(完整版)復(fù)變函數(shù)與積分變換重要知識(shí)點(diǎn)歸納

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)（一）復(fù)數(shù)的概念1復(fù)數(shù)的概念：z x iy , x,y 是實(shí)數(shù)，x Re z , y Im z .i2 1.注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小 2復(fù)數(shù)的表示1）模：z 一 x2 y2 ；2）幅角：在z 0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為 Arg z （多值函 數(shù)）；主值arg z是位于（，中的幅角3） arg z與arctanY之間的關(guān)系如下: x當(dāng) x 0, argz arctan-;xy 0,arg z 當(dāng)x 0,y 0,arg z4）三角表示：z z,y arctan- x,y arctan- xcos isin ,其中argz;注：中間一定是“ +”5）指

2、數(shù)表75 : z zei ,其中 arg z（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：若乙Xiiy1,z2x2iy2 ,貝U4zxx?iyV22乘除法：1）若 z1X1iy1,z2X2iy2 ,則乙馬X1X2 NN2i x1y2；47iy1z2X2iy2X iy X2 iy2x2 iy2 x2 iy2X1X2丫佻.XX2y2”22 i 220X2 V2X2V22）若 4 乙 ei 12z2 ei2 ,則Z1Z2ZiZ2ei 1 23.乘哥與方根1 ) 若 z z (cosi sinzn (cosn isinn ) zn ein。2) 若 z z (cosi sinn.zin cos2k ni sinn2k(

3、k 0,1,2L n 1)(有n個(gè)相異的值)18（三）復(fù)變函數(shù)1 .復(fù)變函數(shù)：w f z ,在幾何上可以看作把z平面上的一 個(gè)點(diǎn)集D變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G的映射.2 .復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：ez ex cosy isin y ,在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；旦 ez ez。注：ez是以2 i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3）對(duì)數(shù)函數(shù)：Lnz ln z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2L ）（多值函數(shù)）；主值：lnz lnz i arg z o (單值函數(shù))Lnz的每一個(gè)主值分支ln z在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且lnz工； z注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)

4、不同）3）乘號(hào)與號(hào)函數(shù)：ab ebLna （a 0） ； zb ebLnz（z 0）注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb1。iz iziz iz4）三角函數(shù)：e ee esin z coszsin z ,cos z , t gz , ctgz 2i2cosz sin zsin z,cos z在 z 平面內(nèi)解析，旦 sin z cosz, cosz sin z注：有界性sinz 1, cosz 1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）z zz z4） 雙 曲函數(shù) shz -,chz - ； 22shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz, chz在z平面內(nèi)解析，且shz chz, chz shz

5、。（四）解析函數(shù)的概念1 .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）點(diǎn)可導(dǎo)zof limz 0zof zo2）區(qū)域可導(dǎo)：f z在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2 .解析函數(shù)的概念1）點(diǎn)解析：f z在zo及其zo的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱f z在zo點(diǎn)解析；2）區(qū)域解析：f z在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱 f z在區(qū)域內(nèi)解析;3）若f（z）在zo點(diǎn)不解析，稱zo為f z的奇點(diǎn)；3 .解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為 零的點(diǎn)）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1 .函數(shù)可導(dǎo) 的充要條件：f z u x, y iv x,y在z x iy可導(dǎo)u x, y和v x, y在x, y可微，且在x

6、, y 處滿足C D條件：u vuv,x yyx此時(shí)， 有f z i o x xiv x,y在區(qū)域內(nèi)解析2 .函數(shù)解析的充要條件：f z u x, yu x, y和v x, y在x, y在D內(nèi)可微，且滿足C D條件：、/、- 'C卜 4注息:此時(shí)f若u x,y ,v x,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則u x,y ,v x,y在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足C R條件時(shí)，函數(shù)f（z） u iv一定是可導(dǎo)或解析的3 .函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習(xí)題1）2）利用充要條件（函數(shù)以f z u x,y iv

