二項式定理中展開式系數(shù)的六種常見類型

1、二項式定理中展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考常考題型之一，本文以高考題為例，對二項式定理試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a(a+ +b)b)n(n(nw wN)N)型例 1.1.(x-應(yīng)y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是()(A)840(B)840(C)210(D)-210解析：在通項公式1書=C1r0(-J2y)rx10中令r=4,即得(x-J2y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)為&(-72)4=840，故選 Ao例2.(x4)8展開式中x5的系數(shù)為x8上r3r=(FGx2，由題意得8-2r=5,則r=2,故所求x5的系數(shù)為(-1)2C；=2

2、8評注：常用二項展開式的通項公式求二項展開式中某特定項的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a+b)n土(c+d)m(n,m亡N*)型2,1例3.(x3-工)4+(x+1)8的展開式中整理后的常數(shù)項等于.xx解析；(x3-2)4的通項公式為書=C4-2)r64)匚 C4-(2r)x24冷xx12-4r=0,則 r=3，這時得(x3-)4的展開式中的常數(shù)項為-C；23=32,x(x+1)8的通項公式為 T“=Ck(l)kx8,=C：x8T令 8-2k=0,則 k=4,這時得xx(x+1)8的展開式中的常數(shù)項為C；=70,故(x3-2)4+(x+1)8的展開式中常數(shù)項xxx等于-32+70=38。

3、例4.在(1-x)5-(1-x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是(解析：(1x)5中X3的系數(shù)-C；=-10,-(1-x)6中X3的系數(shù)為-C6(1)3=20，故(1x)5(1x)6的展開式中x3的系數(shù)為 1010,故選 D。評注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,mwN)的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個解析：通項公式Tr書=C；x8(-(A) -5(B) 5(C)-10-10(D)10二項式，由多項式加減法求得所求項的系數(shù)。三、(a(a+ +b)b)n(c(c+ +d)d)m(n,m(n,mN*)N*)型例5.(x2+1)(x-2)7的展開式中x3項的系數(shù)是。解析：(x-2)7的展開

4、式中x、x3的系數(shù)分別為C；(-2)6和C3(-2)4,故(x2+1)(x-2)7的展開式中x3項的系數(shù)為C7(-2)6+C3(-2)4=1008。例 6.(x-1)(x+18 的展開式中 x5的系數(shù)是()(A)-14(B)14(C)-28(D)28略解：(x+1)8的展開式中x4、x5的系數(shù)分別為C；和C85,故(x-1)(x+18展開式中x5的系數(shù)為C84-C；=14，故選Bo評注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,mwN沖)的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù)。四、(a+b+c)n(n亡N)型例7.(x+l+j5)5的展開式中整理后的常數(shù)項為.2x

5、解法一：(安+工+石)5=?+耀+后，通項公式Tz=C；22()+1),2x_2x2x,x1、5_kr_r5_k_r_(5_kj：)r5_2r_kkr_5人(一十一)的通項公式為書=C5上xx2=C5x2,令2x5-2r-k=0,貝 Uk+2r=5,可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=5,r=0。152當k=1,r=2時，得展開式中項為C5C：222=;2當k=3,r=1時,，得展開式中項為 C；C；262=20 石；當k=5,r=0時，得展開式中項為4 點=4 在綜上，(？+1+&)5的展開式中整理后的常數(shù)項為里1+20拉+4夜=3匹。2x2221,2)5=產(chǎn)22X2)5=(X,

6、1)25=2x2x(2x)5(2x)5解法對于二項式(x+jE)10中，中MGOX10行),要得到常數(shù)項需 10-r=5,即 r=5。所以，常數(shù)項為Cl0(；2)=臾二。252解法三：(學+1+J1)5是 5 個三項式(-+-+J2)相乘。常數(shù)項的產(chǎn)生有三2x2x種情況：在 5 個相乘的三項式(4十1十兩中，從其中一個取x,從另外 4 個三2x21項式中選一個取 1,從剩余的 3 個三項式中取常數(shù)項相乘，可得xC51C4c3(J2)3=20 應(yīng)；從其中兩個取-,從另外 3 個三項式中選兩個取-,52432x從剩余的 1 個三項式中取常數(shù)項相乘， 可得 C；(1)2C3242=耀42； 從 5

7、個相乘的三項式(-+-+揚中取常數(shù)項相乘，可得 C；W2)5=4 加。2x綜上，(x+1+V2)5的展開式中整理后的常數(shù)項為2x20、2*4、2=9。22評注：解法一、解法二的共同特點是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項式轉(zhuǎn)化為二項式來解決。解法三是利用二項式定理的推導方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五、(a+b)m+(a+b)m*+|+(a+b)n(m,nwN*,1wmn)型例 8.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)6的展開式中，x2項的系數(shù)是(用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項的系數(shù)為C1+C；+Cj+C；+C2=35例9.在(1x)5+(1x)

8、6+(1x)7+(1x)8的展開式中，含 x3的項的系數(shù)是()(A)74解析：(1-x)5+(1x)6+(1x)7+(18_(1-X)51-(1-X)4(1-X)5-(1-X)9x)-nirx二x(1-X)5中x4的系數(shù)為C54=5,(1x)9中x4的系數(shù)為C；=-126,126+5=121，故選 Do評注：例 8 的解法是先求出各展開式中x2項的系數(shù)，然后再相加；例 9 則從整體出發(fā)， 把原式看作首相為(1x)5,公比為(1x)的等比數(shù)列的前 4 項和， 用等比數(shù)列求和公式減少項數(shù)，簡化了運算。例 8 和例 9 的解答方法是求(a+b)m+(a+b)m*+川+(a+b)n(m,nEN*,1m

9、n)的展開式中某特定項系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六、求展開式中若干項系數(shù)的和或差例 10.10.若(12x)2004=a。+a1x+a2X2+a2004X2004(xwR),則(a。,a1)(aoa2)(aoa3)(ao-a2004)=O(用數(shù)字作答)解析：在(1一2x)2004=a。+a1x+a2X2+.+a2004X24中，令x=0,貝Ua。=1,令x=1,則a。+a+a2+a3+22004=(1)2004=1故(a。.aj.(aa2).(a0a3).(a-a204)=2003a0+a0+a1+a2+a3+.一+a2004=2004。例 1111 (2x+憫4=a0+a1x+a2x2+ax3+aK4,貝U(a0+a2+a4)2一(a1十a(chǎn)3)2的值為()(A)1(B)-1(C)0(D)2解析:在(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+%x3+a4x4中，令x=1,可得a0+a+a2+a3+a4=(2+T3)4,令x=T,可得a0一a1+a2-a3+a4=(2-V3)44/5(B)121(C)-74(D)-121所以，(a0-a2-a4)2_(a1a3)2=(a0a2-a4-a1-a3)(a0a2-a4a1a3)=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0a1+a2-a3+a4)=(2+V3)4(2-J3)4=1，故選 Ao