中考復習講義：等腰三角形中的?？紵狳c問題

1、中考復習講義：等腰三角形中的?？紵狳c問題一、問題導讀等腰三角形創(chuàng)新問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強、難度較大，不僅能考查學生的數(shù)學基礎知識，而且能考查學生的創(chuàng)新意識以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而倍受關注，越來越成為熱點和亮點考題，成為中考的一道亮麗風景，它既檢測了同學們對所學的知識的理解與運用能力，又檢測了同學們分析問題和解決問題的能力，能全面檢測同學們的數(shù)學綜合素質.二、典例精析 類型1條件開放型問題 例1.有下列三個等式 AB=DCBE=CE/ B=/C.如果從這三個等式中選出兩個作為條件，能推出RtAED是等腰三角形，你認為這兩個條件可以是 （寫出一種即可

2、）【分析】依據(jù)條件判定AB®4DCE即可得到 AE=DE進而彳導出RtAED是等腰三角形.【解答】當 AB=DC BE=CE / AEB=/ DEC 時，RtAABE Rt DCE （HL）,故 AE=DE 即RtAED是等腰三角形；當 AB=DC / B=/C, / AEB=/ DEC時， AB段 DCE （AAS ,故 AE=DE 即 RtAAED> 等腰三角形；當 BE=CE / B=/C, / AEB=/ DEC時， AB段 DCE （ASA ,故 AE=DE 即 RtAAED> 等腰三角形.故答案為：或或.（答案不唯一）【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定，如

3、果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.變式.如圖，AD是4ABC的邊BC上的中線，由下列條件中的某一個就能推出ABC是等腰三角形的是 （把所有的正確答案的序號都填在橫線上）/ BAD=/ ACQ / BAD+-Z B=Z CAD+/ C; AB+BD=AC+CD AB- BD=AC- CD【分析】可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質來判斷即可.【解答】無法判定；/ BAD-+Z B=Z CAD吆 C, / ADB4ADC / ADB吆 ADC=180 , / ADB4ADC=90 ,AD± BC,在 ABDA ADC中( AD = ADADB /.ADC(BD = DC.

4、.AD整 ADC (SAS ,B=Z C,故正確；延長 DB至E,使BE=AB延長 DC至F,使CF=AC連接 AE、AF;DE=DF又 ; AD± BC; . AEF是等腰三角形; ./ E=Z F; AB=BE/ ABC=2Z E;同理，得/ ACB=2Z F;同理可得 AB- BD=AG_ CD,故答案為：評注：本題是添加條件的創(chuàng)新題，重點考查了等腰三角形的判定和性質.要由已知條件結合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性.這種類型的題目能激起同學們的挑戰(zhàn)欲望和創(chuàng)新熱情，實屬一道“人人能達到”的好題變式練習1.如圖，在 ABC中，AB=AC點D> E在BC

5、上，連接 AR AE,如果只添加一個條件使/ BAD=Z CAE則添加的條件不能為（）A. / ADE=Z AED B. / B=Z CC. AD=AE D BD=CE例2.已知 ABC AB=AC D為直線 BC上一點，E為直線 AC上一點，AD=AE設/ BAD= a , / CDE干.（1）如圖，若點 D在線段BC上，點E在線段AC上.如果/ ABC=60° , / ADE=70 ,那么 a =° , 3 =° ,求 a , 3 之間的關系式.（2）請直接寫出不同于以上中的a, 3之間的關系式可以是 .（寫出一個即可.）J【分析】（1）先利用等腰三角形的性質

6、求出/DAE進而求出/ BAD,即可得出結論;利用等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得出結論；（2）當點E在CA的延長線上，點 D在線段BC上，同（1）的方法即可得出結論；當點E在CA的延長線上，點 D在CB的延長線上，同（1）的方法即可得出結論.【解答】（1） : AB=AC / ABC=60 ,BAC=60 , AD=AE / ADE=70 , ./ DAE=180 - 2/ADE=40 ,a =Z BAD=60° - 40° =20° , / ADCh BAD+/ ABD=60 +20° =80° ,3 =/ CDE=Z ADC- /

7、ADE=10° , 故答案為：20, 10;設/ ABC=k / AED=x/ ACB=k / AED=x在 DEC中，y= 3 +x,在 ABD中，a +x=y+ 3=3 +x+ 3 ,a =2 3 ；(2)當點E在CA的延長線上，點 D在線段BC上, 如圖1設/ ABC=K / ADE=y/ ACB=k / AED=y在 ABD中，x+ a = 3 - y,在 DEC中，x+y+ 3 =180° , a =2 3 - 180° ,當點E在CA的延長線上，點 D在CB的延長線上， 如圖2,同的方法可得 a =180° -23.故答案為：a =2 3 -

8、 180° 或 a =180° -23.變式.如圖所示，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，G是AD上一點，且 AG=DG連接BG并延長BG交AC于E,又過 C作AD的垂線交 AD于H,交AB為F,則下列說法正確的是 （填序號）.D是BC的中點；/ CDA>/2;BE是 ABC的邊AC上的中線;CH為4ACD的邊AD上的高；八AFC為等腰三角形；連接DF,若CF=6, AD=8,則四邊形 ACDF的面積為24.ABD C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷，對角線垂直的四邊形的面積 =對角線乘積的一半；【解答】錯誤.假設結論成立，則

