高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題精選以及詳細(xì)答案

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題精選以及詳細(xì)答案【例1】求出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式142338，418 ?516，635 '7932 5 64 58 .63，1W，312，2,1158,解(1)所給出數(shù)列前-1 .2425一.25項(xiàng)的分子組成奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n 1,而前5項(xiàng)的分母所組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為2X2,所以，已知數(shù)列的一 ，2n 1通項(xiàng)公式為：an =尸(2)從所給數(shù)列的前四項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子組成偶數(shù)列，其通項(xiàng)公式為2n,而分母組成的數(shù)列 3, 15, 35, 63,可以變形為 1X3, 3X5, 5X7, 7 X9,即每一項(xiàng)可以看成序號(hào) n的(2n1)與2n+1的積，也即(2n1)

2、(2n + 1), 因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：2nann (2n 1)( 2n 1)(3)從所給數(shù)列的前5項(xiàng)可知，每一項(xiàng)的分子都是1,而分母所組成的數(shù)列3, 8, 15, 24, 35,可變形為 1X3, 2X4, 3X5, 4X6, 5X7,，即每一 項(xiàng)可以看成序號(hào)n與n + 2的積，也即n(n+2).各項(xiàng)的符號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶 數(shù)項(xiàng)為正.因此，所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為：(1)n1n(n 2)1491625(4)所給數(shù)列可改寫為 2, 2,分子組成的數(shù)列為1, 4, 9, 16, 25,是序號(hào)n的平方即n2,分母均為2.因此所2給數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an =.n 2【例2】求出下列各數(shù)列的一個(gè)通

3、項(xiàng)公式.(1)2, 0, 2, 0, 2,111(2)1, 0,0,0,0,357(3)7, 77, 777, 7777, 77777,(4)0.2,0.22, 0.222,0.2222,0.22222,解(1)所給數(shù)列可改寫為1 + 1, 1 + 1, 1 + 1, -1 + 1,可以看作數(shù)列1, 1,1, 1,的各項(xiàng)都加1,因此所給數(shù)的通項(xiàng)公式an=(-1)n+1 + 1.所給數(shù)列亦可看作2, 0, 2, 0周期性變化，因此所給數(shù)列的寸丁 2 (n為奇數(shù))、口 憶入寸丁 ,»通項(xiàng)公式an =/這一題說(shuō)明了數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.n 0 (n為偶數(shù))，111.,101(2)所給數(shù)列1

4、, 0, 1,0, 1,0, 1,可以改寫成1一，一0, 1, 0,分母組成的數(shù)列為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,是自然4567(1)n 11 L，乙入 V2,因此所給數(shù)列的通數(shù)列n,分子組成的數(shù)列為1, 0, 1, 0, 1, 0,可以看作是 2,10, 2, 0, 2, 0,的每一項(xiàng)的 2構(gòu)成為項(xiàng)公式為an(1)n1 12n所給數(shù)列7, 77, 777, 7777, 77777,可以改寫成 , X 9,77-X 99, - X 999,997X 9999, 97 X 99999，可以看作97 9X(10-1),7 9X(100-1),79 義(10001

5、),79 X (10000-1),7-義(100000 1),因此所給數(shù)列的通項(xiàng)公式為an = 7(10n-1).9(4)所給數(shù)列 0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,可以改寫,、22222成一X0.9, - X0.99,X0.999,X0.9999,X0.99999,可以看99999“ 22222作一 X(1 0.1),-X (1-0.01),-X(1-0.001),-X (1-0.0001),-X99999 21(10.00001)因此所給數(shù)列的通式公式為an =2(1 ).910說(shuō)明1 .用歸納法寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī) 律.對(duì)于項(xiàng)的結(jié)構(gòu)