7、x,y形式給由，如第二章習(xí)題2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。（函數(shù)f z是以z的形式給由，如第二章習(xí)題 3）（六）復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)n1. 復(fù)變函數(shù)積分的概念：c f z dz lim f k zk, c是光滑曲線。cnk 1注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。2. 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1） f z dz 1 f z dz（c1與c的方向相反）；cc2） f z g z dz f z dz g z dz,是常數(shù)；ccc3） 若曲線c由Ci與c2連接而成，則 c f z dz c f z dz % f z dz。3復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1）化為線積分： f z dz udx

8、 vdy i vdx udy ； （常用于理論證明） ccc2）參數(shù)方法：設(shè)曲線c ： z z t （ t ） ，其中 對(duì)應(yīng)曲線 c 的起點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)曲線 勺終點(diǎn)，則 cf zdz fztz（t）dt。（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1 .柯西一古薩基本定理：設(shè)f z在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一 閉曲線，則?f z dz 0 c2 .復(fù)合閉路定理： 設(shè)f z在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條 簡單閉曲線，Ci,C2,L Cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不 相交，并且以C1,C2,L Cn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi)，則n？f z dz ?f z dz, 其中C與Ck均取正向； ck 1

9、ck?f z dz 0,其中 由c及c1（k 1,2,L n）所組成的復(fù)合閉路。3 閉路變形原理： 一個(gè)在區(qū)域D 內(nèi)的解析函數(shù)f z 沿閉曲線 C 的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程 中c不經(jīng)過使f z不解析的奇點(diǎn)。4 解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設(shè) f z 在單連域 B 內(nèi)解析， G z為f z在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則z：fZdzGZ2 G .（z1，z2 B）說明：解析函數(shù)f z 沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。5。柯西積分公式：設(shè)f z在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡 單 閉 曲 線 ， c 的 內(nèi) 部完 全屬 于 D ， z0 為 c

10、內(nèi) 任 意一 點(diǎn) ， 則dz z02 ifzo6 .高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)f z的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的 n階導(dǎo)數(shù)為(z zo)n 1dz 2 f nn!(n 1,2L)其中c為f z的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞zo的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全屬于Do7 .重要結(jié)論：12 i, n 0（c是包含a的任意正向簡單閉曲On-rdzc?（z a）0, n 08 .復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若f z在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法c f z dz fz t z t dt2）設(shè)f z在區(qū)域D內(nèi)解析，c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理，2 f z dz 0c是D內(nèi)的一條非閉曲線，ziz對(duì)

11、應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有z2f z dz f z dz F z2F z1cz13）設(shè)f z在區(qū)域D內(nèi)不解析曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)?Qdz(z 20)曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn):?f z dzcn?f z dz (g內(nèi)只有一個(gè)奇 k 1 ck點(diǎn)Zk)n或：?f z dz 2 i Resf(z),Zk(留數(shù)基本定理)若被積函數(shù)不能表示成f ",則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)(Z Zo)算。(八)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1 .調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 22且滿足0, x y(x, y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2 .解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)f Z u iv的實(shí)部

12、u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部 v 為實(shí)部u的共輾調(diào)和函數(shù)。兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(Z) u iv不一定是解析函數(shù)； 但是若u,v如果滿足柯西一黎曼方程，則u iv一定是解析函數(shù)。3 .已知解析函數(shù)f Z的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)f Z u iv的方法。1)偏微分法：若已知實(shí)部u u x,y ,利用C R條件，得,，；x y對(duì)-v -u兩邊積分，得V dy g x(*)y xx再對(duì)(*)式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo) 得dy g x (*) x x x由C R條件，-u,得-u - -udy g x ,可求由 g x ；y x y x x代入（*）式，可求得虛部vdy g xx2 ）線積分法：若已知

13、實(shí)部u u x,y ,利用C R條件可得, v . v , u , u .dv dx dydx dy ,x y y x故虛部為v ydx dy c ；x0,y0yx由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑（如折線）計(jì)算它，其 中xo,yo與x, y是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。3）不定積分法：若已知實(shí)部u u x,y ,根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 和C R條件得知,u. vu . ui i x yx y將此式右端表示成z的函數(shù)U z ,由于f z仍為解析函數(shù)，故f Z u z dz c（ c為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部v也可用類似方法求生實(shí)部 u.（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 .復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列 n an ibn （n

