數(shù)學(xué)建模山貓問題

1、2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： B 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)

2、的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 07月 19 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2009全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：山貓數(shù)量的變化及趨勢一、摘要本問題假設(shè)100只山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境下，年平均增長率分別為1.68%， 0.55%和-4.50%，根據(jù)單一控制變

3、量原理，排除山貓出現(xiàn)遷入和遷出現(xiàn)象，環(huán)境條件不隨時(shí)間變化，山貓沒有受到大的自然、人為災(zāi)害，是在自然條件下的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，通過模型的建立對(duì)山貓數(shù)量在不同自然環(huán)境下逐年變化的研究，考慮在捕獲山貓時(shí)山貓的滅絕問題，以及給人工繁殖提供一個(gè)可行的方案，對(duì)其他動(dòng)物的研究，可類似于山貓問題處理，因而有著廣泛的應(yīng)用。針對(duì)問題1、2，我們可建立指數(shù)模型，在指數(shù)模型中，建立山貓數(shù)量與時(shí)間（年份）的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)關(guān)系），畫出變化圖形，即可解決問題1。對(duì)于問題2，通過指數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)的建立，在不同的捕獲數(shù)量下，根據(jù)函數(shù)的變化趨勢，我們可判斷山貓是否會(huì)滅絕，這樣可防止過度捕獲而引起的物種滅絕問題，同時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟东@，

4、也可最大限度的利用資源針對(duì)問題3，通過建立指數(shù)模型和微分方程建模，分析函數(shù)數(shù)據(jù)變化可得，在人工繁殖的條件下，可將山貓的數(shù)量穩(wěn)定在某數(shù)值左右，即山貓的數(shù)量變化率接近0，這可應(yīng)用到生產(chǎn)中，給人工繁殖提供一個(gè)可行的方案，使山貓數(shù)量穩(wěn)定于一定值，有效地控制山貓的數(shù)量，同時(shí)，對(duì)其他動(dòng)物的研究，可類似于山貓問題處理，因而有著廣泛的應(yīng)用關(guān)鍵詞：山貓數(shù)量 指數(shù)模型 微分建模 二、問題重述 動(dòng)物數(shù)量逐年變化的研究，在動(dòng)物保護(hù)、人工繁殖、飼養(yǎng)方面都有著廣泛的應(yīng)用。我們主要通過對(duì)山貓數(shù)量逐年變化的研究，將山貓?jiān)诓煌匀画h(huán)境下25年的數(shù)量變化圖示化，考慮在捕獲山貓時(shí)山貓的滅絕問題，以及給人工繁殖提供一個(gè)可行的方案，使

5、山貓數(shù)量穩(wěn)定于一定值。對(duì)其他動(dòng)物的研究，可類似于山貓問題處理，因而有著廣泛的應(yīng)用。 具體問題如下：某種山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境下，年平均增長率分別為1.68%， 0.55%和-4.50%，假設(shè)開始時(shí)有100只山貓，按以下情況討論山貓數(shù)量逐年變化過程及趨勢。(1)3種自然環(huán)境下25年的變化過程(作圖)(2)如果每年捕獲3只，會(huì)發(fā)生什么情況? 山貓會(huì)滅絕嗎?如果每年只捕獲1只呢?(3)在較差的自然環(huán)境下，如果想要山貓的數(shù)量穩(wěn)定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?三、模型的假設(shè)1.在一定區(qū)域（一個(gè)森林）范圍內(nèi)，山貓沒有出現(xiàn)遷入和遷出現(xiàn)象。2.山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境條件，不隨時(shí)間變化

6、而改變3.在一段時(shí)間內(nèi)山貓沒有受到大的自然、人為災(zāi)害4.山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境條件下的每年平均增長率不隨時(shí)間而發(fā)生改變 四、 模型的建立與求解問題1山貓山貓?jiān)谳^好、中等及較差的自然環(huán)境條件下的每年平均分別為1.68%， 0.55%和-4.50%，可以得知在25年的變化函數(shù)應(yīng)是指數(shù)變化，分別為y1=100(1+0.0168)x,y2=100(1+0.0055)x,y3=100(1-0.045)x,利用MALLAB可畫出山貓?jiān)?種自然環(huán)境下25年的變化過程(作圖)x=0:1:25; y1=(1+0.0168).x)*100;y2=(1+0.0055).x)*100;y3=(1-0.045

7、).x)*100; plot(x,y1,'*r',x,y2,'*b',x,y3,'*k'); legend('較好','中等','較差'); xlabel('時(shí)間t軸'); gtext('y1軸);gtext('y2軸');gtext('y3軸'); title('雙坐標(biāo)曲線')山貓25年的變化過程圖問題22.1：每年捕獲三只，則山貓?jiān)谳^好的自然環(huán)境下數(shù)量變化：第一年，y1=100*(1+1.68%)-3；第二年，y2=100*

8、(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3；第三年，y1=100*(1+1.68%).3-3*(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3;第x年，y1=100*(1+1.68%).x-3*(1-1.0168.x)/(1-1.0168);依此，中等及較差的自然環(huán)境下數(shù)量變化分別為y2= 100*(1+0.55%).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055); y3=100*(1-4.5/100).x-3*(1-(1-0.045).x)/0.045;用matlab做出M文件程序如下：hold on;x=0:1:25;y1=100*(1+1.68/100).x-3*(1-1.

