線性代數(shù)綜合練習(xí)題

1、線性代數(shù)綜合練習(xí)題時間：120分鐘、選擇題(每小題 3分，共15分)1.設(shè)A是三階矩陣，將A的第一列與第二列交換得B,再把B的第二列加到第歹得C,則?防足AQ=C勺可逆矩陣Q為(0 1 0(A)10 0；(B)。0 1 010 1;0 0 10 10(C) 100；0 11011(D) 10000012 .設(shè)A、B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有()B的行向量組線性相關(guān);B的列向量組線性相關(guān);B的行向量組線性相關(guān);B的列向量組線性相關(guān)。(A) A的列向量組線性相關(guān), (B) A的列向量組線性相關(guān), (C) A的行向量組線性相關(guān), (D) A的行向量組線性相關(guān),3,下列向量集按Rn的加法

2、和數(shù)乘構(gòu)成R上一個線性空間的是()(A) Rn中，坐標(biāo)滿足X1+X2+-+Xn=0的所有向量；(B) Rn中，坐標(biāo)是整數(shù)的所有向量；(C) Rn中，坐標(biāo)滿足X1+X2+ - +Xn=1的所有向量；(D) Rn中，坐標(biāo)滿足X1=1, X2,x n可取任意實數(shù)的所有向量。4 .設(shè)入=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣(A2)-1有一個特征值等于()03(A) 4 ;(B) - ;(C) 1;(D) - o34245 .任一個n階矩陣，都存在對角矩陣與它()。(A)合同；(B)相似；(C)等價；(D)以上都不對。二、填空題(每小題 3分，共15分)2 1 01 .設(shè)矩陣A= 12 0,矩陣B滿足：

3、ABA=2BA+E,其中A為A的伴隨矩陣，E0 0 1是三階單位矩陣，則|B|=。121X112 .已知線性方程組23a2X23無解，則a=。1a2x301 212000為正交矩陣，則a=14 .設(shè)A為n階矩陣，且|A| w0, A為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。若A 有特征值入，則（A） 2+E必有特征值。5 .若二次型f= 2xi2+X22+X32+2 xi X2+t X2 X3是正定的，則t的取值范圍是(1 a)x1X2X3X40設(shè)后齊次線性方程組：2x1(2取2x32x403x13x2(3 a)x33x404x14x24x3(4 a)x40、（15 分）試問a取何值時，該方程組有非零

4、解？并用一基礎(chǔ)解系表示出全部的解四、(10分)設(shè)R3的兩組基為：1(1,0,1)T,2(1,1,0)T,3(0,1,1)T 和 1(1,1,1)T,2(1,1,2)T,3(1,2,1)T,向量 a = (2, 3, 3) T(D求基1,2,3到基1,2 .3的過渡矩陣；(2)求a關(guān)于這兩組基的坐標(biāo)。五、（15分）設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為入1 = -2,入2= 1 （2重），a1=（1, 1, 1） 是屬于入1 = -2的特征向量。試求：（1）屬于入2 = 1 （2重）的特征向量；（2） A的伴隨矩陣Ao六、(10分)設(shè)二次型 f x12 x22 x32 2axix2 2x1x3 2bx2x

5、3X1通過正交變換 x2X3y1P y 化為：f y22 2y32 ,求a、b。y3七、（10分）已知A , B為n階可逆方陣，且滿足 證：A-2E可逆。并求出（A-2E） -1=?2A1B=B-4E,其中E是n階單位矩陣，試八、 （ 10 分）設(shè)A為n階矩陣，且r（A） n 1, A11 A22Ann 1,其中Ai是A中元素a.的代數(shù)余子式（i=1, 2,，n）0試證：A的伴隨矩陣A的特征值是0和1, 并說明各個特征值的重數(shù)。線性代數(shù)綜合練習(xí)參考答案、選擇題:1. (D); 2 (A); 3.(A); 4.(B); 5. C);1.1；2. -1 ; 3.92|AJ1 ； 5.-<,2

6、 t <21、解：A=a 112 2a 2333 a1 a 1 112a a 0 03a 0 a 04a 0 0 a(1)當(dāng)a=0時，r(A)=1<4 ,故齊次線性方程組有非零解，其同解方程組為:X1+X2+X3+ X 4=0由此得一基礎(chǔ)解系為：y1(1,1,0,0)Ty2(1,Q1,0)T,故全部解為：XC1ylC2y2C3y3y3(1,0,0,1)T(其中C1C2C3為任意常數(shù))(7分)(2)當(dāng) aw0 時，B1 a 1 1 12 10 03 0 104 0 0 1a 10000210030104001當(dāng)a=-10時，r (A) =3<4,故齊次線性方程組也有非零解，其同

7、解方程組為:2x1x203x1x30 ,解之，可得一個基礎(chǔ)解系為:4x1x40y二 (1, 2, 3, 4) T,故全部解為：X=ky (其中k為任意常數(shù))(15分) 備注：此題也可另解v |A|= (a+10) a3當(dāng)|A|=0時，即a=0或a=-10時，齊次線性方程組有無窮解。110111四、解：(1)記 B= ( 1,2,3)=011, C=( 1, 2 , 3) =1121011211則有：01從而，由基3到基3的過渡矩陣為:1 2(5分)A=B1 C= 1 2 1 2（2）設(shè)a關(guān)于基3的坐標(biāo)為（y1，y2 , y3)即:y1y2 2y3 3由此可得:y1y1y1y2y22 y2y32

8、 y3y3y10, y21, y31,故a關(guān)于基3的坐標(biāo)為(0, 1, 1),又二即a關(guān)于基X1X2X3y1y2y31212123的坐標(biāo)為（1,1,2)(10 分)X2, X3)T,五、解：（1）設(shè)A的屬于特征值入2=1 （2重）的特征向量為（X1,則:A是實對稱矩陣,1X1, X2, X3)T與 a1 正交，即有：(X1, X2, X3)1 =0,1也即：X1+X2+X3=0,解之：a 2= (-1 , 1, 0) Ta 3= (-1 , 0, 1). A的屬于入2=1的全部特征向量為：ki a 2+ k 2 a 3（ki, k2不同時為0）(5分)(2)v A*=|A|A-1；A的特征值為

9、：冏（-）, |A| 1 （2重）2又|A|=-210分).A的特征值為:1,-2 （2重）a 2, a 3) = ( a i, a 2, a 3)10*A=(a1, a 2, a3)02111101121113331121-3333112333(15 分)六、解：f的正交變換前后的矩陣分別為：1a1000Aa1b和B0101b1002于是，A、B相似，從而有相同的特征多項式即：|入E-A|二|人E-B| 分）也即：入3-3入2+各幕次項系數(shù)有：(a b)22 a2b2（2-a2-b2）入+ （a-b） 2=入3-3入2+2入，比較上式等號兩邊的人(10 分)七、證明：= 2A1B=B-4E左乘 A,得：2B=AB-4A （5 分）即：AB-2B-4A=0（A-2E） （B-4E） =8E故A-2E可逆，且（A-2E） -1 = 1 （B-4E） （ 10 分）8八、證明：= r （A） =n-1. .r （A*） =1