2017年上海市長寧區(qū)高考數(shù)學一模試卷

1、2017年上海市長寧區(qū)高考數(shù)學一模試卷一、填空題(共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1. (4 分)設集合 A=刈 x- 2| 0)的最小正周期是 冗，則.33. (4分)設i為虛數(shù)單位，在復平面上，復數(shù) -對應的點到原點的距離 (2-i )2為.4. (4分)若函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4, 1),則實數(shù)a=.5. (4分)已知(a+3b) n展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為 64,貝U n=.6. (4分)甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 種.7. (5分)若圓錐

2、的側面展開圖是半徑為 2cm,圓心角為270的扇形，則這個圓錐的體積為 cm3.8. (5分)若數(shù)列an的所有項都是正數(shù)，且,瓜+於+.屆=n2+3n (nCN*),一.1 a1貝U Urny (-Z-+-Z-+9. (5 分)如圖，在 ABC中，/B=45, D 是 BC邊上的一點，AD=5, AC=7, DC=3則AB的長為BD C10. (5分)有以下命題：若函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x)的值域為0;若函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，則f (|x|) =f (x);若函數(shù)f (x)在其定義域內不是單調函數(shù)，則 f (x)不存在反函數(shù)；若函數(shù)f (x)存在反函數(shù)f1 (x),且f

3、1 (x)與f (x)不完全相同，則f (x) 與f-1 (x)圖象的公共點必在直線y=x上;其中真命題的序號是 .(寫出所有真命題的序號)11. (5分)設向量 0A= (1, -2), 0B= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中 O為坐標原點，a0, b0,若A、B、C三點共線，則1+2的最小值為.a b12. (5分)如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面邊長為2cm,高為5cm, 一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為 cm.B二、選擇題(共4小題，每小題5分，滿分20分)13. (5 分)& 2”是 “24”的()A.充分非必

4、要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14. (5分)若無窮等差數(shù)列an的首項為0,an的前n項和為 則以下結論中一定正確的是()A. Sn單調遞增B. Sn單調遞減C &有最小值D. &有最大值15. (5分)給出下列命題：(1)存在實數(shù)a使min。a.(2)直線是函數(shù)y=sinx圖象的一條對稱軸.(3) y=cos (cosX) (xCR)的值域是cos1, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且 a B,則tan atan自其中正確命題的題號為()A. (1) (2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)第1頁(共20頁)16. （5分）如果對一切實數(shù)x、

5、y,不等式工-cos2xasinx-旦恒成立，則實數(shù)a 4y的取值范圍是（）A. （-OO,3 B. 3, +8） C. -2亞，26D. -3, 3 3三、解答題（共5小題，滿分76分）17. （14分）如圖，已知 ABL平面BCD BCCD, AD與平面BCD所成的角為30,且 AB=BC=2（1）求三棱錐A-BCD的體積；（2）設M為BD的中點，求異面直線AD與CM所成角的大?。ńY果用反三角函 數(shù)值表示）.18.（14分）在4ABC中，a, b,c分別是角A,B, C的對邊,且8sin2吟-2es2A=7.（I）求角A的大?。唬↖I） 若 a=, b+c=3,求 b 和 c 的值.19.

6、 （14分）某地要建造一個邊長為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC 將其中的區(qū)域ODC開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標系后，點D的坐標為（1, 2）,曲線OD是函數(shù)y=a/圖象的一部分，對邊OA上一點M在區(qū)域OABD 內作一次函數(shù)y=kx+b（k0）的圖象，與線段DB交于點N （點N不與點D重合）， 且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P,四邊形MABN為綠化風景區(qū)：1 2（1）求證：b=-;（2）設點P的橫坐標為t,用t表示M、N兩點坐標；將四邊形MABN的面 積S表示成關于t的函數(shù)S=S （t）,并求S的最大值.O 37 A x20. (16分)已知函數(shù) f (x) =9x