6、比較復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個(gè)部分分別考慮，然后將它 們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來(lái).2 .對(duì)于常見(jiàn)的一些數(shù)列的通項(xiàng)公式(如：自然數(shù)列，an=n;自然數(shù)的平方數(shù)列，an=n2；奇數(shù)數(shù)列，an=2n1;偶數(shù)數(shù)列，an=2n； 1倒數(shù)數(shù)列，an=)要很熟悉，由聯(lián)想將較復(fù)雜的數(shù)列通過(guò)合理的轉(zhuǎn)化歸 n納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.3 .要掌握對(duì)數(shù)列各項(xiàng)的同加、同減、同乘以某一個(gè)不等于零的數(shù)的變形 方法，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一些數(shù)列.【例3】 已知數(shù)列 顯,<5, 272, 而，則2痣是這個(gè)數(shù)列的第 幾項(xiàng).解 由所給數(shù)列的前4項(xiàng)應(yīng)，瓜 272,斤可歸納得通項(xiàng)公式為an =3n 1 .此時(shí)運(yùn)用方程的思想問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2.5 3

7、n 1解關(guān)于正整數(shù)n 的方程，解得n=7,即2J5是該數(shù)歹I的第7項(xiàng).【例4】已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2 3n (2)Sn=n2+1Sn=2n+3(4)Sn=(-1)n+1 n解(1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=s1 = 1;當(dāng) n>2 時(shí)，an=Sn Sn-1=(2n2 3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也適合此等式，因此 an=4n - 5.(2)當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = S1=1 + 1 = 2;當(dāng) n> 2 時(shí)，2口 = Sn Sn-1=n2 + 1 (n 1)2 + 1 = 2n 1,由于 a1不適合 于此等式，2

8、 n = 1因此，an =n 2n 1 n> 2且nC N * .當(dāng) n= 1 時(shí)，a1=S1=2+3=5;當(dāng) n>2 時(shí)，an=snSn-1=2n + 3(2n-1 + 3)=2n-1,由于 a1 不適合于此等式，因此，an =5 n = 12n 1n>2且 nCN*當(dāng)n=1時(shí),a1 = S1=(-1)2 1=1 ;當(dāng)n>2時(shí)，an= Sn-Sn-1=(-1)n+1 n- (-1)n (n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a1也適可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1), nC N* .說(shuō)明已知Sn求an時(shí),要先分n =1和n > 2兩種情況分別進(jìn)

9、行計(jì)算， 然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一.【例5】已知an=an1+a1= 1,寫出數(shù)列的前5項(xiàng);解(1)由已知an = an 1 +1 n(n3ai =1得2 - (2 1)2a3 二319 15一 23 -263515121734- 3312124717136945, 4420205(2)由第(1)小題中前5項(xiàng)不難求出.a4 =a5 =a2 = 12n a n1、一(或 an n1一) n【例6】 數(shù)列an中，a1=1,對(duì)所有的n>2,者B有 a1 a2 a3an求a3+a5；256 一 巴是此數(shù)列中的項(xiàng)嗎?225解 由已知：a1 a2 a§ 2口= n2得ai ' a2 , a

10、3 anan 二一-Z-ai a? a3an i2nan r , n> 2.(n 1)(n>2, nC N*)由于ai = 1不適合于此等式.因此1n = 1(n 1)2 '22,3561(1)a 3+ a5 =-T25224216令2562252 ，(n 1)解方程可得n = 16256 一 一n=16GN*,是此數(shù)列的第16項(xiàng).225說(shuō)明 (1) “知和求差”“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法.(2)運(yùn)用方程思想求n,若nC N*,則n是此數(shù)列中的項(xiàng)，反之，則不是此 數(shù)列中的項(xiàng).【例7】 已知數(shù)an=(a21)(n32n)(a= w ± 1)是遞增數(shù)列，試確定 a的 取值范圍.解法一 :數(shù)列an是遞增數(shù)列，an+1 >anan+1 an= (a2- 1)(n +1)3 2(n+ 1) (a2 1)(n3 2n)= (a2 1)(n + 1)32(n+ 1) n3+2n= (a2-1)(3n2+3n-1),.(a2-1)(3n2+3n-1)>0又 nC N*3n2+3n-1=3n(n