一元二次不等式恒成立問題

1、一元二次不等式恒成立問題、熱點(diǎn)命題一一，卜吾通考點(diǎn)1 形如f(x)>0(x e R)例1、若關(guān)于x的不等式ax2 + x K0的解集為R ,則常數(shù)a的取值范圍是解析由題意得A= 1 + 4a w 0,解得a<-14.5例2、不等式x2-2x+5>a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為()A. -1, 4B. ( 8 , -2U 5, +00)C. ( 8 , - 1U 4, +8) D. -2, 5解析思路點(diǎn)撥由一元二次不等式大于。恒成立，得相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像開口向上，且與x軸沒有交點(diǎn)；方法一：原不等式可化為x2-2x-a2+3a+5>0,要使不等式對(duì)任

2、意實(shí)數(shù)x恒成立，則 A=(_2)2-4(-a2+3a+5)<0,即 a2-3a-4<0,解得一1WaW4,故選 A.方法二：x22x+5=(x 1)2+4的最小值為 4,要使x2-2x+5>a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù) x恒成 立，只需a2- 3a<4,解得1 w aw 4,故選A.考點(diǎn) 2 形如 f(x) > 0(x C a , b)例3、設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)xC1, 1,不等式x2+ax 3av0恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是(一 一一 1_1A. a> 0B. a>2C.a>4D. a>0或av 12解析思路點(diǎn)撥由二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為

3、其相應(yīng)的二次函數(shù)在給定區(qū)間 上恒小于0。設(shè) f(x) = x2+ ax 3a.因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)xC1, 1,不等式x2+ax3av0恒成立，f ( 1) <0f (1) <0, 解得a>2,即實(shí)數(shù)(1)2 - a 3a<0,12+ a 3a<0,a的取值范圍是考點(diǎn)3a>2,故選B.形如 f(x) > 0(參數(shù) m C a, b)例4、已知aC - 1, 1,不等式x2+(a4)x+4 2a>0恒成立，求x的取值范圍.思路點(diǎn)撥可把x當(dāng)作a的系數(shù)，把原不等式化為關(guān)于a的不等式，則原問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在區(qū)間1, 1恒成立問題.解：把原不等式化為(x-2)

4、a+x2-4x + 4>0,設(shè)f(a) = (x-2)a+x2-4x+4,則f(a)可看成為關(guān)于a的函數(shù). 由f(a)>0對(duì)于任意的aC 1, 1恒成立，得f (1) >0,f (1) >0,x2-5x+6>0, x2-3x + 2>0,解得x<1或x>3,即x的取值范圍是(一巴 1)U (3, +00 ).考點(diǎn)4一元二次不等式與二次函數(shù)、二次方程的交匯問題例5、若關(guān)于x的不等式ax2+3x+ c>0的解集為1, 2,則a =, c=解析：由題意得方程ax2+3x+ c= 0的兩根為Xi=i, x2= 2,由根與系數(shù)的關(guān)系可得1+2= 3,

5、 1X2= c,解得a=- 1, c=2.aa例 6、設(shè) a>1,若 x>0 時(shí)，(a 1)x 1(x2ax1)>0 恒成立，則 a=.思路 本題若直接求解，需分類討論，過程較復(fù)雜.可考慮根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)的麗f(x)、方程f(x) = 0和不等式f(x)>0的關(guān)系，再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像在區(qū)間(0, +8)上的關(guān)系.解析 設(shè)函數(shù)yi = (a1)x1, y2= x 2 ax 1,則這兩個(gè)函數(shù)圖像都過定點(diǎn)P(0, 1),問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0, + 00)上的符號(hào)相同.在函數(shù) y1 = (a 1)x 1 中，令 y1 = 0,得 x = >

6、0 , a 1即函數(shù)y1的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M廠、，0 , a 11a 1而函數(shù)y2= x2- ax- 1的圖像過點(diǎn) M,則 1 = 0,解得 a= 0 a=7.a-12一一 .3又a>1,所以a= 2.三、遷移應(yīng)用一一練透1,已知關(guān)于x的不等式x2ax+2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 解析(1) ; x2ax+2a>0 在 R 上恒成立，A= a24X2a<0,解得 0<a<8.2 .函數(shù)f(x) = ln(3x2+ax+1)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析依題意，知3x2 + ax+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以 A= a

