大一期末考試微積分試題帶答案

1、第一學期期末考試試卷一、填空題(將正確答案寫在答題紙的相應位置.答錯或未答，該題不得分.每小 題3分，共15分.)11 . lim xsin =0.T x2 .設 f (x) = lim (n ；1)x ,則 f(x)的間斷點是 x=0.5 nx 13 .已知 f (1)=2,f'(1)= 1，則 d2 xq =.4 dx 一a4 . (xx ) =.5 .函數(shù)f (x) =4x3 -x4的極大值點為.二、單項選擇題(從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫 在答題紙的相應位置.答案選錯或未選者，該題不得分.每小題3分，共15分.)1 .設f(x)的定義域為(1,2),則

2、f(lgx)的定義域為.A. (0,lg2) B. 0,lg 2 C. (10,100) D. (1,2).2 .設對任意的 x,總有中(x) W f (x) Wg(x),使 limg(x)-邛(x) = 0,則lim f (x).x 二A.存在且一定等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定存在.x3.極限 lim e =.x 0 x 1 - 2xA. e2 B. e" C. e D.不存在.4.設 f(0) = 0,A. 0 B. 1(0) =1 ,則 lim f(3x)* f (-2x)= xTtanxC. 2 D.5.5.曲線y=生漸近線的條數(shù)為.21 -xA. 0

3、 B , 1 C . 2 D.3.三、(請寫出主要計算步驟及結果，8分.)_x求1xm0e -sin x -12sin x四、(請寫出主要計算步驟及結果,1求 lim (cosx)x2.x_0 -五、(請寫出主要計算步驟及結果，8分.)確定常數(shù)a,b,使函數(shù)f(x) = !X(SeCX)心X0處處可導. ax b x _ 0六、(請寫出主要計算步驟及結果，8分.)12、設 f (x) =xarctan x -ln(1 +x )，求 dy .dy=arctanxdx 2七、(請寫出主要計算步驟及結果，8分.)已知x2 -2xy + y3 =6確定y是x的函數(shù)，求y”.八、(請寫出主要計算步驟及結

4、果，8分.)3 53 2列表求曲線y = -x3 -x3+1的凹向區(qū)間及拐點.52九、證明題(請寫出推理步驟及結果，共 6+6=12分.)1 .設f(x)在a,b上連續(xù)，且f (a) <a, f (b) >b,證明在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一2 .設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f (1) =0 ,求證：至少存在一點(0,1)，使得 3 f ,( ) f( ) =0.第一學期期末考試參考答案與評分 標準一、填空題(3X5=15)_xaa.，一1、02、 x=0 3、-44、x x (alnx + 1) 5、x = 3二、單項選擇題(3X 5=15)1、C 2

5、、C 3、A 4、B 5 、D三、(8X1=8)limo2 sin xxe - cos x鳴 2x川I川116分exsin x四、（8X1=8）1ln cosxlim xim(cos x)x =e5 xIII川川2分，一inxlim 8sx= eT+ 1| 川 |6 分1= e2川川川8分五、（8X1=8）因為f （x六（g,"）處處可導，所以f （x）在x = 0處連續(xù)可導。因為lim x(secx)x'= 0|1川1川2分 x_0 lim ax b = b|IHIIHI3分x.0 -f(x 產(chǎn)"|3|4分所以 b =0 III川1115分又因為所以a xb- 0

6、f- 0 =xl 心f 0=xl ：0六、（8X1=8）f x = arctan x -x 1 - -2x1111川 115分 1 x 2 1 x= arcsin x川IlliH6分dy =arcsin xdx 川|川1|8分七、(8X1=8)2x -2y-2xy 3y2y =0|HH|4分y'=筌*制7分2x - 2 y、y =<-) :2x -3y一 一 一一 一 2 一 一 _.(2x-3y2)2(2 -2y)(2x-3y2) -(2x-2y)(2 -6yy)八、(8X1=8)(1)定義域為_oo, -He J;第5頁共5頁(2)2y =x31 1 -3 x 332x 1;

7、川H3分3x3令廠0得X1=J'又X2=0為y”不存在的點川川川4分(3)列表:x11 )1 一8 1I 2)_1_2 ,011 2,)0(0*)IF y0+/、存在+y下凹1-目武10上凹1下凹川川1118分Q= 625時利潤最大，最大利潤為 L(625 )= 1250 8分九、證明題(6X2=12)1 .設 F(x) = f (x)-x，則有 F (x)在a,b上連續(xù)，2 分F(a) = f (a) -a <0,F(b)= f (b) b > 0JHHHH 4 分根據(jù)零值定理可得在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點t ,使F (句=0 ,即 f(4=U6分Q1-2J .八2 .設 F(x)=4f(x),則 F(x)=3x f(x)+4f(x)。