14、 1,2L ）收斂于復(fù)數(shù) a bi的充要條件為 liman a, lim bn b（同時(shí)成立）nn2）復(fù)數(shù)列 n收斂 實(shí)數(shù)列%,4同時(shí)收斂。2 .復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n（ n an 0）收斂的充要條件是級(jí)數(shù)烝與bn同n 0n 0n 0時(shí)收斂；2）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是pm n 0。注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。（十）哥級(jí)數(shù)的斂散性1 .哥級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式 Cn（Z Z0）n或CnZn為哥級(jí)數(shù)。 n 0n 02 .哥級(jí)數(shù)的斂散性1）級(jí)級(jí)數(shù)的收斂定理一 阿貝爾定理（Abel）:如果哥級(jí)數(shù)gzn在zo 0n 0處收斂，那么對(duì)滿足z |z0的一切z,該級(jí)數(shù)絕對(duì)收

15、斂；如果在Z0處發(fā)散，那么對(duì)滿足z匕的一切z,級(jí)數(shù)必發(fā)散。2）哥級(jí)數(shù)的收斂域一圓域事級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法 如果pm c0 ,則收斂半徑R工；根值法”m屈°，則收斂半徑R 1 ；如果 0,則R ；說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果 ，則R 0；說明僅在z z。或z 0點(diǎn)收斂；注：若事級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n ） n 03 .哥級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè) anzn, bnzn的收斂半徑分別為R與R2 ,記 n 0n 0R min R,R2 ,則當(dāng)z

16、 R時(shí)，有(anbn)znn 0n anZn 0bnZnn 0（線性運(yùn)算）(anZn)( bnZn)n 0n 0(anb°n 0an ibi La°bn)zn（乘積運(yùn)算）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)| | r時(shí)，f且 g z r ,an n,當(dāng) IZ R時(shí), 0g z解析則當(dāng)z R時(shí),fgz angn 0zn3）分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)備級(jí)數(shù)anzn的收斂半徑為R 0, n 0其和函數(shù)f zanzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù);n 0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且f znanzn 1n 0在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變;zf z dz0an n 1zn 0 n 1z R（十一）哥函數(shù)的泰

17、勒展開1 .泰勒展開：設(shè)函數(shù)f z在圓域zR內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)f zn可以展開成哥級(jí)數(shù)f zz z0 n ；并且此展開式是唯一的。n 0 n!注：若f z在z0解析，則f z在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑R z° a ;其中R為從z0到f z的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。2 .常用函數(shù)在zo 0的泰勒展開式1)1 nzo n!2 z2!3 z3!n!2)3)sin z1)2n 1 zo(2n 1)!3 z3!5 z5!(1)(2n 1)!4)cosz0"2 z2!4 z4!L2nL(2n)!3.解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1)直接法：直接求由Cn-fn z0，

18、于是n!cn0nz zoo2)間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及哥級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。(十二)事函數(shù)的洛朗展開1 .洛朗級(jí)數(shù)的概念：Cn z z°n,含正事項(xiàng)和負(fù)事項(xiàng)。n2 .洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)f z在圓環(huán)域R1 |z z00內(nèi)處處解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞z°的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有f zCn z z° n ,且展開式唯一。n3 .解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開。*4.利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè) f z在r z耳R內(nèi)解析，c為 r z z R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線， 則？cf z

19、dz 2 ic 1。其中 C1為f(z)在r |z z R內(nèi)洛朗展開式中 的系數(shù)。z Zo說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中(z Z0)1的系(十三)孤立奇點(diǎn)的概念與分類 1。孤立奇點(diǎn)的定義 ：f z在Z0點(diǎn)不解析，但在Z0的0 |z Zo 內(nèi)解 析。2。孤立奇點(diǎn)的類型：1)可去奇點(diǎn)：展開式中不含zzo的負(fù)事項(xiàng)； 2 f Z C0GZZ0 C2 z Zo Lc mC (m 1)/Tm、m 1(Z Zo)(Z Zo)2)極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng)Z Z0的負(fù)事項(xiàng)；g Z7rm,(Z Zo)C 12Co C1(Z Zo) C2(Z Zo)L(Z Zo)其中 gZ C m C (m 1) (

