gè)，未知數(shù)個(gè)，未知數(shù)9個(gè)個(gè)3.本構(gòu)方程（應(yīng)力與應(yīng)變）：方程數(shù)本構(gòu)方程（應(yīng)力與應(yīng)變）：方程數(shù)1個(gè)個(gè)（6個(gè)關(guān)系式）個(gè)關(guān)系式）（列維密塞斯流動(dòng)法則）（列維密塞斯流動(dòng)法則） 屈服準(zhǔn)則和邊界條件、體積不變、假設(shè)（理想剛塑性模型等）屈服準(zhǔn)則和邊界條件、體積不變、假設(shè)（理想剛塑性模型等）式式(2.37)力平衡方程力平衡方程式式(2.4)幾何方程幾何方程式式(1.27)物理方程物理方程5.3 虛功原理虛功原理參考書：參考書：徐秉業(yè)，陳森燦編著，徐秉業(yè)，陳森燦編著，“塑性理論簡明教程塑性理論簡明教程”，清華大學(xué)出版社，

6、清華大學(xué)出版社，1981n虛功虛功(率率)：在產(chǎn)生：在產(chǎn)生虛虛位移的過程中，位移的過程中，真實(shí)真實(shí)力所做的功力所做的功(率率)。n虛位移：不一定是實(shí)際的位移。虛位移：不一定是實(shí)際的位移。n載荷系：力、力矩、分布載荷載荷系：力、力矩、分布載荷n虛位移：平移、旋轉(zhuǎn)、平移旋轉(zhuǎn)虛位移：平移、旋轉(zhuǎn)、平移旋轉(zhuǎn)n虛位移原理：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（或剛體）在力系（或載荷系）的作用下處于虛位移原理：當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（或剛體）在力系（或載荷系）的作用下處于靜力平衡靜力平衡時(shí)，可以給該質(zhì)點(diǎn)（或剛體）沿任何方向的一個(gè)虛位移，在產(chǎn)時(shí)，可以給該質(zhì)點(diǎn)（或剛體）沿任何方向的一個(gè)虛位移，在產(chǎn)生此虛位移的過程中，外力所作的虛功必須等于零。生此虛

7、位移的過程中，外力所作的虛功必須等于零。n虛功原理：在載荷系作用下處于靜力平衡的變形結(jié)構(gòu)，若給一微虛功原理：在載荷系作用下處于靜力平衡的變形結(jié)構(gòu)，若給一微小的虛變形（位移），那么由于外力（或載荷）所做的虛功必等小的虛變形（位移），那么由于外力（或載荷）所做的虛功必等于內(nèi)力（或應(yīng)力合力）所做的虛功。于內(nèi)力（或應(yīng)力合力）所做的虛功。n虛功原理是極為重要的力學(xué)研究手段。虛功原理是極為重要的力學(xué)研究手段。n虛位移必須與結(jié)構(gòu)的支承不相矛盾，還必須保持結(jié)構(gòu)的連續(xù)性。虛位移必須與結(jié)構(gòu)的支承不相矛盾，還必須保持結(jié)構(gòu)的連續(xù)性。n虛功原理不涉及材料特性，適用于所有結(jié)構(gòu)。虛功原理不涉及材料特性，適用于所有結(jié)構(gòu)。n應(yīng)

8、用虛功原理時(shí)，所有作用力在虛位移中都當(dāng)作應(yīng)用虛功原理時(shí)，所有作用力在虛位移中都當(dāng)作常量常量。5.3.1 虛功原理表達(dá)式虛功原理表達(dá)式n在在平面變形平面變形狀態(tài)下，應(yīng)力和速度連續(xù)時(shí)：狀態(tài)下，應(yīng)力和速度連續(xù)時(shí)：虛虛 功功 率率T式式(5.4)式（式（5.4）中應(yīng)力與應(yīng)變速率、表面力與位移速度沒有物理上的因果關(guān)系，）中應(yīng)力與應(yīng)變速率、表面力與位移速度沒有物理上的因果關(guān)系，即與塑性變形是否發(fā)生無關(guān)，但要滿足力平衡方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程即與塑性變形是否發(fā)生無關(guān)，但要滿足力平衡方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程及連續(xù)性。及連續(xù)性。虛功率虛功率PQ應(yīng)用虛功原理時(shí)，所有作用力在應(yīng)用虛功原理時(shí)，所有作用力在虛位

