題型專題--幾何最值之定點到定圓模型

1、J專題e佝星佳之定點到定勤橫型最值問題的必要條件是至少有一個動點，因為是動態(tài)問題，所以 才會有最值.當動點的運動軌跡是一個圓時，題目很少直接告訴我們動點軌跡 是個圓，也很少把這個圓畫出來，因此，結合題目給的條件，分析出 動點的軌跡圖形，找到這個（輔助）圓就是最大的問題.基本模型幾何最值f定點到定圓n連心線點P在圓0上，AP何時最小？（何時有最大值？）10例題：如圖，已知圓C的半徑為3,圓外一定點0滿足005,點P 為圓C上一動點，經過點0的直線1上有兩點A、B,且0A=OB, Z APB=90° , 1不經過點C,則AB的最小值為.【分析】連接0P,根據4APB為直角三角形且0是斜邊

2、AB中點，可 得0P是AB的一半，若AB最小，則0P最小即可.連接0C,與圓C交點即為所求點P,此時0P最小，AB也取到最小值.（1）定點定線（定心定半徑）淀網在 RSABC 中，ZC=9O° , AC=6 , BC=8，點 F 在 AC 上，且CF=2，點E為BC上一動點，將KEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是解析：動中取靜，以靜制動。P隨E動（E主動，P從動）,FP二FC為定值，所以從動點P的軌跡：以F點為圓心，以CF長為半徑的圓, 結合垂線段最短可解（如圖示X答案：6/5 訓練: 1、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，NA=60° , M

3、是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點，將AAMN沿MN所在直線翻折得到4A' MN,連 接A' C,則A' C長度的最小值是.【分析】考慮AMN沿MN所在直線翻折得到AA' MN,可得 所以A'軌跡是以M點為圓心，MA為半徑的圓弧.連接CM,與圓的交點即為所求的A',此時A' C的值最小.構造直角&!1（；,勾股定理求CM,再減去A' M即可.2、如圖，在 RtAABC 中，NC=90°,AO6, BC=8,點 F 在邊 AC 上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,將ACEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點

4、P到邊AB距離的最小值是【分析】考慮到將4FCE沿EF翻折得到AFPE,可得P點軌跡是以F 點為圓心，FC為半徑的圓弧.過F點作FHLAB,與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離 最小.由相似先求FH,再減去FP,即可得到PH.H3、如圖，已知等邊ABC的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點（與 點A、B不重合）.直線1是經過點P的一條直線，把AABC沿直線1 折疊，點B的對應點是點B'.當PB=6時，在直線1變化過程中，求 ACB'面積的最大值.【分析】考慮1是經過點P的直線，且AABC沿直線1折疊，所以B'軌跡是以點P為心,PB為半徑的圓弧.考慮aACB'

5、;面積最大，因為AC是定值，只需B'到AC距離最 大即可.過P作作PHLAC交AC于H點，與圓的交點即為所求B'點, 先求HB',再求面積.（2）定線定角一定圓即：定線段和動點組成的三角形中，如果以動點為頂點的角度為 定值，那么這個動點的軌跡是一個圓（或一段圓?。Ｔ凇岸ň€對直角”問題中，依據“直徑所對的圓周角是直角”, 關鍵性在于尋找定邊、直角，而根據圓周角定理：同圓或等圓中，同 弧或等弧所對的圓周角都相.定線必不可少，而定角還可為一些特殊角.例如，AB為定值，NP為定角，則A點軌跡是一個圓.當然，NP度數也是特殊角,比如 30° 、 45° 、

6、60° 、 120° 、135° ,分別作對應的軌跡圓.如下面圖示:例題：如圖，點P是正方形ABCD對角線BD上一動點（不與B、D重合）, 連AP,過點B做BH_LAP于H,連DH,若AB=4,求DH的最小值。解析：點P主動，點H從動，NAHB=90° （定值），所以從動點H 的軌跡為：以AB為直徑的圓，再結合兩點之間線段最短，可解。答 案：2>/5-2 訓練：1、如圖，等邊4ABC邊長為2, E、F分別是BC、CA上兩個動點，且 BE二CF,連接AE、BF,交點為P點，則CP的最小值為.【分析】由BE二CF可推得4ABE名BCF,所以NAPF=6