9、JABC是等腰三角形，顯然不可能，故錯誤;正確.ADC=Z 1 + /ABD /1 = /2,丁./ ADO/ 2,故正確；錯誤.假設結論成立，則.AG=GD AE=ECEG/ BC,顯然不可能，故錯誤，正確，; CH± AD, .CH為4ACD的邊AD上的高，故正確，正確./ 1 = Z2, AD=AD / AHF=/ AHC=90 , .AHF AHC （ASA , .AF=AC故正確，正確AD± CF,S 四邊形 ACDF=1/2X ADX CF=1/2 X 6 X 8=24 .故答案為.【點評】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念，對角線垂 直

10、的四邊形的面積，注意：三角形的角平分線、中線、高都是線段，且都是頂點和三角 形的某條邊相交的交點之間的線段.透徹理解定義是解題的關鍵.變式練習2.如圖，點D是等腰 ABC底邊的中點，點 E是AD延長線上的任一點，連接 BE, CE,則下列結論： BE=ACAE平分/ BEC;AE=AB/ ABE=Z ACE其中正確 的有 (填寫序號).類型3、操作性問題例3. ABC中，AB=AC過其中一個頂點的直線可以把這個三角形分成另外兩個等腰三角形，則/ BAC()1800108°A . 361 901 丁 , 108°B , 36 k,90°108。108°C

11、. 901 72° r 108° f -D . 36 90° .108"【分析】利用三角形內角和定理求解.由于本題中經(jīng)過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經(jīng)過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論.【解答】如圖1,當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AB=AC,AD=CD=BD設/ B=x° ,則/ BADW B=x , / C=Z B=x , / CADh C=x ,. / B+Z BAC-hZ C=180° ,1- x+x+x+x=180 ,解得x=45, 則頂角是90。；匿II圖2圉3如圖2,AB=AC=CD B

12、D=AD設/ C=x° , AB=AQ/ B=Z C=x , BD=AD / BAD4 B=x , / ADCh B+Z BAD=2x , AC=CD / CADh ADC=2x° , ./ BAC=3乂 , x+x+3x=180 , x=36 ,則頂角是 108° .如圖3,當過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有 AB=AC BC=BD=AD設/ BAC",BD=AD / ABD4 BAC=x° , / CDBh ABD+Z BAC=2x° ,BC=BD ./ C=Z CDB=2x° , AB=AC / ABC4

13、 C=2x , . / BAC+Z ABC+Z C=180° ,x+2x+2x=180 , x=36 ,則頂角是36。.如圖4,當/ BAC=4 , / ABCW ACB=3x° 時，也符合，AD=BD BC=DC/ BAC=Z ABD=x, / DBC=/ BDC=2x則 x+3x+3x=180, x=.則/ BAC=90或108或36或度.故選：A.【點評】本題考查了等腰三角形的性質及其判定.作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解.變式.如圖，在 ABC中，/A=120° ,

14、/ B=40° ,如果過點 A的一條直線l把 ABC分害U成兩個等腰三角形，直線120°的角分為100°和20°或40°和80° ,分別畫出圖形,l與BC交于點D,那么/ ADC的度數(shù)是【分析】有兩種情況：把即可求解.【解答】分兩種情況： 如圖1 ,把120°的角分為100°和20° ,則 ABD與 ACDtB是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100°, 140 ./ ADC=140把120°的角分為40°和80° ,則 ABD與 ACDtB是等腰三角形，其頂角的度數(shù)

15、分別是100° , 20° , ./ ADC=80 ,故答案為140°或80°【點評】此題主要考查等腰三角形的性質以及三角形各角之間的關系，難度適中，畫出 圖形是關鍵.變式練習3.如圖，若AB=AC下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是()(1) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(4)類型4動點型問題例4.如圖，在 ABC中，/ C=90° , AC=3 BC=4,動點P從點B出發(fā)以每秒1個單位長 度的速度沿B-A勻速運動；同時點 Q從點A出發(fā)同樣的速度沿 A-8 B勻速運動.當點P

16、到達點A時，P、Q同時停止運動，設運動時間為 t秒，當t為 時，以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.【分析】分情況討論：當AQ=PQ寸，如圖1,證明 ADR4ACB則AD/AQ=AC/AB歹U方程可得t的值；當BP=BGM,如圖2,根據(jù)BP=BCFU方程可得t的值；當BQ=PQ寸，如圖3,同證明三角形相似可得t的值.【解答】當 BP=PQ寸，如圖1,由題意得：BP=PQ=AQ=tRSABC中，AC=3 BC=4,AB=5,AP=5- t ,過Q作QD_LAB于DAD=：AP=號1;zA=zA , zADQ=zACB = 90° ,'.-ADQ-ACB ,5-tAD AC

