博弈分析及其應(yīng)用

1、博弈分析及其應(yīng)用1 引言在社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)、 軍事活動(dòng)中， 經(jīng)常碰到各種各樣具有競(jìng)爭(zhēng)或利益相對(duì)抗的現(xiàn)象， 如 下棋、打撲克、 為爭(zhēng)奪市場(chǎng)展開的廣告戰(zhàn)、軍事斗爭(zhēng)中雙方兵力的對(duì)壘等， 競(jìng)爭(zhēng)的各方總是 希望擊敗對(duì)手，取得盡可能好的結(jié)果，都想用自己最好的戰(zhàn)術(shù)去取勝， 這就是博弈現(xiàn)象博 弈現(xiàn)象實(shí)際上是一類特殊的決策， 在關(guān)于不確定型的決策分析中， 決策者的對(duì)手是 “大自然”， 它對(duì)決策者的各種策略不產(chǎn)生反應(yīng)，更沒有報(bào)復(fù)行為但在博弈現(xiàn)象中，代替“大自然”的 是有理性的人，因而任何一方做出決定時(shí)都必須充分考慮其他對(duì)手可能作出的反應(yīng)博弈論的英文名為 Game Theory，又稱對(duì)策論，用比較簡(jiǎn)短的話來概括，所謂

2、博弈是指 局中人按一定規(guī)則， 在充分考慮其他局中人可能采取的策略的基礎(chǔ)上， 從自己的策略集中選 取相應(yīng)策略， 并從中得到回報(bào)的過程 盡管博弈論中研究的問題形形色色， 但任何一個(gè)博弈 問題都包含下列三個(gè)要素：1 局中人(players)是指參與競(jìng)爭(zhēng)的各方，它可以是一個(gè)人，也可以是一個(gè)集團(tuán)，但 局中人必須是有決策權(quán)的主體，而不是參謀或從屬人員局中人可以有兩方，也可以有多 方當(dāng)存在多方的情況下，局中人之間可以有結(jié)盟和不結(jié)盟之分2策略(strategies)是指局中人所擁有的對(duì)付其他局中人的手段、方案的集合在靜 態(tài)博弈中， 策略必須是一個(gè)獨(dú)立的完整的行動(dòng)， 而不能是若干相關(guān)行動(dòng)中的某一步 例如一 次乒

3、乓球男子團(tuán)體比賽中， 包括兩名單打和一對(duì)雙打選手出場(chǎng)，比賽前提交的名單除規(guī)定出場(chǎng)球員姓名之外， 兩名單打還必須明確誰是第一單打， 誰是第二單打， 這樣不同單打和雙打 隊(duì)員的出場(chǎng)搭配以及兩名單打隊(duì)員的不同排序構(gòu)成了不同的策略.相應(yīng)每個(gè)局中人的策略選擇形成的策略組稱為一個(gè)局勢(shì).3.收益函數(shù)(payoff function )指一局博弈后各局中人的輸贏得失，通常用正的數(shù)字表 示局中人的贏得，負(fù)的數(shù)字表示局中人的損失.博弈論研究決策主體的行為在發(fā)生直接相互作用時(shí)，人們?nèi)绾芜M(jìn)行決策以及這種決策 的均衡問題.博弈論是研究理性的決策之間沖突與合作的理論.在博弈論分析中，一定場(chǎng)合中的每個(gè)對(duì)弈者在決定采取何種行

4、動(dòng)時(shí)都策略地、 有目的地行事， 他考慮到他的決策行為對(duì) 其他人的可能影響， 以及其他人的行為對(duì)他的可能影響， 通過選擇最佳行動(dòng)計(jì)劃， 來尋求收 益或效用的最大化.由于在現(xiàn)實(shí)生活中人們的利益沖突與一致具有普遍性，因此，幾乎所有的決策問題都可以認(rèn)為是博弈博弈論在政治學(xué)、軍事學(xué)、生物進(jìn)化學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、 倫理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中博弈論作為一種重要的分析方法已滲透到幾乎所有的領(lǐng)域， 每一領(lǐng)域的最新進(jìn)展都應(yīng)用了博弈論， 博弈論已經(jīng)成為主流經(jīng)濟(jì) 學(xué)的一部分，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法正產(chǎn)生越來越重要的影響.正因?yàn)槿绱耍?994 年瑞典皇家科學(xué)院決定將諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了納什(Joh

