2019北京中考數學專題訓練-2.二次函數綜合題(10道)

1、二次函數綜合題類型一 拋物線與直線的圖象性質問題1.如圖，拋物線y=x2+2x-3的圖象與x軸交于點A、B (A在B左側)，與y 軸交于點C,點D為拋物線的頂點.(1)求4ABC的面積；(2) P是對稱軸左側拋物線上一動點，以 AP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點M正好落在對稱軸上，畫出圖形并求出 P點坐標；(3)若拋物線上只有三個點到直線 CD的距離為m,求m的值.解：(1)針對于拋物線y=x2+2x-3,令 x=0,則 y=-3, .C (0, -3),令 y=0,則 x2+2x-3=0,x=-3 或 x=1, A (-3, 0), B (1, 0),1 .Sk abc= _ AB yc|

2、=6；(2)如解圖，設對稱軸與x軸相交于點Q.第1題解圖當點P在第三象限時，:拋物線y=x2+2x-3的對稱軸為直線x=-1,AQ=2.過點P作PGXDM于點G, ./ PGM = /MQA=90 , / MPG + /PMG=90 , . / AMP=90 , / PMG + /AMQ=90 , ./ MPG = /AMQ,. PGM 二，MQA 在 APGM 和 AMQA 中，:/MPG =/AMQ ,MP = MA/.APGMAMQA (AAS), .MG=AQ=2, PG=QM,設 M (-1, m) (m< 0),QM=-m, .PG=-m, QG=QM+MG=2-m,P (m

3、-1, m-2), 點P在拋物線y=x2+2x-3上，(m-1) 2+2 (m-1) -3=m-2,m=-1 或 m=2 (舍)， P (-2, -3).當點P在第二象限時，同的方法得，P (-4, 5);(3) ;拋物線 y=x2+2x-3= (x+1) 2-4,D (-1,-4),VC (0, -3),直線CD的解析式為y=x-3,如解圖，作直線 EG/CD交y軸于點E,交x軸于點G,第1題解圖設直線EG的解析式為y=x+b,m, 拋物線上只有三個點到直線 CD的距離為m,在直線CD下方的拋物線上只有一個點到直線 CD的距離為即直線EG與拋物線y=x2+2x-3只有一個交點，聯立得，x2+

4、2x-3=x+ b,x2+x-3-b=0,£1+4 (b+3) =0,/. b=-,4 直線EG的解析式為y=x-13, 4 E(0,：), 4/.QE=-, 4 直線CD的解析式為y=x-3, .H (3,0), .QH=3, QC=3,CH = 3 .2?CE=13-3=1 , 44過點E作EFXCDT F, ./ CFE=/CQH, . / ECF=/HCQ, .CFEszCQH,.EF CE , QH CH1.空一 4 .33,2,即：m=_282.已知二次函數 y =ax2 - 2ax , a -1(a 0)(1)求證：拋物線與x軸有兩個交點;(2)求該拋物線的頂點坐標;(

5、3)結合圖象回答：當x>1時，其對應的函數值y的最小值范圍是2y<6,求a的取值范圍.111n MII .-4-3-27(0 2 3 4 %一 L第2題圖(1)證明：: 2= (2a) 2-4a (a-1) =4a, a>0, .4a>0,> 0,.拋物線與x軸有兩個交點;一-2(2)2a =1 4a(a-1)-(2a)2a ， 4a拋物線的頂點坐標為(-1,-1)；(3)二次函數 y=ax2+2ax+a-1 經過(1, 2)時，2=3a+a-1,解得 a = '，4二次函數 y=ax2+2ax+a-1 經過(1, 6)時，6=3a+a-1,解得 a=-,

6、4.觀察圖象可知，函數值y的最小值范圍是2可W6 a的取值范圍為WwawZ.4423.已知二次函數 y = ax -2ax-2(a o 0).(1)該二次函數圖象的對稱軸是直線;(2)若該二次函數的圖象開口向上，當 -10：0 5時，函數圖象的最高點為M,最低點為N,點M的縱坐標為11,求點M和點N的坐標；2(3)對于該二次函數圖象上的兩點 A (xi, yi), B(X2, y2),設t <xi <t+1, 當X243時，士有yi >y2,請結合圖象，直接寫出t的取值范圍.解：(1) x=1 ;(2) :該二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線 x=1, -1<5,當x

7、=5時，y的值最大，即M (5, U).2把 M (5, H)代入 y=ax22ax 2,解得 a=1. 22該二次函數的表達式為y= 1 x2 - x - 2.2當 x=1 時，y= _5, 2 N (1, _5)；2(3) 10W2.類型二拋物線與直線(線段)的公共點問題4.如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=gx-3交于A, B兩點，其中點B在y 軸上，點A坐標為(-4, -5),點P為y軸左側的拋物線上一動點，過點 P 作PC，x軸于點C,交AB于點D.(1)求拋物線的解析式；(2)以O, B, P, D為頂點的平行四邊形是否存在？如存在，求點 P的坐 標；若不存在，說明理由；(3