7、-2a?3x+3:(1)若 a=1, xC 0, 1時，求 f (x)的值域；(2)當xC - 1, 1時，求f (x)的最小值h (a);(3)是否存在實數(shù) m、n,同時滿足下列條件：nm3;當h (a)的定 義域為m, n時，其值域為m2, n2,若存在，求出m、n的值，若不存在， 請說明理由.21. (18分)已知無窮數(shù)列an的各項都是正數(shù)，其前n項和為且滿足：a尸a, r&=anan+1 1,其中 a* 1,常數(shù) rCN；(1)求證：4+2-an是一個定值；(2)若數(shù)列an是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù)使得對任意n C N*,都有an+T=an 成立，則稱an為周期數(shù)列，T為它的一個周期，

8、求該數(shù)列的最小周期；(3)若數(shù)列an是各項均為有理數(shù)的等差數(shù)列，Cn=2?y-1 (nCN*),問：數(shù)列 5中的所有項是否都是數(shù)列2中的項？若是，請說明理由，若不是，請舉出 反例.第7頁（共20頁）2017年上海市長寧區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題（共12小題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1. （4 分）設集合 A=刈 x- 2| 1, xCR,集合 B=Z, WJ AH B= 2.【分析】利用交集定義求解.【解答】解：| x 2| 1 ,即1x- 2 1,解得 1x0）的最小正周期是 冗，則j二2【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值.【解答】解：= y

9、=sin （ cox等）（0）,1.1- T=T =砥故答案是：2.【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎題.3. （4分）設i為虛數(shù)單位，在復平面上，復數(shù) 對應的點到原點的距離為（2-i ） 2【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義、兩點之間的距離公式即可得出.【解答】解：復數(shù)3 . 3(3+4i) 一升(2-i )z 3-4f (3-4i) C3+4i)25對應的點（女,蓑）到原點的距離力續(xù)）2+（圣產(chǎn)_|.故答案為：2.5【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、兩點之間的距離公式，考查了 推理能力與計算能力，屬于中檔題.4. (4分)若函數(shù)f (x) =log2 (x

10、+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4, 1),則實數(shù)a= 3 .【分析】由題意可得函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a過(1, 4),代入求得a的值.【解答】解：函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4, 1),即函數(shù)f (x) =log2 (x+1) +a的圖象經(jīng)過點(1,4),4=log2 (1+1) +a4=1+a,a=3.故答案為：3.【點評】本題考查了互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關系與應用問題，屬于基礎題.5. (4分)已知(a+3b) n展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為 64,則 n= 6 .【分析】令二項式中的a=b=1得到展開式

11、中的各項系數(shù)的和，根據(jù)二項式系數(shù)和 公式得到各項二項式系數(shù)的和2n，據(jù)已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二項式中的a=b=1得到展開式中的各項系數(shù)的和4n又各項二項式系數(shù)的和為2n據(jù)題意得二64,解得n=6.2n故答案：6【點評】求二項展開式的系數(shù)和問題一般通過賦值求出系數(shù)和；二項式系數(shù)和為2n.屬于基礎題.6. (4分)甲、乙兩人從5門不同的選修課中各選修2門，則甲、乙所選的課程 中恰有1門相同的選法有 60手中.【分析】間接法：先求所有兩人各選修2門的種數(shù)，冉求兩人所選兩門都相 同與都不同的種數(shù)，作差可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，采用間接法：由題意可得，所有兩人各選修 2門的種數(shù)C5

12、2C52=10O,兩人所選兩門都相同的有為 C52=1O種，都不同的種數(shù)為C52C32=30,故只恰好有1門相同的選法有100- 10- 30=60種.故答案為60.【點評】本題考查組合公式的運用，解題時注意事件之間的關系，選用間接法是 解決本題的關鍵，屬中檔題.7. （5分）若圓錐的側面展開圖是半徑為 2cm,圓心角為270的扇形，則這個圓 錐的體積為短兀cm3. 8【分析】利用圓錐的側面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得底面半徑， 進而求出圓錐的高，代入圓錐體積公式，可得答案.【解答】解：設此圓錐的底面半徑為r,由題意，得：2 7 r= ttX 2,2，解得r得.故圓錐的高h=J1年