5、n Nash)、哈薩尼(John Sanyi)和澤爾騰(Rei nhard Selte n)三位博弈理論家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家，表彰他們?cè)诓┺恼摾碚摵蛻?yīng)用研究方面作 出的杰出貢獻(xiàn)目前博弈論在定價(jià)、招投標(biāo)、談判、拍賣、委托代理以及很多重要的經(jīng)營(yíng)決策中得到應(yīng)用，它已成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ).博弈中有關(guān)局中人的策略集、 收益函數(shù)等構(gòu)成了博弈的信息.按局中人對(duì)信息掌握情況，可區(qū)分為完全信息博弈和不完全信息博弈.按局中人采取行動(dòng)的次序，當(dāng)同時(shí)采取行動(dòng)或在動(dòng)的人可以觀察到前面人采取的行動(dòng)， 則屬于動(dòng)態(tài)博弈.綜合上述，博弈可分為完全信息靜 態(tài)博弈，完互相保密情況下采取行動(dòng)，稱這種情況為靜態(tài)博弈. 如果局中人采取行動(dòng)有

6、先后，后采取行全信息動(dòng)態(tài)博弈， 不完全信息靜態(tài)博弈和不完全信息動(dòng)態(tài)博弈.當(dāng)然按局中人是否結(jié)盟情況，博弈還可區(qū)分為合作博弈和非合作博弈.合作博弈是一種解決多利益主體協(xié)調(diào)行動(dòng)產(chǎn)生效益分配問題的有效數(shù)學(xué)模型.合作是指參與者從自己的利益出發(fā)，選擇行動(dòng)，但選擇行動(dòng)的結(jié)果對(duì)各方都有利.合作博弈研究的問題就是要找到一種效益分配方式，能促使所有利益主體合作.基于合作博弈理論的收益分配是希望通過聯(lián)合從事某項(xiàng)活動(dòng)，使每個(gè)人的收益比單獨(dú)從事這項(xiàng)活動(dòng)或作小范圍聯(lián)合時(shí)的收 益多.當(dāng)代世界，合作與競(jìng)爭(zhēng)共存成為時(shí)代的主題，而企業(yè)間各種形式的合作聯(lián)盟更成為當(dāng)今經(jīng)濟(jì)界競(jìng)爭(zhēng)的熱點(diǎn)模式. 組成合作聯(lián)盟進(jìn)行合作創(chuàng)新已經(jīng)成為越來越多企

7、業(yè)的選擇.在社會(huì)活動(dòng)中的若干實(shí)體，為了在日益激烈的競(jìng)爭(zhēng)中爭(zhēng)得一席之地，也為了獲得更多的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)效益，相互合作結(jié)成聯(lián)盟或集團(tuán)這種合作通常是為了利益，是非對(duì)抗性的，確定合理分配這些效益的最佳方案是促成合作的前提.2 多人合作博弈概念在日常生活及社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，一個(gè)人（或集團(tuán)）為了克服自身弱點(diǎn)（如力量或財(cái)力有限），尋求與他人（集團(tuán)）進(jìn)行合作，結(jié)成一個(gè)聯(lián)盟，以完成單個(gè)人或集團(tuán)所不能完成的事， 這就是多人合作博弈. 該聯(lián)盟一旦形成，就作為一個(gè)整體共同采取行動(dòng)，其目標(biāo)是使聯(lián)盟獲得最大利益.一旦博弈完畢，可以根據(jù)某種事先商定的契約以及各個(gè)局中人本身的貢獻(xiàn)大小， 分配共同所得的利益.聯(lián)盟的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)有n

8、個(gè)局中人N1,2,，n?進(jìn)行博弈，所謂一個(gè)聯(lián)盟就是N的 一個(gè)非空子集S.為方便起見，有時(shí)稱空集 一也是一個(gè)聯(lián)盟.n個(gè)局中人共能形成2n個(gè)聯(lián) 盟.一旦聯(lián)盟S形成，組成聯(lián)盟S的局中人不再關(guān)心自己的特殊利益，而為整個(gè)聯(lián)盟的最大利益去努力.因此，他們主要關(guān)心聯(lián)盟S所能獲得的最大值.所有聯(lián)盟S所獲得的最大值都確定以后，整個(gè)博弈就完全清楚.這樣的博弈可以用特征函數(shù)加以描述：定義 11:給定N，1,2,，n合作n人博弈記為】-N,v1, N上的特征函數(shù)v是定義在 2N上的實(shí)值函數(shù)，滿足：v一= 0 ,v S T -v S vT ,ST =. ,S,T N.（1）對(duì)于一個(gè)聯(lián)盟S,v S的值可以通過下列方式獲得

