2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題(新課標(biāo)卷I)解析版

1、絕 密 啟 封 并 使 用 完 畢 前試題類型：A2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試題卷共5頁，24題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)：1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型 A后的方框涂黑。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo) 號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫 在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、選考題的作答：

2、先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū) 域均無效。5、考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 A=x|x2 4x+3<0 , B=x|2x3A0,則 aAb = 3333(A)(-3,-3)(B)(-3,2) (C) (1,3) (D)堂)【答案】D 考點(diǎn)：集合運(yùn)算(2)設(shè)(1書)*=1+丫1,其中x, y是實(shí)數(shù)，則x + yi =(A) 1 (B) 22 (C)方(D) 2【答案】B

3、【解析】試題分析：因?yàn)?1 十i)x=1+yi,所以 x+xi=1 + yi,所以x=1,y =x =1，故|x+yi |=|1 + i |=先故選 B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算(3)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,引=8,則4。二(A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97【答案】C【解析】試題分析：由已知，!9a1 +36d -27，所以 a1 = -1,d =1,a100 = a1 +99d = -1 +99 = 98,a19d =8故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算(4)某公司的班車在7:30, 8:00, 8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)

4、刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(A) (B) (C) (D)【答案】B考點(diǎn)：幾何概型(5)已知方程-二1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是(A) ( -1,3) (B) ( - 1,) (C) (0,3) (D) (0,)【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以m2+n + 3m2 n =4 ,解得：m2 = 1,因?yàn)榉匠?上一上=1表示雙曲線，所以0+n>0解得!n>",所以n的取值范1 n 3-n3-n 0n ： 3圍是(-1,3),故選A.考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂

5、直的 半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(A) 17 兀(B) 18 兀(C) 20兀(D) 28?！敬鸢浮緼【解析】試題分析：由三視圖知：該幾何體是，個(gè)球，設(shè)球的半徑為RUv=Z：4nR32,88 33解得R =2 ,所以它的表面積是-x4n x22+-xn x22 =17n 故選A.84考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積(7)函數(shù)y=2x2-e|x1在-2,2的圖像大致為考點(diǎn)：函數(shù)圖像與性質(zhì)(8)若2沖>10<c<1,貝 U(AO ac <bc (B) abc <bac(Q alogbc cblogac ( D) log a c < logb c【答案

6、】C【解析1iiii試題分析：用特殊值法，令= = 3, 5 = 2,仁/得妥,2,選項(xiàng)A錯(cuò)誤，3工21>2區(qū)中，選項(xiàng)H錯(cuò)誤,考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)<21og32,選項(xiàng) C正確,>logjy n 選項(xiàng) D錯(cuò)誤，散選 c.£ £ 公與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(9)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的x=0, y = 1, n=1,則輸出x, y的值滿足(AO y =2x (B) y =3x(Q y =4x ( D) y =5x【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)x = 0,y =1,n=1時(shí)，x=0+上y =1父1 = 1,不滿足222x2 +y2 >36 ； x2+y2236;輸

7、出x = 1,y=6,則輸出的x, y的值滿足y = 4x ,故選C.2 -1 1n=2,x = 0 += ,丫 = 2父1=2 不滿足2222x +y 2 36；n = 3,x=1十=3,丫 = 2父3=6 滿足 222考點(diǎn)：程序框圖與算法案例(10)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A, B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D, E兩點(diǎn).已 知|AB=40, |DE|=2善,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】B【解析】試題分析：如圖，設(shè)拋物線方程為 y2=2px,圓的半徑為r, AB,DE交x軸于C,F點(diǎn)，則AC =2衣，即A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2量，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為即OC，由

8、勾股定理知 PPDF2+OF2 =DO2 =r2AC2+OC2 = AO2 = r2,即(的2+(與=(2拘2+(巴)2 ,解得 p = 4,2p ,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)(11)平面"過正方體ABCDABGD的頂點(diǎn)A, “平面CBD, al平面ABCg al平面ABBAi=n,則或n所成角的正弦值為(A)-(B) 4 (C)半(D) 1 2233【答案】A【解析】試題分析：如圖J設(shè)平面c罵 n平面四CD =用1,平面CHQ n平面 加月M = / ,因?yàn)镾 "平面CBD f所以瀏#刪小“松，則瀏聲所成的角等于冽：汨所成的角一過馬作。聲&qu

