(整理)回旋曲線坐標(biāo)計(jì)算事例.

1、一、盤旋線的根本特征及坐標(biāo)計(jì)算盤旋線上,任意一點(diǎn)的曲率半徑P與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)l之積為一常數(shù)圖1即p l =A2或式中,A 2為盤旋曲線常數(shù),表征盤旋曲線曲率變化緩急程度的量,稱 A為回 旋曲線參數(shù).圖 11.盤旋曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算由圖1曲線右旋,取盤旋線的起始點(diǎn)ZH處的切線方向?yàn)閤軸,法 線方向?yàn)閥軸,任意一點(diǎn)的 切線方向方位角為緩和曲線角 B.在緩和曲線上 對(duì)任意一點(diǎn)P取微分dl= p d 0 dx=dlcos B dy=dlsin 0考慮式(1)對(duì)B或l在區(qū)間0 , B 或0,1上積分后有下 列關(guān)系式成立1 2= 2A之 工一4 4上產(chǎn)門0十216 9 360+)尸亭陰1一號(hào)+

2、磊一 +)或者 耍六(5)F . 薩 .=而 -335戶十42 22請(qǐng)(6)對(duì)于公路平面線形的根本形,其緩和曲線始于直線終于圓曲線,故緩和曲線 的曲率半徑P變化于8R (圓曲半徑).設(shè)緩和曲線段長(zhǎng)度為1 S ,那么p=段i工尸而一 336RW(8)2.盤旋線的幾何要素見圖1 ,盤旋線的幾何要素計(jì)算公式如下：任意點(diǎn) P處的曲率半徑(由 式(1) 和式(2)P點(diǎn)的盤旋曲線長(zhǎng)(10)P點(diǎn)的緩和曲線角(切線方位角,由(9)式)()1 =7=# _ i 9Q 一一之用2封一p X(11)上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為B和l時(shí)的右旋緩和曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何要素公式.顯然,緩和曲線左旋時(shí)(圖2),與右旋相比,x

3、坐標(biāo)公式一致, 而y、 B反號(hào).假設(shè)令sign= 1 ,緩和曲線右旋時(shí)取sign=1 ,左旋時(shí)取 sign=-1 ,那么坐標(biāo)和方位角等符號(hào)量可統(tǒng)一表示為：(12)3.盤旋曲線的根本特征1 .幾何特性.盤旋曲線隨著曲線長(zhǎng)度的增加,曲率按線性函數(shù)增加.起點(diǎn) 處l =0 ,曲率l / p = 0 ,終點(diǎn)處l =l s ,曲率l /p =常數(shù)2 .相似性.盤旋曲線的形狀只有一種,盤旋曲線參數(shù) A即為放大系數(shù)二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計(jì)算按直線-緩和曲線Ai-圓曲線R-緩和曲線-圓曲線R-緩和 曲線A-直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式 RWR,稱為卵形曲線 圖3.卵形曲線中,顯然圓曲線-緩和曲線

4、-圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計(jì) 算是新的課題,它成為整個(gè)卵形曲線計(jì)算的瓶頸.解決了這個(gè)問題,其他平面 線形形式的曲線坐標(biāo)計(jì)算 也就迎刃而解了.圖 3解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)兩圓曲線之間的緩和曲線的正確熟悉：1兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是盤旋線；2該盤旋線是沒有起點(diǎn)p = 0的 盤旋線段.于是,解決問題的方案是：第一,仍須確定哪端為盤旋曲線的起點(diǎn)p = 0 端；第二,假定緩和曲線起點(diǎn)而套用平面曲線根本形計(jì)算盤旋曲線任意一點(diǎn)坐標(biāo) 及其方位角；第三,坐標(biāo)變換為大地或施工區(qū)坐標(biāo)形式,而這正是高效測(cè) 設(shè)曲線的現(xiàn)代開展所需要的坐標(biāo)形式.我們知道,盤旋曲線起點(diǎn)處曲率半徑 p二 ,隨著離曲線起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度 增加,

