數(shù)學(xué)建模曲線擬合

1、曲線擬合摘要根究已有數(shù)據(jù)研究y關(guān)于x的關(guān)系，對(duì)于不同的要求得到不同的結(jié)果。問題一中目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小，利用MATLAB中函數(shù)在最小二乘法原理下擬合出所求直線。問題二目標(biāo)為使絕對(duì)偏差總和為最小，使用MATLAB中的函數(shù)，在題目約束條件內(nèi)求的最優(yōu)答案，以此方法同樣求得問題三中最大偏差為最小時(shí)的直線。問題四擬合的曲線為二階多項(xiàng)式，方法同前三問類似。問題五為求得最佳的曲線，將之前的一次曲線換成多次曲線進(jìn)行擬合得到新的結(jié)果。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)高階多項(xiàng)式的階數(shù)越高擬和效果最好。關(guān)鍵詞： 函數(shù)擬合 最小二乘法 線性規(guī)劃1、問題的重述已知一個(gè)量依賴于另一個(gè)量，現(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下

2、：0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55.05.56.06.67.07.68.59.010.01.04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線。目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。（4）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線，實(shí)現(xiàn)（1）（2）（3）三種目標(biāo)。（5）試一試其它的曲線，可否找出最好

3、的？2、問題的分析對(duì)于問題一，利用MATLAB中的最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到直線，目標(biāo)為使各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。對(duì)于問題二、三、四均利用MATLAB中的fminsearch函數(shù)，在題目要求的約束條件下找到最佳答案。對(duì)于問題五，改變多項(xiàng)式最高次次數(shù)，擬合后計(jì)算殘差，和二次多項(xiàng)式比較，再增加次數(shù)后擬合，和原多項(xiàng)式比較殘差，進(jìn)而找到最好的曲線。3、基本假設(shè)1.表中數(shù)據(jù)真實(shí)可信，每個(gè)點(diǎn)都具有意義。4、模型的建立與求解1.問題一對(duì)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，在取定的函數(shù)類 中，求，使誤差的平方和最小，。從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) 的距離平方和為最小的曲線。函數(shù)稱為擬合函數(shù)或最小二乘

4、解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。直接利用MATLAB中的函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：2.問題二利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對(duì)偏差總和為最小下進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：3.問題三利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：4.問題四（1）問題一同問題一相似，只是擬合的曲線為二階多項(xiàng)式，利用MATLAB中的函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：（2）問題二同問題二相似，只是

5、擬合的曲線為二階多項(xiàng)式，利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：（2）問題三同問題三求解過程相似，只是擬合的曲線為二階多項(xiàng)式，利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個(gè)觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：5.問題五選擇更高階多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，利用MATLAB中的函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)。比較方差，方差越小，得到結(jié)果越穩(wěn)定，即認(rèn)為曲線擬合越好，方差結(jié)果如下表所示：階數(shù)12345方差2.68842.05771.7127

6、1.50491.4336可以得到函數(shù)階數(shù)越高，曲線擬合越好。各階多項(xiàng)式函數(shù)圖像如下：三階：四階：五階：5、模型的評(píng)價(jià)對(duì)于問題五中的模型，由于我們只選擇了最高為五階的高階多項(xiàng)式多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，還需要選擇更多的函數(shù)進(jìn)行擬合，并進(jìn)行檢驗(yàn)，找到最好的曲線。6、附錄%1fun1=(a,xa(1.*x +a(2; a=lsqcurvefit(fun1,0,0,x,yxi=0:0.1:10;yi=a(1.*xi +a(2;plot(x,y,'*',xi,yia =0.8117 -0.0264 %2syms p q fa0=a;a,fval=fminsearch('fun2'

7、;,a0xi=0:0.1:10;yi=a(2+a(1.*xi;plot(x,y,'*',xi,yi%fuction2function f=fun2(ax=0;0.500000000000000;1;1.50000000000000;1.90000000000000;2.50000000000000;3;3.50000000000000;4;4.50000000000000;0;5;5.50000000000000;6;6.60000000000000;7;7.60000000000000;8.50000000000000;9;10;y=1;0.900000000000000;0

8、.700000000000000;1.50000000000000;2;2.40000000000000;3.20000000000000;2;2.70000000000000;3.50000000000000;0;1;4;7.60000000000000;2.70000000000000;5.70000000000000;4.60000000000000;6;6.80000000000000;12.3000000000000;f=sum(abs(a(1.*x+a(2-y;a =0.6666 0.5001fval =19.4000%3syms p q fa,fval=fminsearch(&#

9、39;fun3',a0xi=0:0.1:10;yi=a(2+a(1.*xi;plot(x,y,'*',xi,yi%function3function f=fun3(ax=0;0.500000000000000;1;1.50000000000000;1.90000000000000;2.50000000000000;3;3.50000000000000;4;4.50000000000000;0;5;5.50000000000000;6;6.60000000000000;7;7.60000000000000;8.50000000000000;9;10;y=1;0.90000

10、0000000000;0.700000000000000;1.50000000000000;2;2.40000000000000;3.20000000000000;2;2.70000000000000;3.50000000000000;0;1;4;7.60000000000000;2.70000000000000;5.70000000000000;4.60000000000000;6;6.80000000000000;12.3000000000000;f=max(abs(a(1*x+a(2-y;a =1.1300 -1.8790fval =2.8790%4-1fun4_1=(a,xa(1.*x

11、.2+a(2.*x+a(3;a=lsqcurvefit(fun4_1,0,0,0,x,y;xi=0:0.1:10;yi=a(1.*xi.2+a(2.*xi+a(3;plot(x,y,'*',xi,yia =0.0953 -0.1096 1.3833%4-2syms p q fa0=a;a,fval=fminsearch('fun4_2',a0xi=0:0.1:10;yi=a(1.*xi.2+a(2.*xi+a(3;plot(x,y,'*',xi,yia =0.0397 0.2902 0.9755fval =a =0.0264 -0.2971 1.4002 0.3003%4-3syms p q fa,fval=fminsearch('fun4_3',a0xi=0:0.1:10;yi=a(1.*xi.2+a(2.*xi+a(3;plot(x,y,'*',xi,yia =0.0994 -0.0909 1.7672fval =2.7986%5fun4_1=(a,xa(1.*x.3+a(2.*x.2+a(3.*x+a(4;a=lsqcurvefit(fun4_1,0,0,0,0,x,yxi=0:0.1:10;yi=a(1.*xi.3+a(2.