9、：S中局中人形成聯(lián)盟為使S獲得最大利益而努力，這時(shí)最糟的情況是剩下的所有局中人N - S形成一個(gè)聯(lián)盟和S抗衡，這樣可看成是兩個(gè)局中人S與N- S在進(jìn)行非合作博弈，v S就是在上述兩人非合作博弈中，S所獲得的最大收入.對(duì)于合作博弈，局中人之間可以相互協(xié)商，共同采取使全體都有利的策略，如果某些局家共同采取的策略使聯(lián)盟總體的利益達(dá)到最大.因此，博弈完畢后，如何分配共同形成的總體聯(lián)盟N所得的收入v N就是合用博弈研究的主要任務(wù).中人對(duì)采取某些特定策略不滿意，可以事先訂立契約，等博弈完了以后再進(jìn)行補(bǔ)償，以便大v S的一種分配方案由n維向量X =LXI,X2,xj表示，Xi表示局中人i的所得顯 然，對(duì)每一

10、個(gè)局中人i來說，它至少期望得到的xi滿足：xi_v, N .(2)(2 )稱為個(gè)體合理性條件；還有一個(gè)必須滿足的條件是：n Xi=v N.(3)i 4(3)稱為群體合理性條件(2)、( 3)合到一起就得到一種分配方案.當(dāng)所有n個(gè)局中人均參與合作時(shí)，N =：1,2，n為最大的一個(gè)聯(lián)盟，記v N為最大的聯(lián)盟成果，如何將v N分配給各局中人？ 一個(gè)很自然的方法就是依據(jù)各局中人給聯(lián)盟帶 來的貢獻(xiàn)來分配.設(shè)Xi為第i個(gè)局中人從vN中獲得的分配，i =1,2，n則有：& =v 1 ,X2=v - v1,X3=v1,2,3? -v 1,2?,Xn= v N；-v N-d .然而上述的分配通常與局中人編號(hào)的次

11、序有關(guān)，如把局中人n, n -1,，2,1的編號(hào)改為1 ,2 / , n則有新的分配方案：X1二v W,X2二v ?n, n- 仁-v，n；X3二v n, n -1, n - 2； v：n, nT ；ixn二v N Lv N對(duì)于局中人其它編號(hào)的次序均有對(duì)應(yīng)的分配方案，由于n個(gè)局中人編號(hào)的次序共有n!種，所以對(duì)應(yīng)的分配方案也有n!種.為此取各局中人分配的平均值作為局中人的平均貢獻(xiàn).記iv為第i個(gè)局中人的平均貢獻(xiàn)，則有：iv - Vsl汗-v SL i =1,2，n.(4)n!H其中二為由1,2,n組成的所有n級(jí)排列，7 為針對(duì)所有的n!個(gè)不同n級(jí)排列求和，S，一二(j |二j d?,顯然S-為排

12、列二中排在i之前的那些局中人組成的聯(lián)盟，將滿足S排列歸為一類，(4)式可以表示為：iV八S ! S1 !v S -vS-,i =1,2,n,(5)&n!其中S為N中包含 3 的所有子集，S為子集S中局中人的人數(shù)可以證明：nxi v =v N.(6)i生(6)式表明各局中人在聯(lián)盟中的平均貢獻(xiàn)v之和等于聯(lián)盟的總“成果”.定義 23棟v：氣v ,;:2V ,，;:nv為合作n人博弈的 Shapley 值.在多人合作博弈中，利用 Shapley 值法解決分配問題是一種比較公正、合理且行之有效 的方法本文的目的是探討 Shapley 值法在利益分配問題，費(fèi)用分?jǐn)倖栴}，及如何確定組合 預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)中的應(yīng)用.

13、下面就通過實(shí)例來說明Shapley 值法在這些方面的具體應(yīng)用.3 利益分配問題隨著科學(xué)技術(shù)進(jìn)步和信息技術(shù)的迅速發(fā)展，世界市場(chǎng)已由過去的相對(duì)穩(wěn)定變成動(dòng)態(tài)多變的特征，由過去的局部競(jìng)爭(zhēng)演變成全球范圍的競(jìng)爭(zhēng).在此情景下，以最快的速度推出產(chǎn)品、以最好的質(zhì)量、最低的成本和最優(yōu)的服務(wù)滿足不同用戶的需求成為每個(gè)企業(yè)認(rèn)真解決的問 題.于是越來越多的企業(yè)紛紛尋找合作伙伴，結(jié)成聯(lián)盟，利用各方優(yōu)勢(shì)以更好地適應(yīng)快速變化的市場(chǎng)要求.各企業(yè)結(jié)成聯(lián)盟后獲得了更大的收益，如何利用Shapley 值把聯(lián)盟的整體收益合理地分配給各個(gè)企業(yè)，下面給出一實(shí)例.設(shè)現(xiàn)有三家企業(yè) A、B、C 為了抓住某一市場(chǎng)機(jī)遇，決定實(shí)施聯(lián)盟生產(chǎn)某種新產(chǎn)品投