9、ot;用c,交血的延長線于點(diǎn)苴連接CE,則B為"一連接40 ,過R1作坊可月 4田，交AA.的延長線于點(diǎn),用,則用耳為球一連接 肛 貝I力口才匕工瓦月“4力，則加：力所成的角如為4人屈0所成的甌.為60%故叫并所成角的正弦值為坐， 金選A-考點(diǎn)：平面的截面問題，面面平行的性質(zhì)定理，異面直線所成的角(12)已知函數(shù)f (x) =sin®x+*)(8>0,中| E),x = -工為f(x)的零點(diǎn)，x =為丫="乂)圖像244的對稱軸，且 他)在()單調(diào)，則6的最大值為 18 36(A) 11 (B) 9 (C) 7 (D) 5【答案】B考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)第II

10、卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第(22)(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分.(13)設(shè)向量 a=(m11) , b=(1,2),且 | a+b| 2=| a| 2+| b|2,則 m=.【答案】-2【解析】試題分析：由| a+b |2冒a |2+| b |2 ,得2，% 所以mMl + lM2 = 0,解得m=-2.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(14) (2x+4)5的展開式中，x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)【答案】10【解析】_ _ 5 r試題分析：(2x十向5的展開式的通項(xiàng)為C5(2x)5(4

11、)r=25c5x,(r=0, 1, 2,，5),令5=3得r=4,所以x3的系數(shù)是2c4=10.2考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理(15)設(shè)等比數(shù)列 出滿足a+a3=10, a2+a4=5,則aa鬃a的最大值為.【答案】64【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列4的公比為式燈工與，由r得4，解得，1 .所以出 +出=5 飛 儀 1 +爐>=5<1 = -*/心冬二町才+*蟲7=8"(9T=2/5 ,于是當(dāng)內(nèi)=3或葡=4時(shí)，010r q取得最大值 £26=64考點(diǎn)：等比數(shù)列 及其應(yīng)用(16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1k

12、g,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在 不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.【答案】216000【解析】試題分析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品 A產(chǎn)品B分別為x、y件，利潤之和為z元，那么由題意得 l5x+0.5y, 150, x +0.3y, 90,約束條件5x+3y, 600, 目 標(biāo)函數(shù)z = 2100x+900y . x- 0,y 0. 3x + y? 300, 10x+3y, 900,約束條件等價(jià)于15x+3y,

13、 600,x- 0, y- 0.作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示 .將z =2100x+900y變形，得y =-7x+z，作直線：y = -7x并平移，當(dāng)直線y=-'x+-z-390033900經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值.解方程組10x+3y=900得m的坐標(biāo)為(60,100). 5x 3y =600所以當(dāng) x=60, y =100 時(shí)，zmax =2100 M60 +900100 = 216000 .故生產(chǎn)產(chǎn)品A產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)A

14、BC的內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為 a, b, C,已知 2cosc(acosB+b cosA) = c.(I )求 C；(II )若c="ABC的面積為封3 ,求4ABC的周長.2【答案】（I） c.（II）5+77【解析】試題解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosc（sin AcosB+sinB cosA ）= sinC ,2cosCsin（A+ B）= sinC .故 2sinCcosC =sinC .可得cosC=1 ,所以C=土. 23考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式(18)(本小題滿分12分)如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面 A

15、BE叨正方形，AF=2FD/AFD =90 ,且二面角D- AE E與二面角C- BE F都是60 .(I )證明：平面 ABEF平面EFDC(II )求二面角E- BC A的余弦值.【答案】(I )見解析(II2 1919試題分析：(I )證明AF_L平面EFDC ,結(jié)合AFU平面ABEF,可得平面ABEF_L平面EFDC . (II )建立空間坐標(biāo)系，利用向量求解.試題解析：(I )由已知可得AF_LDF, AF_LFE,所以AF_L平面EFDC .又AFU平面ABEF,故平面ABEF_L平面EFDC .(II )過D作DG _LEF ,垂足為G ,由(I )知DG _L平面ABE F .