13、書，圓錐的體積V冗2h二八兀cm3.38故答案為：耳之兀.此扇形的弧長【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側面展開圖是一個扇形, 等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等 于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解.8. （5分）若數(shù)列2的所有項都是正數(shù)，且,凡+J耳+mn2+3n （nCN*）,則 . h T8【分析】利用數(shù)列遞推關系可得an,再利用等差數(shù)列的求和公式、極限的運算性 質即可得出.【解答】解：:匹+4+一+口=/+3門(n C N*), ；n=1時，匹 =4,解得a1=16.n2 時，且歷+如+= (n-1) 2+3 (n-1),可得：幾=2n+2,

14、；an=4 (n+1) 2.-=4 (n+1).n+1n(2+n+l),1 /J & ?lim-+,L8 n / J故答案為：2.【點評】本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的求和公式、極限運算性質，考查 了推理能力與計算能力，屬于中檔題.9. （5 分）如圖，在 ABC中，/B=45, D 是 BC邊上的一點，AD=5, AC=7, DC=3 則AB的長為士國 . 2 【分析】先根據(jù)余弦定理求出/ ADC的值，即可得到/ADB的值，最后根據(jù)正弦定理可得答案.【解答】解：在4ADC中，AD=5, AC=7, DC=3,由余弦定理得cos/ ADC=，： |1 H：，2AD-DC ./ADC=120

15、, /ADB=60在 ABD中，AD=5, /B=45, / ADB=60 ,由正弦定理得ABADsin/ADB sinB .AB= 2故答案為：【點評】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用， 在解決問題的過程中要靈活 運用正弦定理和余弦定理.屬基礎題.10. (5分)有以下命題：若函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x)的值域為0;若函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，則f (|x|) =f (x);若函數(shù)f (x)在其定義域內不是單調函數(shù)，則 f (x)不存在反函數(shù)；若函數(shù)f (x)存在反函數(shù)f1 (x),且f1 (x)與f (x)不完全相同，則f (x)與f1 (x)圖象的公共點必在直線y=

16、x上；其中真命題的序號是 .(寫出所有真命題的序號)【分析】函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x) =0.利用偶函數(shù)的定 義和性質判斷.利用單調函數(shù)的定義進行判斷.利用反函數(shù)的性質進行判斷.【解答】解：若函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f (x) =0,為常數(shù)函數(shù)， 所以f (x)的值域是0,所以正確.若函數(shù)為偶函數(shù)，則f ( - x) =f (x),所以f (|x|)=f (x)成立，所以正確.因為函數(shù)f (x)在定義域上不單調，但函數(shù)f (x)存在反函數(shù)，所以錯 X誤.原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點關于直線 y=x對稱，但不一定在直線y=x上, 比如函數(shù)y二-4百與其反函數(shù)

17、y=x2- 1 (x00)的交點坐標有(-1, 0), (0, 1), 顯然交點不在直線y=x上，所以錯誤.故答案為：.【點評】本題主要考查函數(shù)的有關性質的判定和應用， 要求熟練掌握相應的函數(shù) 的性質，綜合性較強.11. (5分)設向量 0A= (1, - 2), 0B= (a, - 1), 0C= ( - b, 0),其中 O為坐標原點，a0, b0,若A、B、C三點共線，則一2的最小俏為 8 . a b【分析】A、B、C三點共線，則靛=就，化簡可得2a+b=1.根據(jù)工名=(工在) a b a b(2a+b),利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量禰=(1, - 2), 0B= (a,

