數(shù)學(xué)建模插值及擬合詳解

1、插值和擬合實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解數(shù)值分析建模的方法,掌握用Matlab進(jìn)行曲線擬合的方法,理解用插值法建模的思想,運(yùn)用Matlab一些命令及編程實(shí)現(xiàn)插值建模。實(shí)驗(yàn)要求:理解曲線擬合和插值方法的思想,熟悉Matlab相關(guān)的命令,完成相應(yīng)的練習(xí),并將操作過程、程序及結(jié)果記錄下來。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:一、插值1.插值的基本思想已知有n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)(xj,yj,j = 0,1, n,其中xj互不相同,節(jié)點(diǎn)(xj, yj可看成由某個(gè)函數(shù)y= f (x產(chǎn)生;構(gòu)造一個(gè)相對簡單的函數(shù)y=P(x;使P通過全部節(jié)點(diǎn),即P (xk = yk,k=0,1, n ;用P (x作為函數(shù)f ( x 的近似。2.用MA TLAB作一維插值計(jì)算

2、yi=interp1(x,y,xi,method注:yixi處的插值結(jié)果;x,y插值節(jié)點(diǎn);xi被插值點(diǎn);method插值方法(nearest:最鄰近插值;linear:線性插值;spline:三次樣條插值;cubic:立方插值;缺省時(shí):線性插值。注意:所有的插值方法都要求x是單調(diào)的,并且xi不能夠超過x的范圍。練習(xí)1:機(jī)床加工問題 每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。 表3-1給出了下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù) 但工藝要求銑床沿x方向每次只能移動(dòng)0.1單位. 這時(shí)需求出當(dāng)x坐標(biāo)每改變0.1單位時(shí)的y坐標(biāo)。 試完成加工所需的數(shù)據(jù),畫出曲線. 步驟1:用x0,y0兩向量表示插值節(jié)點(diǎn);步驟2:被插值點(diǎn)

3、x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,spline;步驟3:plot(x0,y0,k+,x,y,rgrid on答:x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,spline;plot(x0,y0,k+,x,y,rgrid on 3.用MA TLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值(二維z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,method注:z被插點(diǎn)值的函數(shù)值;x0,y0,z0插值節(jié)點(diǎn);x,y被插值點(diǎn);method插值方

4、法(nearest:最鄰近插值;linear:雙線性插值;cubic:雙三次插值;缺省時(shí):雙線性插值。注意:要求x0,y0單調(diào);x,y可取為矩陣,或x取行向量,y取為列向量,x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。4.用MA TLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算cz =griddata( x,y, z,cx,cy, method注:cz被插點(diǎn)值的函數(shù)值;x,y,z插值節(jié)點(diǎn);cx,cy被插值點(diǎn);method插值方法(nearest:最鄰近插值;linear:雙線性插值;cubic:雙三次插值;v4:Matlab提供的插值方法;缺省時(shí):雙線性插值。練習(xí)2:航行區(qū)域的警示線某海域上頻繁地有各種噸位的船只經(jīng)過

5、。為保證船只的航行安全,有關(guān)機(jī)構(gòu)在低潮時(shí)對水深進(jìn)行了測量,下表是他們提供的測量數(shù)據(jù):水道水深的測量數(shù)據(jù)x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5z 4 8 6 8 6 8 8x 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5z 9 9 8 8 9 4 9其中(x, y 為測量點(diǎn),z 為(x, y 處的水深(英尺,水深z 是區(qū)域坐標(biāo)(x, y 的函數(shù)z= z (x, y ,

6、 船的噸位可以用其吃水深度來反映,分為 4英尺、4.5英尺、5英尺和 5.5英尺 4 檔。航運(yùn)部門要在矩形海域(75,200(-50,150上為不同噸位的航船設(shè)置警示標(biāo)記。 請根據(jù)測量的數(shù)據(jù)描述該海域的地貌,并繪制不同噸位的警示線,供航運(yùn)部門使用。 x=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5; y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; z=-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4

7、 -9;cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic;meshz(cx,cy,cz,rotate3dxlabel(X,ylabel(Y,zlabel(Z %pausefigure(2,contour(cx,cy,cz,-5 -5;grid on, hold on plot(x,y,+xlabel(X,ylabel(Y 50200200XYZXY80100120140160180200-60-40-20020406080100120 140練習(xí)3:估計(jì)水塔的水流量問題描述見教材P.9193,請繪出三次樣條插值曲線,并計(jì)算一

8、天的總的用水量。 解:t0=0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.45,7.47,8.45,11.49,12.49,13.42,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.50,20.40,24.43,25.32;v0=11.2,9.7,8.6,8.1,9.3,7.2,7.9,7.4,8.4,15.6,16.4,15.5,13.4,13.8,12.9,12.2,12.2,12.9,12.6,11.2,3.5; t=0:0.1:26; y=interp1(t0,v0,t,spline; plot(t0,v0,k+,t,y, r grid on0510

9、*-10-551015 20二、曲線擬合已知一組(二維數(shù)據(jù),即平面上 n 個(gè)點(diǎn)(xi,yi i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)(曲線y=f(x, 使 f(x 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近,即曲線擬合得最好。最常用的方法是線性最小二乘擬合 1.多項(xiàng)式擬合 對給定的數(shù)據(jù)(xj,yj ,j = 0,1, n ; 選取適當(dāng)階數(shù)的多項(xiàng)式,如二次多項(xiàng)式g(x=ax2+bx+c ; 使g(x盡可能逼近(擬合這些數(shù)據(jù),但是不要求經(jīng)過給定的數(shù)據(jù)(xj,yj ; 2.多項(xiàng)式擬合指令1多項(xiàng)式f(x=a1xm+ +amx+am+1擬合指令:a=polyfit(x,y,ma :輸出多項(xiàng)式擬合系數(shù)aa1,a2,am;x,y

10、:輸出長度相同的數(shù)組;m :多項(xiàng)式的次數(shù)。 2多項(xiàng)式在x 處的值y 的計(jì)算命令:y=polyval (a,x 練習(xí)4:對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合 寫出擬合命令:plot(x,y,k+,x,z,r數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告（二） 作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線： 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 寫出擬合的二次多項(xiàng)式： f ( x = -9.8108 x + 20.1293 x - 0.0317 2 3可化為多項(xiàng)式的非線性擬和 曲線改直是工程中又一常用的判斷曲線形式的方法,許多常見的函數(shù)都可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn) 化為線性函數(shù)。 （1）冪函數(shù) y = ax b + c ln y - c = ln a + b ln x x y = ab+ c （2）指數(shù)函數(shù) ln y - c = ln a = x ln b （3）拋物函數(shù) 2 y = ax + bx , ( x0 + c y-c = ax + b x 6 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告（二） 練習(xí) 5：完成教材 P93 頁的習(xí)題 5 的第一小題。 x0=0,300,600,1000,1500,2000; x=0:100:2000; y0=0.9689