圓的方程綜合應(yīng)用教案

1、2.2 圓的方程綜合應(yīng)用教案2.2 圓的方程綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1、 知識技能目標(biāo)：（ 1） 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及一般方程的結(jié)構(gòu)特征；（ 2）理解直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；（ 3）會求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題；（ 4）會用" 數(shù)形結(jié)合" 的數(shù)學(xué)思想解決問題2、過程方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力 .3、情感態(tài)度價值觀目標(biāo)：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索.教學(xué)重點(diǎn)根據(jù)條件靈活選用方法求圓的方程.教學(xué)難點(diǎn)對圓方程的認(rèn)識、掌握和運(yùn)用.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)回顧1. 圓的方程有幾種形式?分別是哪些?2. 求圓的方

2、程時, 什么條件下, 用標(biāo)準(zhǔn)方程?什么條件下用一般方程?3. 直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？4. 如何求圓的切線方程？如何求圓的弦長？5. 圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種？6. 怎樣求兩圓相交時的公共弦的方程？二、例題精講例 1 已知方程.（ 1）此方程表示的圖形是否一定是一個圓？請說明理由；（2）若方程表示的圖形是是一個圓，當(dāng) m變化時，它的圓心和半徑有什么規(guī)律？請說明理由.答案： （1） 方程表示的圖形是一個圓；（ 2） 圓心在直線y=2x+5上，半徑為2.例2已知圓,Q是軸上的動點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A, B兩點(diǎn)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1,0）,求切線 QA QB的方程；（2）求四邊形QAMB勺面積

3、的最小值；若，求直線MQ勺方程.分析：（2）用一個變量表示四邊形 QAMB勺面積（3）從圖形中觀察點(diǎn)Q滿足的條件解析：（1）設(shè)過點(diǎn)Q的圓M的切線方程為，則圓心 M到切線的距離為1，或0,切線QA QB的方程分別為和（2） , （3）設(shè)與交于點(diǎn)，則 ,在中，即設(shè)，則 直線的方程為或點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，如：第( 2) 問把切線長轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離；第( 3) 問把弦長轉(zhuǎn)化為圓心到弦所在直線的距離，再利用射影定理轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離弦長、切線長問題經(jīng)常要這種轉(zhuǎn)化.例3已知圓。的方程為且與圓 O相切.( 1) 求直線的方程；(2)設(shè)圓。與x軸交與P,Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P,Q的 任

4、意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為，直線 PM交直線于 點(diǎn)，直線QMfc直線于點(diǎn)。求證：以為直徑的圓 C總過定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)坐標(biāo).(1)二.直線過點(diǎn)，且與圓：相切，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得， 直線的方程為，即.(2)對于圓方程，令，得，即.又直線過點(diǎn)且與軸垂直，.直線方程為，設(shè)，則直線方程為解方程組, 得同理可得, 以為直徑的圓的方程為，又，.整理得，若圓經(jīng)過定點(diǎn)，只需令，從而有，解得， 圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為.例 4 已知圓，相互垂直的兩條直線、都過點(diǎn)(I)若、都和圓相切，求直線、的方程；(II)當(dāng)時，若圓心為的圓和圓外切且與直線、都相切，求圓的方程；(田)當(dāng)時，求、被圓

5、所截得弦長之和的最大值.解答：(I)顯然，、的斜率都是存在的，設(shè)，則則由題意，得，解得且 ，即且 .、的方程分別為與或與(II)設(shè)圓的半徑為，易知圓心到點(diǎn)的距離為，.解得且， 圓的方程為(田)當(dāng)時，設(shè)圓的圓心為，、被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為，弦長分別為，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危? 即，化簡得從而，即、被圓所截得弦長之和的最大值為變式題1 ：已知方程，求的最大值.解：圓方程可化為圓心為半徑為，由幾何意義可知，的最大值為.變式題2：若實(shí)數(shù)滿足，求的最大值.解：由題意知，由幾何意義可知，的最大值為.變式題3：已知點(diǎn)，為圓上任一點(diǎn)，求的最大值及最小值解：最大值為7，最小值為3四、課堂精練1 .已知圓 C:

6、 (x-a) 2+(y-2)2=4 (a >0)及直線 l:x-y+3=0,當(dāng)直線l 被圓 C 截得的弦長為時，則a=. 答案：2 .直線與軸的交點(diǎn)分別為 A、B, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則內(nèi)切圓的方程為. 答案：3 . 過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為. 答案：4.已知圓C1:與圓C2相交于A, B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為.答案：x+y-3=0五、回顧小結(jié)：1 方程中含有三個參變數(shù)，因此必須具備三個獨(dú)立的條件，才能確定一個圓，還要注意圓的一般式方程與它的標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化 .2在確定圓的方程時，應(yīng)根據(jù)已知條件與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的各自特點(diǎn)，靈活選用圓方程的形式在解題

7、時注意運(yùn)用平面幾何知識及數(shù)形結(jié)合的思想3.使用待定系數(shù)法的一般步驟：根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于a,b, r 或D, E, F 的方程組； 解出a,b, r 或D, E, F ,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程 .分層訓(xùn)練1. 能夠使得圓x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有兩個點(diǎn)到直線2x+y+c=0 距離等于1 的 c 的取值范圍為 . 答案：2. 若圓始終平分圓的周長, 則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是.解：公共弦所在的直線方程為圓始終平分圓的周長圓的圓心在直線上即3. 已知兩圓相交于兩點(diǎn), 兩圓圓心都在直線上 , 則的值是解 : 兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱, 線段的中點(diǎn)(3,1) 在直線上,4

8、.已知曲線，點(diǎn)及點(diǎn)，以點(diǎn) A觀察點(diǎn)B,要使視線不被曲線 C 擋住，則a 的取值范圍是. 答案：5 .已知圓C: x2+y2+2x-4y+3=0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程.解:切線在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，切線的斜率是土 1,或切線過原點(diǎn).當(dāng)切線不過原點(diǎn)時，設(shè)切線方程為y=-x+b 或 y=x+c, 分別代入圓C的方程得2x2-2( b-3 ) x+( b2-4b+3) =0. 或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0,由于相切，則方程有等根，A 1=0,即2(b-3)2-4X2X ( b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,.b=3 或-1,

9、A 2=0,即：2(c-1) 2-4X2X(c2 -4c+3)=-c2+6c-5=0.c=5或1,當(dāng)切線過原點(diǎn)時，設(shè)切線為 y=kx,即kx-y=0.由二,得 k=2±，.y=(2 ±)x.故所求切線方程為：x+y-3=0 ， x+y+1=0， x-y+5=0 ，x- y+1=0,y=(2 ± )x.6. 已知過點(diǎn)的動直線與圓：相交于、兩點(diǎn)，是中點(diǎn)，與直線：相交于.(1)求證：當(dāng)與垂直時，必過圓心；(2)當(dāng)時，求直線的方程；(3)探索是否與直線的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由.解：(1 ) ;與垂直，且，二，故直線方程為，即圓心坐標(biāo)(0, 3)滿足直線方程，當(dāng)與垂直時，必過圓心(2 )當(dāng)直線與軸垂直時,易知符合題意當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為，即，, ,則由，得，.直線：.故直線的方程為或(3) .:二當(dāng)與軸垂直時，易得，則,又，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的方程為，則由，得（）, 則* 綜上所述，與直線的斜率無關(guān)，且.六、 拓展延伸1. 判斷點(diǎn)A（1,2），B（0,1 ），C（7，-6），D（4,3 ）是否在同一個圓上.2. 已知的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為圓心的圓與三角形有唯一的公共點(diǎn)，求圓