9、0168.x)/(1-1.0168);plot(y1,'r*');y2=100*(1+0.55/100).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055);plot(y2,'b.');y3=100*(1-4.5/100).x-3*(1-(1-0.045).x)/0.045;plot(y3,'k:');legend('較好','中等','較差');變化如圖示：由圖示知，在捕獲3只的情況下，三種自然環(huán)境下都在下降，其中較差環(huán)境已瀕臨滅絕。2.2:如果每年只捕獲1只，分析同上，建立模型如下：第一年，

10、y1=100*(1+1.68%)-1；第二年，y2=100*(1+1.68%)2-(1+1.68%)-1；第三年，y1=100*(1+1.68%).3-(1+1.68%)2-(1+1.68%)-1;第x年，y1=100*(1+1.68%).x-(1-1.0168.x)/(1-1.0168);依此，中等及較差的自然環(huán)境下數(shù)量變化分別為y2= 100*(1+0.55%).x-(1-1.0055.x)/(1-1.0055); y3=100*(1-4.5/100).x-(1-(1-0.045).x)/0.045;利用MALLAB編寫的程序?yàn)椋簒=0:1:25;y1=(1+0.0168).x)*100+

11、(1-(1+0.0168).x)/0.0168;y2=(1+0.0055).x)*100+(1-(1+0.0055).x)/0.0055;y3=(1-0.045).x)*100-(1-(1-0.045).x)/0.045;plot(x,y1,'*r',x,y2,'*b',x,y3,'k.');legend('較好','中等','較差');xlabel('時(shí)間t軸');ylabel('山貓數(shù)量');gtext('y1軸');gtext('y2軸&

12、#39;);gtext('y3軸');title('雙坐標(biāo)曲線')函數(shù)曲線圖如下：分析曲線圖得：每年捕獲一只，在較好條件下，山貓的數(shù)量還是呈上升趨勢，而中等條件下的山貓的數(shù)目開始呈下降趨勢，短期內(nèi)不會(huì)有滅絕的危險(xiǎn)，時(shí)間長也會(huì)滅絕，在條件差的山貓數(shù)量的下降幅度更大，有滅絕的危險(xiǎn)，而且會(huì)較快的滅絕。問題3.在較差的自然環(huán)境下，如果想要山貓的數(shù)量穩(wěn)定在60只左右，設(shè)每年需人工飼養(yǎng)的山貓數(shù)為a,則y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-0.045).x)/4.5%;在t年以后山貓數(shù)量逐漸穩(wěn)定在60只左右，那么山貓?jiān)鲩L率就為0，即x>=t時(shí)，y3=60;

13、Dy3(t)=0。用MATLAB作M文件程序如下；Syms a t x;y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-0.045).x)/4.5%;solve(y3(t)=60,x=t, Dy3(t)=0)計(jì)算得a=2.7(只)。穩(wěn)定趨勢如圖；由于在實(shí)際生活中a只能取整數(shù)，故對(duì)a=2或a=3再進(jìn)一步討論。進(jìn)一步校正如下：a=2時(shí);y3函數(shù)如圖：由圖示顯然不滿足數(shù)量穩(wěn)定于60，故a=2不合適。a=3時(shí)；y3函數(shù)如圖：由圖取a=3,即每年人工繁殖需3只才更合適，使得在較差環(huán)境下山貓數(shù)量穩(wěn)定在60只左右。五、模型改進(jìn)1. 在考慮捕獲山貓對(duì)其的滅絕問題時(shí)，可不必單獨(dú)對(duì)捕獲1、2或3只考慮，而應(yīng)對(duì)捕獲m只一般性考慮，編寫程序在不同數(shù)量評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)n的情況下，并輸出相應(yīng)的“滅絕”、“驟減”等更詳細(xì)的結(jié)果。2. 在判斷物種是否瀕臨滅絕時(shí)，能相應(yīng)的再考慮怎樣具體的保護(hù)該物種不致滅絕，建立合理化的模型，給出合理的方案，是可以進(jìn)一步研究的課題。例如，改善物種的生活環(huán)境，人工繁殖等等。3. 在建立模型解需人工繁殖多少只來穩(wěn)定物種