D6.3.2方向?qū)?shù)

1、一、一、方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 討論函數(shù)z=f(x,y) 在一點P沿某一方向的變化率問題 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在點P0(x0 y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義 l是xOy平面上以P0(x0 y0)為始點的一條射線 與l同方向的單位向量為el(cos cos) 取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果極限tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù), 記為),(00yxlf ),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x y)在點P0(x

2、0 y0)處沿方向l的變化率 思考: 函數(shù)f(x, y)在點P沿x軸正向和負(fù)向, 沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 沿x軸正向時, cos1 cos=0 0000000(,)(,)(,)limtxyf xt yf xyflt00(,)xyfx沿x軸正向時, cos1 cos=00000(,)(,)xyxyfflx 定理 如果函數(shù)zf(x, y)在點P0(x0 y0)可微分, 那么函數(shù)在該點沿任一方向l (el(cos cos)的方向?qū)?shù)都存在, 且有cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 證明:由于函數(shù)可微，則增量可表示為 2200000000(,)( ,)( ,)

3、( ,)( ()() )xyf xx yyf x yf x yxf x yy oxy 但點00(,)xx yy在以(x0,y0)為始點的射線l上,故有22cos,cos,()()xtytxyt ,所以),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 0000( ,)cos( ,)cos .xyf x yf x y 例1 求函數(shù)zxe2y在點P(1, 0)處沿從點P到點Q(2, 1)的方向的方向?qū)?shù). 解 所以所求方向?qū)?shù)為 函數(shù)f(x, y)在點P0沿方向l (el(cos cos)的方向?qū)?shù) cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx

4、解 ) 1 , 1 (PQ 與 l 同向的單位向量為因為函數(shù)可微分 且 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz22)21(2211)0 , 1 (lz) 1 , 1 (PQ 與 l 同向的單位向量為)21 ,21(le 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz 22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz 22)21(2211)0 , 1 (lz22)21(2211)0 , 1 (lz 例例2.

5、求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點 P 的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1l),(zyxP定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: P記作記作 對于三元函數(shù)f(x,y

6、,z),類似的有,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf定理定理:則函數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,coscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)且有例例3. 設(shè)是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)nn二、二、梯度梯度 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對

7、于每一點P0(x0 y0)D, 都可確定一個向量fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 這向量稱為函數(shù)f(x, y)在點P0(x0 y0)的梯度, 記作gradf(x0 y0),即gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 如果函數(shù)f(x y)在點P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是與方向l同方向的單位向量, 則),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0)el) |gradf(x0

8、 y0)|cos(gradf(x0 y0),el) 可以看出方向?qū)?shù)就是梯度在射線l上的投影, 當(dāng)方向l與梯度的方向一致時, 方向?qū)?shù)取得最大值. 所以沿梯度方向是函數(shù)f(x, y)在這點增長最快的方向. 如果函數(shù)f(x y)在點P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是與方向l同方向的單位向量, 則),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx 函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,面上的投在曲線xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影稱為函數(shù)

9、f 的等值線等值線 . ,不同時為零設(shè)yxff則L*上點P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc設(shè)P同樣, 對應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為.gradPf, ),(yxfz 對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向.梯度的幾何意義梯度的幾何意義因為 222)(2yxxxf 解 這里于是 grad f(1, 1, 2) 例5 設(shè)f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2) 解 grad f(fx, fy, fz) (2x, 2y, 2z), (2, 2,

10、4) 解 這里221),(yxyxf 222)(2yxxxf 222)(2yxyyf 所以 221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx 例 4 求221 yx grad 三 數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場. 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場. 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定. 一個向量場可用一個向量函數(shù)F(M)來確定, 而F(M)P(M)iQ(M)jR

11、(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是點M的數(shù)量函數(shù). 勢與勢場 向量函數(shù)gradf(M)確定了一個向量場(梯度場), 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的. 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢, 而這個向量場又稱為勢場. 必須注意, 任意一個向量場不一定是勢場, 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.三 數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場. 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場. 222zyxr為原點 O 與點 M(x y z)間的距離 解 32)

12、(rmxxrrmrmx同理 3)(rmyrmy 3)(rmzrmz 從而 )(2kjirzryrxrmrmgrad 記kjierzryrxr 它是與rrmrme2grad 32)(rmxxrrmrmx )(2kjirzryrxrmrmgrad 它是與OM同方向的單位向量 則 例 6 試求數(shù)量場rm所產(chǎn)生的梯度場 其中常數(shù) m0 作業(yè)：作業(yè)：p-509,10,11,12備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2,