常微分方程練習(xí)試卷及答案

1、常微分方程練習(xí)試卷、填空題。1 .方程x3 d。+1=0是階(線性、非線性)微分方程.dt2 .方程二dy = f (xy)經(jīng)變換,可以化為變量分離方程 .y dx33 .微分萬(wàn)程 駕y2 x =0滿足條件y(0) =1,y'(0) =2的解有個(gè).dx4 .設(shè)常系數(shù)方程y"+ayPy=¥ex的一個(gè)特解y*(x) = e2x+ex + xex ,則此方程的系數(shù)0 =, P =,尸=.5 .朗斯基行列式W(t)三0是函數(shù)組xi(t),x2(t)|,xn(t)在aExMb上線性相關(guān)的 條件.6 .方程xydx +(2x2 +3y2 -20)dy = 0的只與y有關(guān)的積分因

2、子為 .7 .已知X ' = A(t)X的基解矩陣為 6(t)的，則A(t) =.8 .方程組x '=0 L的基解矩陣為.一0 5dy 33一二xy+y9 .可用變換 將伯努利方程辦化為線卜t方程.10 .二1是滿足方程y'"+2y” + 5y' + y=1和初始條件 的唯一解.11 .方程丁陽(yáng)一 J二/的待定特解可取 的形式：12 .三階常系數(shù)齊線性方程y"-2y” + y = 0的特征根是 二、計(jì)算題1.求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直.2.求解方程dy _ x y 7dx x - y 3

3、d2xdx c3 .求解方程xx十（dx）2=0 dt2dt4 .用比較系數(shù)法解方程. ：；一；-.5 .求方程y'= y+sin x的通解.22 .6 .驗(yàn)證微分萬(wàn)程(cosxsinx-xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰當(dāng)萬(wàn)程，并求出它的通解.7 .設(shè)a = ,' 1 1” =，1,試求方程組dX = AX的一個(gè)基解基解矩陣中，求S = AX12 Ml,I-dtdt滿足初始條件x(0)的解.8 .求方程dy = 2x-1-3y2通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.dx9 .求(dy)3.4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx2 110.若 A= I /人試求

4、方程組x'= Ax的解中(t),中(0)" = i ,并求expAt1 41勺2三、證明題1 .若6(t),干(t)是X JA(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣C,使得空(t)=6(t)C.2 .設(shè)中(x)(a Wx0,xWP)是積分方程y(x) = y° ： 2y( ) d , x0,x ； x0的皮卡逐步逼近函數(shù)序列叫(x)在% P上一致收斂所得的解，而5(x)是這積分方程在Ot,P上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在 邛上中(x)三p(x).3 .設(shè)閆都是區(qū)間(一電通)上的連續(xù)函數(shù)，且屣X)W是二階線性方程U+p(x)y+g 了二。的一個(gè)基本解組

5、.試證明：(i) 磯了)和加力都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零)；(ii) 加和爐沒(méi)有共同的零點(diǎn)；(iii) 和卜口)沒(méi)有共同的零點(diǎn).4.試證：如果邛(t)是dX = AX滿足初始條件中(t0) = "的解，那么*(t) = exp A(t-t。)” dt答案一.填空題。111.二，非線性 2. u=xy,1du=dx 3. 無(wú)窮多 4. 口 =3,p =2,Y = 1u（f（u） 1） x- 2t 0 -I月5.必要 6.y37.叱8.eAt = l： 5t 9. z 二,j° e -10.二二-二廠i 11；“二i士石12. 1, 二二、計(jì)算題1

6、.求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)（1,0）的連線相互垂直.解：設(shè)曲線方程為二了（工），切點(diǎn)為（x,y）,切點(diǎn)到點(diǎn)（1,0）的連線的斜率為工-1 ,則由題意 可得如下初值問(wèn)題：x-1X0) = o分離變量,積分并整理后可得/=-U-l)3+c.代入初始條件可得。二1,因此得所求曲線為。- 1) +y=1 .dy x y -12 .求解萬(wàn)程-=77 .dx x - y 3解：由!'"一1"0,求得 x= -1,y = 2 令x=：T, x -y 3=0y=2,則有 dv=.令 z=2,解得 (1z)dz = J ,積分得 arctan zln