16、以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正方向，GF為單位長，建立如圖所示的空間直角 坐標(biāo)系G - xyz .由(I )知/DFE為二面角D-AF-E的平面角，故/DFE = 60 ,貝U DF =2, DG =3 ,可 得 A(1,4,0), B(-3,4,0E(4,0,0), D(0,0j3).考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用(19)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損 零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè) 500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同 時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理

17、了 100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換 的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù) 發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2 臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(I )求X的分布列；(II )若要求P(XMn)之0.5,確定n的最小值；(III )以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在 n = 19與n = 20之中 選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【答案】(I )見解析(II ) 19 (III ) n=19考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列(20)(本小題滿分12分)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)

18、B (1,0)且與X軸不重合，l交圓A于C, D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E(I )證明|EA+|EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(II )設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C,直線l交。于MN兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直 線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPN面積的取值范圍.【答案】(I): + 匕=1 (y#0) (II ) 12,8J3)43【解析】試題分析：利用橢圓定義求方程；(II )把面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，再求最值。試題解析：(I)因?yàn)?|AD|=|AC|, EB/AC ,故 / EBD =/ACD =/ADC ,所以 |EBRED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|EDRAD|.

19、又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16 ,從而|AD|=4,所以| EA| + | EB|= 4.由題設(shè)得A(1,0), B(1,0) , |AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為： 22x- + y-=1 (y/0).43考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I )求a的取值范圍；(II )設(shè)X1, X2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：+X2<2.【答案】(I) (0,) (II )見解析【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號來確定(主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分類)；(II)借組(I)的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知X1十X2<2等價(jià)于f(X1)Af(

20、2-X2),即f (2 -X2) <0 .設(shè) g(x) = re" -(x -2)ex,則 g '(x) = (x -1)(e2 -ex).則當(dāng) x>1 時(shí)，g '(x) <0 ,而 g(1) = 0,故當(dāng) x>1 時(shí)，g(x)<0.從而 gd) = f (2-X2)<0 ,故 Xi+x2<2.試題解析：(I ) f'(x)=(x-1)eX+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)設(shè)a=0,則f=(x-2)ex, f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).（ii ）設(shè)2 0 ,則當(dāng) xw （3,1）時(shí)，f'（x）0；當(dāng) X

21、EQ 為 時(shí)，f'（x）0 .所以 f（x）在（3,1）單調(diào)遞減，在（1,依）單調(diào)遞增.又 f(1) = e, f(2)=a,取 b 滿足 b<0 且 b<lna ,貝(J2一 a _223_f (b) >-(b-2) +a(b-1) =a(b -b) >0 ,故f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn).（iii設(shè)。0,由廣（力二口得工=1或工=加121）.若白之一9,則如:ML故當(dāng)工eQ心）時(shí)，/W0,因此00在。,十期單調(diào)遞增,又當(dāng)工*1時(shí) /«0,所以/（工）不存在兩個(gè)零點(diǎn).若白一£,則加（一31,故當(dāng)工£（1加一之3時(shí)，當(dāng)工1-如立*0）時(shí)，.

22、因此/W在QlnQ即）單調(diào)遞減,在位（-24）,+與單調(diào)遞增.又當(dāng)X M1時(shí)，/（力 0,所以7X0不存在 兩個(gè)零點(diǎn).綜上，口的取值范圍為（國+*）.（n）不妨設(shè)三M無，由（I ）知FE（ro=l1為七（L+30）, 2巧七（TO），/（工）在（trD單調(diào)遞減,所以,玉十92等價(jià)于/（/）/（2為）,即（2修）0.由于/W）=+&嗎1,而巧）=（巧一2） +柔看-1=。，所以2-巧”一一句-每-2罐.設(shè)式W =延片（x-2M）則區(qū)'（力=（#IX。' /） .所以當(dāng)工1時(shí)，£80,而第1） = 0,故當(dāng)工1時(shí)，g（x）0.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其從而氟浜） =（2再）。，故當(dāng)+巧2.應(yīng)用請考生在第（22）、（ 23）、（ 24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一 題計(jì)分。（22）（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖，OAEM等腰三角形，/AOB120。.以。為圓心，OA為半徑作圓.（I ）證明：直線AB與。相切；(II )點(diǎn)GD在。上，且A B, CD四點(diǎn)共圓，證明：AB/ CD【答案】見解析(