17、325, NQ _ KR' t 11 r當BP=BQM,如圖 2由題意得：BP=AC+CQ=t. BQ=3+4 t=7 - t ,- 7- t=t , t=3.5 ;當BQ=PQ時，如圖3,過Q作QDL AB于D,BD=1/2BP=1/2t , BQ=7- t , / B=Z B, / BDQh ACB=90° , . BDQ BCABD BC不 t456；=AB 1 A7t = S 石綜上所述r t的值是浜或濕或0.【點評】本題是幾何動點問題，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性質和判定.分類討論的數(shù)學思想是本題考查的重點，并與方程相結合解決問題.變式.如圖，已知點 P是

18、射線BM上一動點（P不與B重合），/ AOB=30 , / ABM=60 , 當/ OAP=時，以A、。B中的任意兩點和 P點為頂點的三角形是等腰三角形.【分析】先根據(jù)題意畫出符合的情況，再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理求 出即可.【解答】分為以下 5種情況： OA=Og/ AOB=30 , 0A=0?OAP OPA=1/2 (180° - 30 ) =75 ° ; OA=AF?AOB=30 , OA=A?Z APOh AOB=30 , ./ OAP=180 - Z AOB- Z APO=18(J - 30° - 30 =120 ;AOM=60 , AB=

19、AF? ./ APOWABM=60 , / OAP=180 - Z AOB- Z APO=180 - 30 - 60° =90° ;AB=BRABM=60 , AB=BF? / BAP土 APO=1/2 (180° - 60 ) =60 ° , .Z OAP=180 - Z AOB- Z APO=180 - 30° - 60° =90 ;AP=BRABM=60 , AP=BF? / ABOh PAB=60° , ./ APO=180 - 60° - 60° =60° , ./ OAP=180 -

20、 / AOB- / APO=180 - 30° - 60° =90° ;所以當/ OAP=75或120°或90°時，以A、。B中的任意兩點和 P點為頂點的三角形是等腰三角形，故答案為：75°或120°或90° .【點評】本題考查了等腰三角形的性質和判定、三角形內角和定理等知識點，能畫出符合的所有圖形是解此題的關鍵.變式練習4.如圖，在平面直角坐標系中，點A B的坐標分別為（0, 2）和（3, 4）,點P在x軸上運動，若 ABP是等腰三角形，則滿足條件點P的坐標是.例5 .在第1個SBA中1AB=Ai8，在AiB上取

21、一點C ,延長AAi到Aa,使得AiAj-AiC ；在A2c上取一點D ,延長AiAz到Aj .使得A2A產(chǎn)A?D ；.,按此做法進行 下去.第n個三角形的以An為頂點的內角的度數(shù)為.【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質求出/BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出/CA2A1, / DA3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/An的的邊長為得出a3=4a1=4 , a4=8a1=8, a5=16a1進而得出答案.180, q 1SO,-2O°【解答】在MBA中 ,2B=20" AB=A1B , .zBAiA=-=-二801*.，AiA2HAic:

22、/BAiA 是占A1A2C 的外角,lBA.A 80°"CA2A 產(chǎn)=40 口； 22同理可得,zDAjA2=20° , NEA#Aa=10' .zAn= () ”，80。.故答案為(1)n-l<80° .【點評】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據(jù)題意得出/CA2A1,/ DA3A2及/ EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關鍵.變式.如圖，已知：/MON = 30點A*、An A3、在射線ON上，點Bi、B2、B3、在射線OM上,二AiBiBz、二A2B2B3,二A加田工均為等邊三角形,若。81=1 ,貝gAaBsBg

23、B1A1 / A2B2/ A3B3,以及 a2=2a1 ,【解答】設等邊三角形的邊長一次為ai f az , as 一一是等邊三角形 一:BiA.BzAi # z3=z4=zl2=60* f Az2=120fl f zMON=30",二上工=180* - 120© - 30仁301又23=60"上5=180° - 60° - 30°=90°, /zMON=zl = 30c f /,OBi=BiAi=l,，B2Ai=1 .,aB2A汨九 £BmAmB4是等邊三角形一n11=/10=601 z13=60 /z4=zl2

24、=60°. /+BiAillAiBaJlA3B5 F A1B2HA2B玉,.zl=z6=z7=30a r z5 = z8=90c t總2=23t 曰3=431=4 t d4±8ai=8 . a5=16a* /以:占8=2' = 128 t即必AsBaBg的邊長為128 ,故答案為：128 .【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據(jù)已知得出a3=4a1=4, a4=8a1=8, a5=16a1進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關鍵.變式練習5.如圖，在平面直角坐標系中，有一個正三角形ABG其中B、C的坐標分別為(1, 0)和C (2, 0).若在無滑動的情況下，將這個正三角形沿著x軸向右滾動，則在滾動的過程中，這個正三角形的頂點A、B、C中，會過點(2018, 1)的是點()4 O 1 C2 34 工A. A和 B B . B 和 C C . C和 A D . C類型6計數(shù)問題例6.如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象P點 P是x軸上一動點，若以 P, O,A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有;【分析】分為三種情況： OA=OPAP=OPOA=OA分別畫出即可.【解答】當 OA與x軸正半軸夾角不等于 60°時，以。為圓心，以