9、移中都當(dāng)作虛位移中都當(dāng)作常量常量。5.3.2 存在不連續(xù)時(shí)的虛功原理存在不連續(xù)時(shí)的虛功原理n速度不連續(xù)時(shí)速度不連續(xù)時(shí)：（平面變形）（平面變形）式式(5.6)F1區(qū)區(qū)F2區(qū)區(qū)F區(qū)區(qū)應(yīng)力在應(yīng)力在F區(qū)內(nèi)、速度在區(qū)內(nèi)、速度在B線上是連續(xù)的。線上是連續(xù)的。n速度不連續(xù)時(shí)：速度不連續(xù)時(shí)：式式(5.8)式式(5.6)式式(5.7)速度不連續(xù)線速度不連續(xù)線L上：上：（存在多條速度不連續(xù)線時(shí)）（存在多條速度不連續(xù)線時(shí)）n應(yīng)力不連續(xù)時(shí)應(yīng)力不連續(xù)時(shí)：（平面變形）（平面變形）式式(5.4)應(yīng)力場存在應(yīng)力不連續(xù)線時(shí)對虛功原理式應(yīng)力場存在應(yīng)力不連續(xù)線時(shí)對虛功原理式（5.4）無影響。無影響。n對一般對一般三維三維變形問題，

10、虛功原理也成立。變形問題，虛功原理也成立。n表達(dá)式：表達(dá)式：式式(5.9)5.4 最大塑性功原理最大塑性功原理n彈性勢：彈性勢：式式(2.33)n塑性勢：塑性勢：式式(5.10)式式(5.11)Mises屈服準(zhǔn)則：屈服準(zhǔn)則：由式（由式（5.10）、）、式（式（5.11）得：得：列維列維-密賽斯流動(dòng)法則：式密賽斯流動(dòng)法則：式(2.39)d= d/6若適合列維若適合列維- -密賽斯流動(dòng)法則，屈服函數(shù)就是塑性勢。密賽斯流動(dòng)法則，屈服函數(shù)就是塑性勢。dx =列維密塞斯方程列維密塞斯方程n列維密塞斯流動(dòng)法則：列維密塞斯流動(dòng)法則：假設(shè)：假設(shè)：A）總應(yīng)變增量）總應(yīng)變增量=塑性應(yīng)變增量塑性應(yīng)變增量 忽略彈性變

11、形忽略彈性變形 B）在加載過程任一瞬間，塑性應(yīng)變增量與相應(yīng)的偏差應(yīng)力分量及剪應(yīng)力分量）在加載過程任一瞬間，塑性應(yīng)變增量與相應(yīng)的偏差應(yīng)力分量及剪應(yīng)力分量成正比；成正比； 增量理論適用于簡單加載和增量理論適用于簡單加載和復(fù)雜加載，適用性廣。復(fù)雜加載，適用性廣。式式(2.37)式式(2.39)n把屈服函數(shù)作為塑性塑性勢時(shí)，把屈服函數(shù)作為塑性塑性勢時(shí)， 的的幾何幾何意義意義(滿足列維滿足列維-密賽斯流動(dòng)法則時(shí)密賽斯流動(dòng)法則時(shí)) 塑性應(yīng)變增量的矢量應(yīng)與通過屈服曲面上該點(diǎn)位置的外法線方向一致。塑性應(yīng)變增量的矢量應(yīng)與通過屈服曲面上該點(diǎn)位置的外法線方向一致。式式(5.12)n最大塑性功原理表達(dá)式：最大塑性功原

12、理表達(dá)式：最大塑性功原理表達(dá)式：最大塑性功原理表達(dá)式：功功功率功率5.5 下界定理下界定理式式(5.9)式式(5.21)下界定理：下界定理：pi*pi5.6 上界定理上界定理n上界定理：上界定理：運(yùn)動(dòng)許可運(yùn)動(dòng)許可的速度場的速度場 運(yùn)動(dòng)許可的運(yùn)動(dòng)許可的vi* ij* 二者滿足列維二者滿足列維-密賽斯流動(dòng)法則，密賽斯流動(dòng)法則，所形成的塑性功率最大。所形成的塑性功率最大。n按最大塑性功原理：按最大塑性功原理：式式(5.24)式式(5.20)n上界定理上界定理(定義定義)： 與虛擬的與虛擬的運(yùn)動(dòng)許可運(yùn)動(dòng)許可的應(yīng)力場相平衡的外力所提供的功的應(yīng)力場相平衡的外力所提供的功(率率)大于或等大于或等于于與真實(shí)應(yīng)力場相平衡的外力所提供的功與真實(shí)應(yīng)力場相平衡的外力所提供的功(率率)。 按運(yùn)動(dòng)許可速度場所確定的功率，對實(shí)際所需功率給出按運(yùn)動(dòng)許可速度場所確定的功率，對實(shí)際所需功率給出上界上界(上限上限)值。值。ij* ij上界定理：上界定理：pi*p式式(5.24)式式(5.9)n具體分析：具體分析：可忽略可忽略式式(5.25)式式(5.26)n內(nèi)部塑性變形功率內(nèi)部塑性變形功率 Win剪切功率剪切功率 Wsn附加外力功率附加外力功率 Wb前滑區(qū)前滑區(qū)后滑區(qū)后滑區(qū)byxopxpx式式(5.28)式式(5.29)式式(5.30)n(重要假定