.培優(yōu)專題等腰三角形(含答案)

1、9、等腰三角形【知識(shí)精讀】（-）等腰三角形的性質(zhì)1 .有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2 .定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證

2、明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1 .有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”。）推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2:有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30° ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2 .定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3 .等腰三角形中常用的輔助線等腰三

3、角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn) 題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔 助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要 視具體情況來(lái)定?！痉诸惤庾x】例1.如圖，已知在等邊三角形 ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 CE = CD, DMBC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證 M是BE的中點(diǎn)，已知 DMLBC,所以想到連結(jié) BD ,證BD=ED。因?yàn)锳BC是等邊三角形，/ DBE =

4、1 Z ABC ,而由CE=CD,又可證/ E= - Z ACB ,所以/221 = Z E,從而問(wèn)題得證。證明：因?yàn)槿切?ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)一 1 所以/ 1= / ABC2又因?yàn)镃E = CD,所以/ CDE = Z E所以/ ACB = 2/E即 / 1 = / E所以BD = BE,又DMLBC,垂足為 M所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線合一定理）例 2.如圖，已知： AABC 中，AB =AC , D 是 BC 上一點(diǎn)，且AD =DB , DC =CA ,求BAC 的度數(shù)。分析：題中所要求的ZBAC在AABC中，但僅靠 AB = AC是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考 慮

5、AD =DB和DC =CA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的 關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。解：因?yàn)锳B =AC ,所以/B =/C因?yàn)?AD =DB ,所以 /B =/DAB =/C ；因?yàn)镃A =CD ,所以/CAD =/CDA （等邊對(duì)等角）而 ADC =/B DAB所以 ADC =2 B, DAC =2 B所以.BAC =3. B又因?yàn)?B . C BAC =180即/B+/C+3/B =180 二所以/B =36 二即求得.BAC =108說(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的 關(guān)系是此等腰

6、三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后 邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2 .注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3 .此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。例 3.已知：如圖， AABC 中，AB=AC, CD _L AB 于 D。求證：/BAC=2/DCB。分析:欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，NBAC是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與 ZDCB的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作AE _L BC于E, < AB = AC-1 所以/1 =/2 = /BAC （等腰三角形的三線合一性質(zhì)）2因?yàn)?1 . B =90 .

7、又 CD _L AB ,所以 ZCDB =90所以/3 +/B =90 =（直角三角形兩銳角互余）所以/1 =/3 （同角的余角相等）即 BAC =2 DCB說(shuō)明：1 .作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。 因此添加底邊的高是一條常用的輔助線；2 .對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出ZDCB的等角等。4、中考題型：1 .如圖，AABC 中，AB=AC, /A = 36° , BD、CE 分別為 / ABC 與/ AC

8、B 的角平分線，且相交于點(diǎn) F,則圖中的等腰三角形有（）A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有 個(gè)，故選擇CoE、F2 .）已知：如圖，在 ABC 中，AB=AC, D 是 BC 的中點(diǎn)，DEAB, DFXAC ,分別是垂足。求證：AE = AF。證明：因?yàn)锳B =AC ,所以/B =/C又因?yàn)?DE _LAB, DF _L AC所以.BED =/CFD = 90又D是BC的中點(diǎn)，所以DB =DC所以 DEB 三 CFD(AAS)所以BE =CF ,所以AE = AF說(shuō)明：證法二：連結(jié) AD,通過(guò) MEDmAAF

9、D證明即可5、題形展示:例 1.如圖，MBC 中，AB = AC, /A =100 =, BD 平分/ABC。求證：AD +BD =BC。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在 BC上截取BF=BD ,只需證明 CF=AD ,考慮到 /1 =/2 ,想到在 BC上截取BE =BA ,連結(jié)DE,易得，則有 AD = FD ,只需證明 DE =CF ,這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出 CF = DF = DE。證明一：在BC上截取BE = BA , BF = BD ,連結(jié)DE、DF在 AABD 和 AEBD 中，BA=BE,/1=22, BD = BDABD 三 EBD(SAS).AD =DE, B