5、曲率半徑由大變小.因此,卵形曲線兩圓之間盤旋線的起點(diǎn)必在相接圓半 徑較大的圓曲線那一端.由此再確定盤旋線的右或左旋形式以確定獨(dú)立坐標(biāo)公式 sign的值的使用.根據(jù)盤旋線上特征點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo),可計(jì) 算出坐標(biāo)變換參數(shù),從而得到盤旋線上任意一點(diǎn)的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位以圖3為例,由于R i R ,可見盤旋線的起點(diǎn)在 R i圓曲線的那一端, 顯然,該盤旋線右旋.設(shè)盤旋曲線起點(diǎn)為 O ,起點(diǎn)處切線方向?yàn)閤軸,法線方 向?yàn)閥軸,建立獨(dú)立坐標(biāo)系.O-YH 弧長(zhǎng)：l i = A 2 /RO-HY 弧長(zhǎng)：l s =li+l = A 2 /R這里,l 0=1yh-hy為緩和曲線段長(zhǎng)度.緩和曲線上任意點(diǎn)

6、P至起點(diǎn)O的弧長(zhǎng)為l= l 1 +l這里,l為P至圓緩點(diǎn)YH的弧長(zhǎng).將l 1 , l s, T 分別替代l代入式(7)、式(8)得到圓緩點(diǎn)YH、緩圓 點(diǎn)HY、任意點(diǎn)P獨(dú)立坐 標(biāo)系坐標(biāo)x yh, 丫丫耳Xhy yHY Xp, yp(注意,計(jì)算時(shí)式中R =R 2 ) o設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系xOy原點(diǎn)O的大地坐標(biāo)為(%Y) , x軸的大地方位角為 a 0 ,由YH、HY點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)可分別反算直線 YH-HY的坐標(biāo)方 位角 a i , a 2 ,那么a o a i- a 2(13)于是,獨(dú)立坐標(biāo)系中任意一點(diǎn) P (x,y)的大地坐標(biāo)X , Y為X = X 0 +xcos a 0- ysin a 0(

7、14)Y = Y 0 +xsin a o+ycos a 0(15)這里,X o,Y)可由點(diǎn)YH或HY坐標(biāo)數(shù)據(jù)(大地、獨(dú)立)用上兩式求得. P點(diǎn)切線大地方位角a = a o+sign B(16)法線大地方位角r = ( a-sign90) 180(17)三、算例廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)見表 1 ,緩和曲 線參數(shù)A = 30 0 ,緩和曲線長(zhǎng)度l o =157.50 m ,兩相接圓曲半徑見圖4. 求緩和曲線內(nèi)兩里程樁號(hào)點(diǎn)的大地坐標(biāo)及法向方位角.表1 局部設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)點(diǎn) 號(hào))/(里程樁號(hào))/( X/m)/( Y / m)/(其他數(shù)據(jù)圓緩點(diǎn)(YH)/( K+327.43)/(3

8、961.506)/(4 033.679)/(Ti=59.95交 點(diǎn)(JD)/( K+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/( F=97.98緩圓點(diǎn)(HY)/( K+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(8 = 10 54 13簡(jiǎn)要計(jì)算如下：因R 2 R ,可見盤旋線起點(diǎn)在 R 2端且左旋sign=-1,建立獨(dú)立坐標(biāo) 系如圖4 .那么l 1 =A/R2=30 ml s=l i+1 o=A2/ Ri = 187.50 m由此代入式(7)、式(8)并注意到R = R 1 =480得HY , YH點(diǎn)獨(dú)立坐標(biāo)為- 0- 0512.174由直線HY-YH的大地方位角 a i和獨(dú)立方位角a 2得獨(dú)立坐標(biāo)軸x的大地方 位角a =a 1- a 2 = 138 51 05那么X o = 4 094.145 Y 0 = 3 901.605于是緩和曲線上點(diǎn)K 0 +420處、K 0 +380處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得K 0 +420 : ( l =1 1+484.93-420=94.93)x =94.906 y =-1.584 B = 2 52 06X =4 0