18、 - 1), 0C= ( - b, 0),其中。為坐標原點，a0, b0,AB=OB- 0A= (a-1, 1), AC=OC- 0A= (-b-1, 2),.A、B、C三點共線，AB=XAC,11二 2 K解得 2a+b=1,.UZ= (-L+2) (2a+b) =2+2也 +至14+2 叵:至=8,當且僅當 a=L, b=l, a b a ba b v a b42取等號，故工+2的最小值為8, a b故答案為：8【點評】本題主要考查兩個向量共線的性質， 兩個向量坐標形式的運算，基本不 等式的應用，屬于中檔題.12. (5分)如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的底面邊長為2cm,高為

19、5cm, 一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達 A1點的最短路線的長為13 cm.B【分析】將三棱柱展開兩次如圖，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個矩形對角線的連線， 正好相當于繞三棱柱轉兩次的最短路徑.【解答】解：將正三棱柱ABC- A1B1G沿側棱展開，再拼接一次，其側面展開圖第11頁(共20頁)如圖所示,也即為三棱柱的側面上由已知求得矩形的長等于6X2=12,寬等于5,由勾股定理d=7122 + 52=13故答案為：13.【點評】本題考查棱柱的結構特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現(xiàn) 了轉化（空間問題轉化為平面問題，化曲為直）的思想方法.二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿分20分

20、）13. （5 分）& 2”是 “24”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【分析】先求出x24的充要條件，結合集合的包含關系判斷即可.【解答】解：由x24,解得：-2Vx2,故x 2是x2 4的必要不充分條件，故選：B.【點評】本題考察了充分必要條件，考察集合的包含關系，是一道基礎題.14. （5分）若無窮等差數(shù)列an的首項ai0,a3的前n項和為&, 則以下結論中一定正確的是（）a. sn單調遞增b. Sn單調遞減c s有最小值d. sn有最大值【分析】&二白+叱1）d=1n2+冬n,利用二次函數(shù)的單調性即可判斷出結 論.【解答】解：Sn=nai+

21、星正D_d曼n2+(a且)n, 221 2且0,為有最小化2故選：C.【點評】本題考查了等差數(shù)列的求和公式、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.15. (5分)給出下列命題：(1)存在實數(shù) a使sind+c口s。奇.(2)直線笈二是函數(shù)y=sinx圖象的一條對稱軸.2(3) y=cos (cosX) (xCR)的值域是cosl, 1.(4)若a, B都是第一象限角，且 a B,則tan atan自其中正確命題的題號為()A. (1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D. (1)(4)【分析】(1)利用輔助角公式將sin(口可判斷(1)；(2)根據(jù)函數(shù)y=sinx圖象的對

22、稱軸方程可判斷(2)；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質可求出y=cos (cosx) (x R)的最大值與最小值，從而可判斷(3)的正誤；(4)用特值法令a, B都是第一象限角，且a 就可判斷(4).【解答】解：(1) sinQ+口口5 (n T, ( 1)錯誤；(2) .y=sinx圖象的對稱軸方程為x=kn+g(kZ), k=- 1,彳，：(2)正確；(3)根據(jù)余弦函數(shù)的性質可得 y=cos (cosx)的最大值為ymax=COS0=1, ymin=cos(cos1),其值域是cos1, 1, (3)正確；(4)不妨令d凄兀，6二二，滿足% B都是第一象限角，且 aB, 1 tana 43asin

23、x+1 - sin2x包成 4y4 y立，構造函數(shù)f (y) =+1,利用基本不等式可求得f (y) min=3,于是問題轉化 4 y為 asinx- sin2x 0、sinx0 時，f (y) =+-9 ji=3 (當且僅當 y=6 時取 =,f (y) min=3;4 y Y 4 p當 y0 時，f (y) =X+2 - 2(JL)/(-2)= - 3 (當且僅當 y= -6 時取 =,f(y) max=一 3, f (y) min 不存在；綜上所述,f (y) min=3.所以，asinx+1 - sin2x3,即 asinx- sin2x0, asinx+恒成立，令 sinx=t,貝