14、入 市場(chǎng)，聯(lián)盟成功后將獲得一批可觀的收益，現(xiàn)如何用Shapley 值分配這一聯(lián)盟收益.讓我們先看在特定場(chǎng)合單家企業(yè)生產(chǎn)或兩家聯(lián)盟生產(chǎn)以及三家聯(lián)盟生產(chǎn)的收益情況(見表1).表 1聯(lián)盟博弈收益表單位：萬元企業(yè)收益A120B80C40A+B ( A、B 企業(yè)聯(lián)盟)240A+C （A、C 企業(yè)聯(lián)盟）280B+C （ B、C 企業(yè)聯(lián)盟）200A+B+C （A、B、C 企業(yè)聯(lián)盟）480由表中可以看出，兩家聯(lián)盟比單家生產(chǎn)合算，三家聯(lián)盟比兩家聯(lián)盟合算，按Shapley 值法計(jì)算：120240 -80280 -40480 -2003 12 31 3仆80240 120 + 20040480 280一 門B140

15、，3漢12漢31x3心小40(280 120 )+(20080 ) 480 240一 門C1403工12疋31x34 費(fèi)用分?jǐn)倖栴}在我國(guó)區(qū)域經(jīng)濟(jì)中中小型制造企業(yè)數(shù)量很大，行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟有利于企業(yè)抵御風(fēng)險(xiǎn)、降低成本、提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力.行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中企業(yè)協(xié)作的形式有多種，基于行業(yè)信息網(wǎng)絡(luò)的行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)是聯(lián)盟企業(yè)協(xié)作的重要手段之一.在聯(lián)合采購(gòu)中，各采購(gòu)企業(yè)通過合作使得在滿足各自采購(gòu)目標(biāo)時(shí)的采購(gòu)總費(fèi)用Y小于各采購(gòu)企業(yè)單獨(dú)采購(gòu)時(shí)的采購(gòu)總費(fèi)用X,每個(gè)采購(gòu)企業(yè)都希望自身分配的收益越大越好，分?jǐn)偟穆?lián)合采購(gòu)成本費(fèi)用越少越好下面就用Shapley 值法對(duì)聯(lián)合采購(gòu)費(fèi)用進(jìn)行合理分?jǐn)傆?jì)算.先給出一些符號(hào)定義：C S:聯(lián)

16、盟S的總采購(gòu)費(fèi)用;M=1,2,，ml:企業(yè)采購(gòu)物資的集合;y =y1/, yn盧RN M:其中RN M是聯(lián)盟N購(gòu)買的所有物資的集合，yr y1,yimRM，其中yj是企業(yè)i購(gòu)買物資j的數(shù)量，L N, j M；Pjy:購(gòu)買第j種物資，數(shù)量為y時(shí)的價(jià)格；fik:企業(yè)i采購(gòu)物資k次時(shí)的交易費(fèi)用，fSk為聯(lián)盟S聯(lián)合采購(gòu)k次的交易費(fèi)用.物資采購(gòu)中，采購(gòu)費(fèi)用包括采購(gòu)的交易費(fèi)用和采購(gòu)物資的實(shí)際費(fèi)用兩部分.采購(gòu)的交易費(fèi)用是指一次物資采購(gòu)中，采購(gòu)主體（單個(gè)企業(yè)或行業(yè)采購(gòu)中心） 發(fā)布消息、組織招投標(biāo)等進(jìn)行輔助交易的費(fèi)用，而采購(gòu)物資的實(shí)際費(fèi)用是指采購(gòu)物資的實(shí)際數(shù)量和實(shí)際采購(gòu)價(jià)格之積.行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)中，聯(lián)盟S的采購(gòu)總費(fèi)