20、Z Zo)L C 1(Z Zo)m1 Co(ZZo)mL 在 Zo 解析,且 g Zoo,m 1,c m o ;3)本性奇點(diǎn)：展開式中含無窮多項(xiàng)Z Zo的負(fù)事項(xiàng)；f Z L-C mm LCoC1(ZZo)LCm(ZZo)mL(Z Zo)(Z Zo)(十四)孤立奇點(diǎn)的判別方法1 .可去奇點(diǎn)：lim f z Co常數(shù)； Z zo2 .極點(diǎn)：lim f z Z Zo3 .本性奇點(diǎn)：lim f z不存在且不為。Z zo4 .零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1)零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)f Z ,如果能表示成f Z (Z Zo)m Z ,其中Z在Zo解析，Zoo,m為正整數(shù)，稱Zo為f Z的m級(jí)零點(diǎn)；2)零點(diǎn)級(jí)數(shù)判

21、別的充要條件Z0是f z的m級(jí)零點(diǎn)f n z00, (n 1,2,L m 1)mfZo03）零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：Zo是f z的m級(jí)零點(diǎn) Zo是 4 的m級(jí)極點(diǎn); f z4）重要結(jié)論若z a分別是 z與 z的m級(jí)與n級(jí)零點(diǎn)，則za是 z g z的m n級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)m n時(shí)，z a是的m n級(jí)零點(diǎn)；z當(dāng)m n時(shí)，z a是一z-的n m級(jí)極點(diǎn)； z當(dāng)m n時(shí)，z a是一二的可去奇點(diǎn)； z當(dāng)mn時(shí)，za是 z z的l級(jí)零點(diǎn)，l min（m,n）當(dāng)m n時(shí)，z a是 z z的l級(jí)零點(diǎn)，其中l(wèi) m（n）（十五）留數(shù)的概念1.留數(shù)的定義：設(shè)zo為f z的孤立奇點(diǎn)，f z在zo的去心鄰域0 z zol內(nèi)解析，c為

22、該域內(nèi)包含zo的任一正向簡單閉曲線， 則稱 積分,？ f z dz為f z在zo的留數(shù)（或殘留），記作2 i "1 .Resf z ,zo12f z dz2 .留數(shù)的計(jì)算方法若Zo是f z的孤立奇點(diǎn)，則Res f z ,zo c 1 ,其中c 1為f z在zo的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中（z Zo） 1的系數(shù)。1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若Zo是f z的可去奇點(diǎn)，則Resf z ,zo o2) m級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法則I若zo是f z的m級(jí)極點(diǎn),則Resf z 41(m 1)!limz Zo dzm 1 ( Zm r zo) f特別地，若zo是f z的一級(jí)極點(diǎn)，則Resf z ,zo J嗎z z&

23、#176;)f z注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比 m低，上述規(guī)則仍然有效。法則 II 設(shè) f z P-z- , P z ,Q z 在 zo 解析，P zo 0, Q zP zP 4Q zo O,Q zo O,貝U Res-,zoQ zQ zo(十六)留數(shù)基本定理設(shè)f z在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2L 2外處處解析，c為D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則J z dz2 i Resf z ,zn n 1說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積 函數(shù)f z在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題積分變換復(fù)習(xí)提綱、傅里葉變換的概念Ff(t) f(t)ejwtdt F(w)1 1j tF F( )F( )ej d f(t)2二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換1Fe(t)- j1Fu(t)()jF (t) 1F1 2 ()三、傅里葉變換的性質(zhì)位移性(時(shí)域)：Ff(t to) ejwt0Ff(t)位移性(頻域)：Fejw0tfF(w)www0 F(w wo)位移性推論：Fsin wotf (t)F(wwo)F(w wo)位移性