7、(1 + z2) = In |+C ,dt t -n - i+z2t2,故原方程的解為arctan 2= ln (x 1)2(y-2)2C .x 1'd2xdx c3 .求解方程x + (d-)2=0dt2dt以勺=走中也解 令=y,直接計(jì)算可得 城 成，于是原方程化為 必舟 x + y =0y=-2/Gt有廣°或 右，積分后得工，即由工，所以x=4 + G (。廣2c)就是原方程的通解，這里4歷為任意常數(shù)。4 .用比較系數(shù)法解方程. :.解：特征方程為-4八42 = 0,特征根為 士: J Y .對(duì)應(yīng)齊方程的通解為 .1 1 ': 一：+'.設(shè)原方程的特解有

8、形如''' 1 .一代如原方程可得 二-，-二-利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得 U二。,故犬3二d.原方程的通解可以表示為( GGC 是任意常數(shù))旗)=%(。+/ ©= / + 4+c".令y =c(x)ex為原方程的解，即有 c(x) = e*sin x ,. 1所以y = ce -(sin x + cosx)為原方程的通解.5 .求方程y' = y + sin x的通解.解：先解y' = y得通解為y = cex,代入得 c (x)ex c(x)ex = c(x)ex sin x,積分得 c(x) = -1e、(sinx cosx) c ,

9、226 .驗(yàn)證微分萬(wàn)程(cosxsin x -xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰當(dāng)萬(wàn)程，并求出它的通解解：由于M (x, y) =cosxsin x -xy2,N(x, y) = y(1 -x2),因?yàn)槎﨧 = -2xy =所以原方程為恰當(dāng)方程 :y二 x把原方程分項(xiàng)組合得 cosxsin xdx -(xy2dx yx2dy) ydy =0,1c 1 cc 1c或與成 d(-sin x)+d(x y )+d(-y ) =0,故原方程的通解為 sin x -x y +y =C.2227 .設(shè)A =13 1 1=,試求方程組dX = AX的一個(gè)基解基解矩陣6(t),求型=AX：2 4

10、_J1_dtdt滿足初始條件x(0)="的解.解：特征方程為 det(A-九E)=-321=(九+2)(九+5)=0, -4-X-2(:二0).可得一個(gè)基解矩陣1，(t) = "2 ,ee，5.,又因?yàn)?(0) = 1產(chǎn)11 3 J-1.于是，所求的解為(t)=：.：,(t)4，(0) J 3 |Le,5t e"2 e“ 2e$3 卜 _ 4e,t _8 .求方程dy = 2x-1-3y2通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解. dx解：令9°(x)=0 ,于是x.221(x)= y01 2x-1-3 0(x)dx =x -x,2(x) = y0， 2x -1

11、-3 12(x)dx = - - x x2 - x3 - x4 - 3x5, 110259 .求(dy)3-4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx®3 8y2x=小4ydy解：方程可化為dxdy n x_ P3 8y2二p x 一 ，令dx 則有 4yp(*),2y( p3 - 4y2)dp p(8y2 p3) =4y2p(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)得dy(p3 -4y2)(2ydp - p) =0即dy由2ydp1p = 02dy 得p = cy2,y = £)2c將y代入(*)得x=c2 學(xué)4 c2 ,即方程的 含參數(shù)形式的通解為:c2 2p x 二4 c2y = (-)