17、用為：mCS = fsks!亠一pjyS jysj（7）對(duì)所有的聯(lián)盟S都算出C S，就得到行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的一個(gè)n人合作博弈N,C.Shapley 值法的行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的費(fèi)用分?jǐn)傆?jì)算公式為：-200，Uin _ S !S-1! C s _c S_訃1-(8)i吞n!S N(8)式中Ui表示企業(yè)i聯(lián)合采購(gòu)時(shí)的分?jǐn)偛少?gòu)費(fèi)用，CS-V表示企業(yè)i沒有加入聯(lián)盟S時(shí)的采購(gòu)費(fèi)用，C S -C S一訃1表示企業(yè)的邊際費(fèi)用(也稱可分離費(fèi)用)，即企業(yè)i加入到聯(lián)盟S中至少應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用(最小分?jǐn)傎M(fèi)用).下面舉一實(shí)例說明 Shapley 值法在行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)中的費(fèi)用分?jǐn)傆?jì)算.某行業(yè)型企業(yè)聯(lián)盟中有四家企業(yè)擬聯(lián)合采購(gòu)兩類物資，假定

18、企業(yè)獨(dú)自均能采購(gòu)這兩類 物資并可任意結(jié)盟進(jìn)行聯(lián)合采購(gòu)描述如下：N=比2,3,4?：局中人為四家企業(yè)；M A,B?： 有兩類采購(gòu)物資;P N為：P N 1；1；2二34二1,2泊,3泊,4二2,3243,411,2,3漢1,2,4【：2,3,4泊,2,3,4.對(duì)每一個(gè)聯(lián)盟S P N，其采購(gòu)費(fèi)用函數(shù)C S可由(7)式算出.在本實(shí)例中，不失一般性，假定企業(yè)單獨(dú)采購(gòu)或聯(lián)盟聯(lián)合采購(gòu)均能一次采購(gòu)?fù)晁栉镔Y，并且四個(gè)企業(yè)單獨(dú)采購(gòu)的交易費(fèi)用均相等，即：1 = f2= f3二f/ =2000元.(9)而所有聯(lián)盟的采購(gòu)費(fèi)用也相等，即：fs(1)=3000元，SE P(N且S1.( 10)在本實(shí)例中，不失一般性，價(jià)

19、格函數(shù)Pjy假定為購(gòu)買數(shù)量的線性函數(shù)，其表達(dá)式為:Pjmax,Pj(y)=bj ajy, yjminSjmax.式中，Pjmax和Pjmin分別是第j種物資在最小購(gòu)買量yjmin和最大購(gòu)買量Yjmax時(shí)的最高、最低價(jià)格本實(shí)例中，設(shè)PAmax,PAmin,yAmax,yAmin分別為 90 元、60 元、160 單位和 40 單位,PBmax, PBmin,yBmax, yBmin分別為 100 元、60 元、150 單位和 50 單位.因此可分別算出物資A、B的價(jià)格函數(shù):(11)Pjmin,y -yjmax因此可算出所有聯(lián)盟S P N的采購(gòu)費(fèi)用如表 2 所示.表 2各種聯(lián)盟采購(gòu)物資數(shù)量（單位）

20、及采購(gòu)費(fèi)用（元）表、聯(lián)盟S類別、121341,21,31,42,3物資A5030103080608040物資B8030205011010013050價(jià)格A87.590909080858090價(jià)格B88100100100768068100費(fèi)用C（S）1341577004900970017760161001824011600續(xù)表 2各種聯(lián)盟采購(gòu)物資數(shù)量（單位）及采購(gòu)費(fèi)用（元）表聯(lián)盟S類別9,43,41,2,31,2,41,3,42,3,41,2,34物資A6040901109070120物資B8070130160150100180價(jià)格A859077.572.577.582.570價(jià)格B889268

21、60608060費(fèi)用C（S）15140130401881520575189751677522200利用 Shapley 值法計(jì)算公式（8）求行業(yè)聯(lián)合采購(gòu)的費(fèi)用分?jǐn)?，?,13415丄（11760 7700 ）+（161004900 ）+（182409700仁U1:44 318815 -1160020575 -1514018975 -1304022200 -167754汶34= 8742.08同理可得，U2=4837.08，U3=274375，U4=5877.09.由此可以看出，對(duì)聯(lián)盟貢獻(xiàn)少（采購(gòu)物資少）的企業(yè)分?jǐn)偟牟少?gòu)費(fèi)用相對(duì)較少，將獲得更多 收益，因此是一種根據(jù)企業(yè)對(duì)聯(lián)盟貢獻(xiàn)大小來分?jǐn)傎M(fèi)用的