7、24X3X1<0, 解得2g3<a<243.3 .設(shè)a為常數(shù)，？xCR, f(x)=ax2+ax+ 1>0,則a的取值范圍是()A. (0, 4) B. 0, 4)C, (0, +oo) d. ( 8, 4)解析先分類討論二次項(xiàng)系數(shù)，再由 f(x)>0恒成立，得出相應(yīng)的判別式應(yīng)小于0.當(dāng)a=0時(shí)，f(x) = 1>0?xCR成立；當(dāng)aw0時(shí)，要使？xCR, f(x)>0恒成立， a>0,則 2解得0<a<4.A= a 4a<0,綜上，a的取值范圍是0, 4),故選B.4,已知二次函數(shù) f(x) =ax2-(a+2)x+ 1(a

8、Z),且函數(shù) f(x)在(一2, 1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則 不等式f(x)>1的解集為()A. ( 8, 1)U(0, +8) B. ( 8, 0) U (1 , +8 )C. (-1, 0)D. (0, 1)解析(1) . f(x) =ax2-(a+2)x+ 1, A= (a + 2)2-4a= a2+4>0,，函數(shù)f(x) =ax2(a+2)x + 1必有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又 f(x)在(一2, 1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，f(-2)f(-1)<0,一35即(6a + 5)(2a + 3)<0,3<a< 5.又 aCZ, a=1, ,.不等式 f(x)>1 即

9、為一x2x>0,解得1<x<0,故選C.5.若不等式x2 + ax2>0在區(qū)間1, 5上有解，則a的取值范圍是()A. 23，+8B. -23, 15523C. (1 , +8)d. 一00,5f(5)>0,解得 a>-23, 5解析由A= a2+8>0,知不等式相應(yīng)的方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù), 所以方程必有一正根、一負(fù)根.于是不等式在區(qū)間1, 5上有解的充要條件是故a的取值范圍為 23, +°0 ,故選A.56.若關(guān)于x的方程x2+(m 1)x+m22=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于 1, 一個(gè)大于1,則實(shí)數(shù)m的 取值范圍是()A. (

10、-V2,函 B. (-2, 0) C. (-2, 1) D. (0, 1)解析設(shè) f(x) = x2 + (m 1)x+ m2 2，由關(guān)于x的方程x2+(m1)x+ m22=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1, 一個(gè)大于1,得f(1)v0,即 12+(m1) +m22v 0,化簡(jiǎn)得 m2+m-2< 0,解得一2vmv1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一2, 1).7.已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(a, bCR)的值域?yàn)?,十 ),若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為 (m, m+6),則實(shí)數(shù)c的值為()A. 0 B. 3C. 6D . 92 , . a 2 , . a2解析由題意知 f(x)=x

11、2+ax+ b= x+ 2+b -.f(x)的值域?yàn)?,+ 0° ),b-a-= 0,即 b = a-,4'4 ', f(x)= x+a ,1. f(x)<c,即a x+ 2 <c,解得一aMcvxvIVc，得 2*/c=6,c= 9.-2+ Vc= m+6,8 .若不等式x2+2x+2>|a- 2|對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 解析.x2 + 2x+2=(x+1)2+1>1,由不等式x2+2x+2>|a 2|對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立，得|a21V 1,解得 1 vav3,，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1, 3).9 .已知 f(x

12、) =x2-2ax+2(a R),當(dāng) xC -1, +0o )時(shí)，f(x)>a恒成立，求 a 的取值范圍.解：方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=a.當(dāng)a (-00 , 1)時(shí)，f(x)在-1, +8)上單調(diào)遞增，且 f(1) = 2a+3,所以要使 f(x)>a, xC -1, +°o)恒成立，只需2a+3>a即可，故一3<a<- 1.當(dāng) aC1, +00)時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2,所以只需2 a2na即可，故1<a<1.綜上所述，所求a的取值范圍是3, 1.方法二：令 g(x)=x22a

13、x+ 2- a,由已知，得x2-2ax+2-a>0在1, + 8)上恒成立， >0,即= 4a24(2 a)w 0或 a<1,g ( 1) > 0,解得3Wawi.故所求a的取值范圍是 3, 1.例題：設(shè)函數(shù)f(x)=mxm* 1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x, f(x)<0包成立，求m的取值范圍；(2)對(duì)于xC1,3 , f (x)< -m+ 5恒成立，求m的取值范圍.(3)對(duì)于任意mC 1,3 , f(x)< m5恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解： (1)要使m>2- mx-1<0包成立，若m= 0,顯然1<0,滿足題意；若 m0,貝 ° 2gp- 4<m<0. -4<nmc0.A =m +4n<0,(2)方法一 要使f(x)<-m 5在x C 1,3上恒成立，1 ° 3一一一就要使mx 2 +4mi- 6<0在xC1,3