12、2求得特征值九=-2, % =5,對(duì)應(yīng)兀=-2,九2 = -5的特征向量分別為1322、不y =又由p -4y =0得p = (4y尸代入(*)得y也是方程的解.10.若A= 2_-114試求方程組x'= Ax的解列t),1中(0)" =11 憶并求expAt解:特征方程p(')=1 -42-2-69=02,解得 ,2=3,此時(shí) k=1, n1 = 2。3t 1 tii 1(t)=e3tlz -(A-3E)i | 1mi!一”21二 +t(】- -i3t 1(1二e_ 2 t(- 1由公式expAt =n -1 Je J -(A- E)ii =0 i !expAt =

13、e3t IE t(A-3E)l = e3t廠 1 01 /-11：0 111 3t 1-t t=e3tIL -t三、證明題1 .若6(t),里(t)是X' = A(t)X的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣C ,使得空(t)=6(t)C.證：6(t)是基解矩陣，故九t)存在，令X(t) =6,(t)乎(t),則 X(t)可微且 detX(t) #0 ,易知富(t) =O(t)X(t).所以可(t)=中(t)X(t) ：，(t)X (t) = A(t)：，(t)X(t) - ：，(t)X (t) = A(t)'P(t) ：，(t)X (t)而里=A(t)里(t),所以(t)

14、X(t)=0,X'(t) =0, X(t) =C (常數(shù)矩陣)，故中(t)=(t)C .2 .設(shè)中(x)(a Wxo，xWP)是積分方程x - 2-_.：y(x) = y° . y( ) d ,x0,x 二，-x0的皮卡逐步逼近函數(shù)序列鴛(x)在% P上一致收斂所得的解，而5(x)是這積分方程在慳，P上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在a,P上中(x)三學(xué)(x).證明：由題設(shè)，有¥(x)三y。x21 () d,x0中 0(x) =y0$(x)三 y。+ 必2叫儲(chǔ))+£dJ Xo,xwa,P, (n=1,2,). x下面只就區(qū)間x。ExmP上討論，對(duì)于“ Ex

15、 Mx。的討論完全一樣。x因?yàn)閨(x) -<p0(x) |< 心2 N代)| + | Dd。E M (x x。)，其中 M =maxx2 N (x) | + |x |,xoxx所以 1yx) - ;i(x)|< (2|1-：( ) - ;o( )|)d <L M( -xo)d =x。x。ML2!(x - x。),Ml n, 一.其中L =maxx ,設(shè)對(duì)正整數(shù)n有W(x)-中n(x)區(qū)必L1(x-x0)n，則有x|' (x)- n(x)| ”( 2|一( )一 n()|)dx故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)k,有ML曲 xo nn 1nx。)% ；!(。廣k 1k 1M

16、Lk MLk卜(x)- k(x)|(x - Xo)(- - -).k!k!而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng) kT g時(shí)，它T。，因而函數(shù)序列華n (x)在x。W x宅P上一致收斂于中(x).根據(jù)極限的唯一性，即得'''' (x)三-1(x) , x。£ x E ：3.設(shè)P聞 都是區(qū)間(一電故)上的連續(xù)函數(shù)，且 砒外即 是二階線性方程y”+p(i)y+o了二 0的一個(gè)基本解組.試證明：(i) 0和弧都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii) 或X)和口(1)沒(méi)有共同的零點(diǎn)；(iii) 伊,和廣沒(méi)有共同的零點(diǎn)證明：。的和曲)的伏朗斯基行列式為印二我(工)因網(wǎng)和血是基本解組,故即(x)=0 aE (-00,4®).若存在瓦£(一00網(wǎng)，使得 幽)二磯而)二°,則由行列式性質(zhì)可得取偏)二°，矛盾.即忒工)最多只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn).同理對(duì)弧有同樣的性質(zhì)，故(i)得證.若存在為£卜電*0),使得成瓦)二貝耳)=。,則由行列式性質(zhì)可得 陽(yáng)與)二。,矛盾.即 。與口無(wú)共同零點(diǎn).故(ii)得證.若存在而E (-00網(wǎng)，使得磯)=歲()=。,則同樣由行列式性質(zhì)