22、方法.5 組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)的確定預(yù)測(cè)是根據(jù)以往及現(xiàn)在的已知信息，采取一定的方法或技術(shù)， 對(duì)事物的未來發(fā)展趨勢(shì)和結(jié)果進(jìn)行估計(jì)或推測(cè). 組合預(yù)測(cè)就是綜合利用各種預(yù)測(cè)方法所提供的信息，以適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均形式得出組合預(yù)測(cè)模型.組合預(yù)測(cè)最關(guān)心的問題就是如何求出加權(quán)平均系數(shù)，使得組合預(yù)測(cè)模型更加有效地提高預(yù)測(cè)精度.設(shè)某社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)序列的觀察值為xt|t=1,2,，M設(shè)有n個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法0,PA八100 -y4I60,y 4040 . y : 160 ,y _160100,pBy =12060,y _ 502y5,50：y：.150y _ 150(12)對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，n個(gè)單預(yù)測(cè)方法用N二1,2,，n?表示

23、，則N為組合預(yù)測(cè)方法的局中人集合.N中的任一子集 2N形成組合預(yù)測(cè)方法的一個(gè)聯(lián)盟，若干個(gè)局中人結(jié)成聯(lián)盟后，這個(gè)聯(lián)盟作為一個(gè)整體進(jìn)行組合預(yù)測(cè)就是希望盡可能多的降低組合預(yù)測(cè)誤差, 方和這個(gè)指標(biāo)來反映預(yù)測(cè)精度.設(shè)x,為第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，記e=人-x為第i種預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差,i =1,2, n,t =1,2, M.設(shè)Xt=hXit l?X2t InXnt為為的組合預(yù)測(cè)值，12，In為各種預(yù)測(cè)方法的加權(quán)n系數(shù)，且滿足a li=i,li_0,i =1,2 , n設(shè)e為第t時(shí)刻組合預(yù)測(cè)誤差，則有:i 4net二XtXt二h XtXiti 4n二lieit.i二(13)組合預(yù)測(cè)模型的誤差平方和為：

24、MM n nJ NA 為e2- liljeitejt.t壬t呂i二j 4(14)記Eeitejt，L =h, I?，In,I丁= 1,1，11 n,稱矩陣E為組合預(yù)測(cè)模2mm型的誤差信息矩陣，稱L為組合預(yù)測(cè)模型加權(quán)系數(shù)向量，則以組合預(yù)測(cè)誤差平方和的非負(fù)權(quán)最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型可寫為：min J Ni；二LTEL.ITL=1(15)L 3 0令vS二-JS,v S為特征函數(shù)，J S表示聯(lián)盟S進(jìn)行組合預(yù)測(cè)所得的預(yù)測(cè)誤差平方和，vS表示JS相反數(shù).因?yàn)轭A(yù)測(cè)誤差平方和越大， 預(yù)測(cè)精度越低，所以v S越大，表明預(yù)測(cè)精度越高.由 Shapley值即可計(jì)算第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法同聯(lián)盟合作的平均貢獻(xiàn)v,考慮到v N為誤

25、差平方和的負(fù)值，需將iv做如下歸一化處理可得組合預(yù)測(cè)的加權(quán)系數(shù)h,l2，,lni =1,2, ,n. (16)本文采n顯然它們滿足 遲h =1,h zo,i =1,2,，ni 4組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)確定的合作博弈方法計(jì)算步驟：1） 根據(jù)組合預(yù)測(cè)誤差信息矩陣對(duì)角線上的元素，采用某種正權(quán)組合方法，如方差倒數(shù)加權(quán)法，均方差倒數(shù)加權(quán)法等給出初始的組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)的估計(jì).2） 根據(jù)（14）式計(jì)算各種聯(lián)盟合作的特征函數(shù).3） 根據(jù)（5）式計(jì)算各種預(yù)測(cè)方法的所獲得的平均分配，即Shapley 值.4） 根據(jù)（16）式對(duì)各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的所獲得的平均分配做歸一化處理即得組合預(yù)測(cè) 權(quán)系數(shù).下面用一實(shí)例來說明.設(shè)某組合預(yù)測(cè)問題有N=1,2,31三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法組合而成其預(yù)測(cè)誤差的信息矩陣為：_835E = Qj)3況3 =344i546其中切，,$3分別是1,2,3這三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差平方和.本例采用方差倒數(shù)加 權(quán)法，其一般計(jì)算公式為：（n y（l1, 12,1n ）=乞eii |（e11,e22,Qn）（17）丿所以按照（17）式1,2,3這三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)中的加權(quán)系數(shù)為：再按照（15）式得即v N二-J N