8、)當點P運動到直線AB下方某一處時，zPAB的面積是否有最大值？ 如果有，請求出此時點P的坐標.解：(1) .直線y=1x-3交y軸于點B,B (0,-3),第4題圖.拋物線 y=x2+bx+c經過點 A (-4, -5),點 B (0,-3).c - -3, i,16 -4b c = -5解得：b= 9 , c=- 3 2拋物線解析式y(tǒng)=x2+9x-3;2(2)存在，設 P (m, m2+9m-3), (m<0), . D (m, -m-3), 2PD=|m2+4m|,. PD/ BO, 當PD=OB=3時，故存在以O, B, P, D為頂點的四邊形是平行四邊形, . |m2+4m|=

9、3,當m2+4m=3時， rnii=-2- 77 , m?=-2+ V7 (舍),當 m=- 2- 71 時，貝！J m2+ m-3=-1 -,22 - P (- 2 -后,-1-); 2當m2+4m=-3時， mi=-1, m2=- 3,當 m1=-1 時，則 m2+ 9 m- 3=-13 , 22 .p(-1,-123),當 m2=-3,. m2+- m- 3=-15 , 22，-1-4)，(-1, -13),(-3, -15D (x, 1x-3),2 P (-3, -15), 2綜上所述，點P的坐標為(-2-"(3)設點 P (x, x2+2x-3),則點 PD=1x-3- (

10、x2+9x-3) =-x2-4x, 22APB=1xPD>4=-2x2-8x=-2 （x+2） 2+8 2當x=-2時，zPAB的面積的最大值為8.點 P 坐標（-2, -8）.5.在平面直角坐標系xOy中，將拋物線Gi: y = mx2 +273（m豐0）向右平移V3個單位長度后得到拋物線G2,點A是拋物線G2的頂點.（1）直接寫出點A的坐標；（2）過點（0, 73）且平行于x軸的直線l與拋物線G2交于B,C兩點.當/ BAC=90°時，求拋物線G2的表達式；若60 </BAC<120°,直接寫出m的取值范圍.解：（1） :將拋物線 Gi： y=mx2+

11、2V3 （m#Q向右平移 百個單位長度后得到拋物線G2,拋物線 G2： y=m （x-陰）2+2百（m?Q,點A的坐標為（有，273）.（2）設拋物線又t稱軸與直線l交于點D,如解圖所示.力百x=V3第5題解圖二點A是拋物線頂點，AB=AC./ BAC=90 , .ABC為等腰直角三角形， .CD=AD= .3 ,.點c的坐標為（26, 73）. 點C在拋物線G2上, . 3=m （2花-石）2+2向,解得：m= 如解圖所示.第5題解圖同理：當/ BAC=600時，點C的坐標為(V3+1J3),當/BAC=120°時，點C的坐標為(戰(zhàn)+3, 后,.60 </ BAC<12

12、0 ,.點(點+ 1, 33)在拋物線G2下方，點(73+3, M)在拋物線G2上方,m(3 1-.3)2 2.3 .3 .m(，3 3-.3)2 2.3 二.3解得：-3 ：二 m :二-.96.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y = ax2+bx-3(a#0)經過點A(-1,0)和 點B(4,5).(1)求該拋物線的表達式;(2)求直線AB關于x軸的對稱直線的表達式;(3)點P是x軸上的動點，過點P作垂直于x軸的直線1,直線l與該拋 物線交于點M,與直線AB交于點N.當PM<PN時，求點P的橫坐標xp 的取值范圍.6 5 4 3 2 (第6題圖解：(1)將A (-1, 0), B (

13、4, 5)代入函數解析式，得P；b：35解得a二 拋物線的解析式為y=x2-2x-3;(2)設直線AB的解析式為y=kx+b,將A (-1, 0), B (4, 5)代入函數解析式，得4k b；0解得1k =1,b = 1直線AB的解析式為y=x+1, 直線AB關于x軸的對稱直線的表達式y(tǒng)=- (x+1),化簡，得y=-x-1;(3)設 M (n, n2-2n-3), N (n, n+1),PM<PN,即 |n2-2n-3|<|n+1|當 n<-1 時,n2-2n-3<- (n+1),化簡，得 n2-n-2<0,由y=n2-n-2與x軸的交點，得n2-n-2<

14、;0的解是-1<n<2 (不符合題意，舍)，當-1 訴<3 時，-(n2-2n-3) < n+1,化簡，得 n2-n-2>0,由y=n2-n-2與x軸的交點，得n2-n-2>0 的解是 n<-1 或 n>2, .2< n<3;當 nA3時，n2-2n-3<n+1,化簡,得 n2-3n-4<0, 由y=n2-3n-4與x軸的交點，得 n2-3n-4<0 的解是-1 < n<4, 3 年i<4,綜上所述：2<n<4,當PM<PN時，求點P的橫坐標xP的取值范圍是2cxp<4.7