10、ED =/A =100. DEF =80又 AB =AC , A =100_1 _ABC = C (180 -100 ) =40 21，1 =/240 =202而 BD -BF1 1，：BFD =/BDF (180 - 2)(180 -20 )=802 2.DEF = . DFE =80DE = DF/DFE =80 : NC =40 二 .FDC = . DFE -/C =80 -40 =40 /FDC =/C. DF = FC . AD = DE = DF = FCBC =BF FC = BD AD 即 AD BD =BC分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng) BD至ij E,使 DE = AD,這樣

11、 BD + AD=BD+DE=BE只需證明BE=BC,由于22=20：只需證明NE=/BCE=80二易證 ZEDC =NADB =180 2 100 ： 20 口 = 60 ：, ZBDC =120：,故作 N BDC 的角平分線，則有 MBD三AFBD ,進(jìn)而證明ADEC三ADFC ,從而可證出NE =80°。證明二：延長(zhǎng)BD到E,使DE = AD,連結(jié)CE,作DF平分/ BDC交BC于F。由證明一知： /1 =/2 =20 ： ZA =100 ：則有/3 =180100 :20 口=60 : /6 = /3 = 60： /BDC =180 : 60 口= 120 ：丁 DF 平分

12、 /BDC二 /4 =/5 =60 二Z3 =N4 =N5 =N6 =60 ：在 MBD 和 AFBD 中; Z1 =/2, BD =BD , /3 = /4ABD 三 FBD(ASA)，AD =FD, /BFD =/A =100 =,而 AD =DE,. DF = DE在 ADEC 和 ADFC 中，DE = DF ,25 =/6, DC = DCDEC = DFC(SAS)E ="FC =180 - BFD =180 -100 :80在 ABCE 中，N2=20： N3=80 二BCE =80 , E = BCE二 BC =BE,，AD +BD = BC說(shuō)明：“一題多證”在幾何證

13、明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途 徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題 能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1 .選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm, 一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為腰長(zhǎng)為（）A. 2 cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.以上都不對(duì)2 .如圖，AABC是等邊三角形， ZCBD =90 ； BD = BC ,則N1的度數(shù)是3 .求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上4. AABC 中，AB=AC,2A =120 ：AB的中垂線交 AB于D,交CA延長(zhǎng)線于 E,-1求證：DE = BC。2【試卷答案】1. B解答：當(dāng)

14、底長(zhǎng)時(shí),腰為 5-3=2cm,三邊為5, 2, 2不能構(gòu)成三角形，這種情況不可以.當(dāng)腰長(zhǎng)時(shí)；腰為5+3=8邊為，5 ,8 , 8能構(gòu)成點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形的性質(zhì).等腰三角形有兩邊相等以三角形的三邊關(guān)系.2.分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)锳ABC是等邊三角形所以 AB =BC,NABC =60因?yàn)锽D = BC ,所以AB = BD所以 3 = 2在 AABD 中，因?yàn)?ZCBD =90 ： /ABC =60所以 ZABD =150 ;所以 /2 =15所以.1 =/2 . ABC =753 .分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形

15、語(yǔ)言。已知：如圖，在 AABC中，AB =AC ,D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn) O在BC的垂直平分線上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明OB =OC。而OB、OC在AABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有21、/ 2的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵贏ABC中，AB =AC所以/ABC=/ACB （等邊對(duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以DC =EB （中線定義）在ABCD和iCBE中,DC =EB（已證）«/DCB =/EBC（已證） BC =CB（公共邊）所以. BCD 三：CBE（SAS）所以/1=/2 （全等

16、三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以O(shè)B =OC （等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成"OB=OC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題：“ ABC中，AB=AC, D、E分別為 AC、AB 上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其 解決方法是和此題解法差不多的。4 .分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取 BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線 AF,垂足為F。在 MBC 中，AB =AC, /BAC =120所以 B =/C = 30所以N1 = /2 = 60 ： BF =1 BC （等腰三角形三線合一性質(zhì)）。2所以N3 =60二（鄰補(bǔ)角定義）。所以 1 =，3又因?yàn)镋D垂直平分AB ,所以/ E =30 ：（直角三角形兩銳角互余）。1 八一八