24、0t 1,再令 g (t) =t+2 (0 sinxtt1),則 aWg (t) min.一，9由于 g (t) =1 彳0,所以，g (t) =t+1在區(qū)間(0, 1上單調遞減，因此，g (t) min=g (1) =3,所以a3;若sinxsinx-恒成立，同理可得ai -3;sinx若sinx=0, 002恒成立，故aC R；綜合，-3a0）的圖象，與線段DB交于點N （點N不與點D重合）， 且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P,四邊形MABN為綠化風景區(qū)： 1r2（1）求證：b=-二 DN B（2）設點P的橫坐標為t,用t表示M、N兩點坐標；將四邊形MABN的面 積S表示成關于t的

25、函數(shù)S=S （t）,并求S的最大值.A x【分析】（1）根據(jù)函數(shù)y=aX2過點D,求出解析式y(tǒng)=2X2；t fy=kx+b t r“ r由 ？消去y,利用 =0證明結論成立；（2）寫出點P的坐標（t, 2t2）,代入直線MN的方程，用t表示出直線方程, 利用直線方程求出M、N的坐標；將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數(shù)S （t）,利用基本不等式即可求出S的最大值.【解答】(1)證明：函數(shù)y=ax2過點D (1, 2),代入計算得a=2,y=2X2 ；由(尸人?，消去y得2x2 -kx-b=0,I尸2/由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P, 得=(k) 2-4X2X b=0,i 2解得

26、b=;8(2)解：設點P的橫坐標為t,則0t1,二點 P (t, 2t2);直線MN的方程為y=kx+b,1 2即y=kx-工J過點P,82kt-=2t2,3解得k=4t;y=4tx - 2t2令 y=0,解得 x* ；M (y, 0)；WM令y=2,解得x1+工，. N (工+工，2);2 2t2 2t將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數(shù)為S=S=2X2-yX2X+ 弓仔)=4 (t+-),其中 0tm3;當h (a)的定 義域為m, n時，其值域為m2, n2,若存在，求出m、n的值，若不存在， 請說明理由.【分析】(1)設t=3x,則小(t) =t2 - 2at+3= (t-a)

27、2+3-a2,小(t)的對稱軸為 t=a,當a=1時，即可求出f (x)的值域；(2)由函數(shù)小(t)的對稱軸為t=a,分類討論當a3時，求出最小值，則h (a)的表達式可求；(3)假設滿足題意的m, n存在，函數(shù)h (a)在(3, +00)上是減函數(shù)，求出 h (a)的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論.【解答】解：(1)二.函數(shù) f(x) =9x- 2a?3x+3,設 t=3x, te 1, 3,貝 小(t) =t22at+3= (t-a) 2+3 - a2,對稱軸為 t=a.當 a=1 時，小(t) = (t 1) 2+2 在1, 3遞增,小(t) e 小(1),

28、小(3),函數(shù)f (x)的值域是：2, 6;(H)二.函數(shù)小(t)的對稱軸為t=a,當 xC 1, 1時，tl 3,-1當 a3 時，ymin=h (a) =(|)(3) =12 6a.f 28 2a 1故 h(a)= 3-相，j3(m)假設滿足題意的 m, n存在，m3,. h (a) =12-6a,函數(shù)h (a)在(3, +00)上是減函數(shù).又h (a)的定義域為m, n,值域為m2, n2,2則，12-6nL12-6n=兩式相減得 6(n-m) = (n-m) ? (m+n),又. nm3,m nw0, . . m+n=6,與 nm3 矛盾.滿足題意的m, n不存在.【點評】本題主要考查二次函數(shù)的值域問題， 二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題 一般結合圖象和單調性處理，是中檔題.21.(18分)已知無窮數(shù)列an的各項都是正數(shù)，其前n項和為且滿足：ai=a, rSn=anan+i - 1,其中 a* 1,常數(shù) rCN；(1)求證：an+2- an是一個定值；(2)若數(shù)列an是一個周期數(shù)列(存在正整數(shù)使得對任意n C N*,都有an+T=an 成立，則稱an為周期數(shù)列，T