15、.如圖，拋物線y =1x2+mx+n交x軸于A、B兩點，直線經過點A,與這條拋物線的對稱軸交于點 M (1, 2),且點M與拋物線的頂點N關于x軸對稱.(1)求這條拋物線的函數關系式;(2)(3)設題中的拋物線與直線的另一交點為C,已知P (x, V)為直線AC根據圖象，寫出函數值y為負數時，自變量x的取值范圍;上一點，過點P作PQx軸，交拋物線于點Q.當-1<xW3時，求線段PQ2的最大值.C第7題圖解：(1)由題意知，拋物線頂點N的坐標為(1,-2),故其函數關系式為y=-(x-1)2 -2=-x2 -x-; 222 由 2x2-x-3=0,解得 x=-1 或 3,即 A (-1,

16、0)、B (3, 0);根據圖象得：函數值y為負數時，自變量x的取值范圍為-1<x<3;(3)由(2)得：A (-1, 0)、B (3, 0);-k b = 0k b = 2設經過點A,M的直線為y=kx+b, 將A (-1, 0)、M (1, 2)的坐標分別代入 y=kx+b中得:解得：k；1直線AC的函數關系式為y=x+1,.P坐標為(x, x+1), Q的坐標為(x,.PQ= (x+1)-(1x2-x-3)=-1二2222-x-'),212 9-(x-2)2-,22a=-1 < 0, -1 x, 22當x=3時，PQ有最大值為35, 即點P (3, 5)時，PQ

17、長有最大值為竺.8 .如圖,拋物線y=ax2+bx-3經過A (1, 0), B (3, 0)兩點.(1)求拋物線的解析式;設拋物線的頂點為 M,直線y=-2x-9與y軸交于點C,與直線OM交于點D,現將拋物線平移，保持頂點在直線 OD上，若平移后的拋物線與射線CD (含端點C)只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍.第8題圖解：(1)把A (1, 0), B (3, 0)的坐標分別代入拋物線尸ax2+bx-3中得:皤；:0解得： ,拋物線的解析式：y=-x2+4x-3;(2) y=-x2+4x-3=- (x-2) 2+1,M (2, 1),直線OD的解析式為：y=-x,2平移后的拋物

18、線頂點坐標為(h, 1h),則平移后的拋物線解析式為：y=- 2(x-h) 2+-h,2由 y=-2x-9，得當 x=0, y=-9, . . C (0, -9),當拋物線經過點CBt, -h2+lh=-9,2解得：卜=呼5, 二當弓45VhM呼時,平移后的拋物線與射線8只有一個公共點;當拋物線與直線CD只有一個公共點時,o 1得1y = eh)y =-2x -9貝Ux2+ (-2h-2) x+h2-1h-9=0,2解得h=-4,此時拋物線y=-x2-8x-18與直線CD有唯一的公共點為（-3, -3）,點（-3,-3）在射線CD上，符合題意.平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點時，它的頂點

19、橫坐標取值范圍日 * 1 - 145 u 1；詬是當 一- <h <-或 h=-4, 44類型三拋物線與直線（線段）構成的封閉區(qū)域內的整點問題8.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y= mx2-2mx+ m-2 （m>0）與x軸的交點為A, B.（1）求拋物線的對稱軸及頂點坐標；（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.當m=1時，求線段AB上整點的個數；若拋物線在點A, B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（包括邊界）恰有7個整點，結合函數的圖象，求m的取值范圍.昨I I I I 111P0工第9題圖解：（1） . y=mx2-2mx+m-2 =m （x2-2x+1） -2=m

20、（x-1） 2-2,拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1,-2）;（2）當m=1時，拋物線解析式為y=x2-2x-1,令 y=0 得：x2-2x-1=0,解得：X1 = -1 -亞,x2 =1 +& ,即 A （1-&，0）、B （1 + &，0）,則線段AB上整點有（0,0）、（1,0）、（2,0）這3個；如解圖，拋物線在點A, B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內（包括邊界)恰有7個整點,第9題解圖'm +2m +m -2 >0貝U j9m -6m +m -2 >0 m -2 < -14m -4m + m 2 E 1解得：-：m <

21、 1.210.如圖，拋物線y=ax2+bx-3過A (1, 0)、B (-3, 0)兩點，直線AD交拋 物線于點D,點D的橫坐標為-2,點P (m, n)是線段AD上的動點.(1)求直線AD及拋物線的解析式；(2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與 m的關系式，m為何值時，PQ最長？(3)在平面內是否存在整點(橫、縱坐標都為整數) R,使得P、Q、D、 R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點 R的坐標；若不存 在，說明理由.第10題圖解：把Ac,。)，B(-3,。)的坐標分別代入函數解析式，得j9；W拋物線的解析式為y=x2+2x-3;當 x=-2 時，y= (-2) 2+2X (-2) -3=-3,即 D (-