7、0° ,但NAPF 所對的邊AF是變化的.所以考慮NAPB=120° ,其對邊AB是定值.所以如圖所示，P點軌跡是以點0為圓心的圓弧.（構造OA=OB 且NA0B= 1200 )當0、P、C共線時，可得CP的最小值，利用RtaOBC勾股定理求得0C,再減去0P即可.2、【2017山東威?！咳鐖D，ZXABC為等邊三角形，AB=2,若P為4ABC 內一動點，且滿足NPAB二NACP,則線段PB長度的最小值為3、（2019 南京中考）在ABC 中，AB二4, NC=60° , NANB,則 BC 的長的取值范圍是.【分析】先作圖，如下很明顯，AB是定值，ZC=60

8、76; ,即定邊對定角.故點C的軌跡 是以點0為圓心的圓弧.（作A0=B0且NA0B=120° ）題意要求NA>NB, KP BO AC,故點C的軌跡如下圖.6'當BC為直徑時，BC取到最大值，考慮NA為aABC中最大角，故BC為最長邊，BCAB=4.無最小值.4、已知正方形ABCD邊長為2, E、F分別是BC、CD上的動點，且滿 足BE二CF,連接AE、BF,交點為P點，則PD的最小值為.【分析】由于E、F是動點，故P點也是動點，因而存在PD最小值這 樣的問題，那P點軌跡如何確定？考慮BE二CF,易證AELBF,即在運 動過程中，ZAPB=90° ,故P點軌

9、跡是以AB為直徑的圓.連接0C, 與圓的交點即為P點，再通過勾股定理即可求出PC長度.5、（2016 安徽中考）如圖，RtZkABC 中，AB±BC, AB=6, BC=4, P 是ABC內部的一個動點，且滿足NPAB二NPBC,則線段CP長的最小值0P即可.【分析】ZAPB=90° （定角）AB （定線），.P點軌跡是以AB為直徑的圓弧.當0、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求0C,再減去6、如圖，AB是半圓0的直徑，點C在半圓0上，AB=5, AC=4. D是 弧BC上的一個動點，連接AD,過點C作CELAD于E,連接BE.在 點D移動的過程中，BE的最小值為.

10、【分析】E是動點，E點由點C向AD作垂線得來，NAEC=90° ,且 AC是一條定線段，所以E點軌跡是以AC為直徑的圓弧.當B、E、M共線時，BE取到最小值.連接BC,勾股定理求BM,再減 去EM即可.7、如圖，在 RtZABC 中，ZACB=90° , BC=4, AC=10,點 D 是 AC 上 的一個動點，以CD為直徑作圓0,連接BD交圓。于點E,則AE的最 小值為.【分析】連接CE,由于CD為直徑，故/CED=900 ,考慮到CD是動 線段，故可以將此題看成定線段CB對直角NCEB.取CB中點M,所以E點軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓弧.連接AM,與圓弧交點即為所

11、求E點，此時AE值最小,AE = AM-EM = J1Q2+22 - 2 = 2>/26-2 , 8、如圖，正方形ABCD的邊長為4,動點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B 時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG,垂足為點G,連接AG, 則AG長的最小值為.【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE二CF, BGLEF,但N BGE所對的BE邊是不確定的.重點放在AE二CF,可得EF必過正方形中心。點，連接BD,與EF交點 即為0點.ZBGO為直角且B0邊為定直線，故G點軌跡是以B0為直徑的圓.記B0中點為M點,當A、G、M共線時,AG取到最小值,利用RtZkAOM勾股定理先求AM,再減去GM即可.J 4題山佝星保之香俵世星觸幾何最值