具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型的最優(yōu)控制.

1、具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型的最優(yōu)控制趙立純1,李秀穎1,2,張慶靈3,黃玉潔1,劉敬娜1(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,遼寧 鞍山 114007;2.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;3.東北大學(xué)理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 510275)摘要：根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)和生態(tài)學(xué)原理建立具有連續(xù)和脈沖效應(yīng)的最優(yōu)漁業(yè)管理模型.利用最優(yōu)脈沖控制原理,得到該模型的最優(yōu)連續(xù)和脈沖時(shí)刻以及相應(yīng)的種群數(shù)量.最后,通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的有效性.關(guān)鍵詞：漁業(yè)管理模型;脈沖控制;最優(yōu)控制原理中圖分類(lèi)號(hào)：O232 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章篇號(hào)：0 引言近些年,再生性資源的管理問(wèn)題引起了許多學(xué)者的關(guān)注,一些學(xué)者以生態(tài)學(xué)為基礎(chǔ),

2、建立了種群生態(tài)管理模型,并研究生態(tài)種群的持續(xù)生存以及最優(yōu)管理問(wèn)題,上述模型中的控制都是連續(xù)的1-7,而一些生物種群的數(shù)量會(huì)由于自然或人為的原因在很時(shí)間內(nèi)發(fā)生極大變化,脈沖微分方程能客觀地描述這些現(xiàn)象.二十世紀(jì)九十年代有關(guān)脈沖微分方程的理論研究取得了一些進(jìn)展8-10,并且這些理論得到了廣泛的應(yīng)用11-13.值得一提的是,Blaquiere將博弈論與脈沖微分方程理論相結(jié)合得出最優(yōu)脈沖控制原理14.這一理論在生態(tài)系統(tǒng)中得到了一些應(yīng)用15-18,文獻(xiàn)16中,作者根據(jù)動(dòng)物在兩個(gè)斑塊間轉(zhuǎn)換,建立了以食物剩余量為狀態(tài)且具有脈沖效應(yīng)的微分方程,利用脈沖微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論研究了最優(yōu)搜尋問(wèn)題,得到了最優(yōu)搜尋時(shí)

3、刻.文獻(xiàn)17中,作者利用脈沖微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制原理研究了具有Logistic增長(zhǎng)的單種群模型的脈沖最優(yōu)控制問(wèn)題,得到了最優(yōu)捕獲時(shí)間和最優(yōu)捕獲量.文獻(xiàn)18中,作者將微分方程周期理論與脈沖控制理論結(jié)合,利用最優(yōu)脈沖控制原理討論了具有周期系數(shù)的單種群模型的最優(yōu)脈沖控制,得到了相應(yīng)模型的最優(yōu)捕獲效果.但上述研究值強(qiáng)調(diào)了脈沖捕獲,而沒(méi)有連續(xù)捕獲.對(duì)于只有連續(xù)狀態(tài)的管理模型缺乏對(duì)脈沖現(xiàn)象的表述,對(duì)于只有脈沖控制的管理模型又缺乏對(duì)連續(xù)狀態(tài)的描述.實(shí)際上漁民在養(yǎng)魚(yú)的過(guò)程中,可能有集中捕獲的發(fā)生,也可能有分散捕獲的發(fā)生,這樣,同時(shí)具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型成為刻畫(huà)這一過(guò)程的有力工具.所以,本文以此為背景,

4、研究了具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型的最優(yōu)控制問(wèn)題,具體結(jié)構(gòu)如下:第一部分,根據(jù)生態(tài)學(xué)原理,建立具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)模型,再根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理,設(shè)立使?jié)O民獲得最大經(jīng)濟(jì)利益的性能指標(biāo),從而構(gòu)成漁業(yè)管理模型.第二部分,根據(jù)最優(yōu)脈沖控制原理研究所建模型的最優(yōu)脈沖控制問(wèn)題,得到最優(yōu)連續(xù)控制以及相應(yīng)的種群數(shù)量和最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平.第三部分,利用數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)論的有效性.收稿日期:2011-10-基金項(xiàng)目:遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20092179).作者簡(jiǎn)介:李秀穎(1986-),女,遼寧朝陽(yáng)人,遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2009級(jí)研究生 E-main: shuxuexi22lxy.11

5、 模型建立在如下四個(gè)假設(shè)情況,建立漁業(yè)管理模型:(1) 漁民管理魚(yú)池中的魚(yú)種群按Logistic增長(zhǎng)規(guī)律增長(zhǎng),則魚(yú)池中魚(yú)種群數(shù)量可由以下模型表示19 (1.1)其中是魚(yú)池中魚(yú)種群在時(shí)刻的種群數(shù)量,是魚(yú)種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,是魚(yú)池的承載能力,是初始時(shí)刻中魚(yú)池中魚(yú)的數(shù)量,且均為正數(shù).(2)漁民需要每天提供一定數(shù)量的魚(yú)種群,長(zhǎng)期進(jìn)行可看作時(shí)對(duì)魚(yú)種群的連續(xù)捕獲,單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與魚(yú)量成正比,則單位時(shí)間的捕撈量為,具體過(guò)程可由以下模型表述: (1.2)其中表示連續(xù)捕獲強(qiáng)度,.(3) 某一季節(jié)市場(chǎng)大量需要魚(yú)種群,需要對(duì)魚(yú)種群進(jìn)行大量捕撈,此時(shí)會(huì)導(dǎo)致魚(yú)的數(shù)量在極短時(shí)間內(nèi)發(fā)生很大的變化,脈沖捕獲能客觀地描述這些現(xiàn)

6、象.結(jié)合具有連續(xù)捕獲的模型,則可得出具有連續(xù)和脈沖效應(yīng)的漁業(yè)模型 (1.3)其中是脈沖捕獲時(shí)刻,是脈沖捕獲時(shí)刻的捕獲率.(4) 從經(jīng)濟(jì)角度講,漁民經(jīng)營(yíng)魚(yú)池的主要目的是通過(guò)捕獲魚(yú)種群來(lái)獲得經(jīng)濟(jì)利益,此經(jīng)濟(jì)利益是從捕獲魚(yú)種群所得的收入中減去開(kāi)支得到的,假設(shè)漁民管理魚(yú)池在時(shí)間段內(nèi)獲得的總利潤(rùn)為 (1.4) 其中是脈沖控制變量(表示無(wú)脈沖發(fā)生,表示脈沖發(fā)生);是平時(shí)捕獲過(guò)程中單位魚(yú)種群的價(jià)格,是脈沖捕獲時(shí)單位魚(yú)種群的價(jià)格;是脈沖捕獲成本.是捕獲單位魚(yú)種群的成本.注1平時(shí)的捕獲量會(huì)小于脈沖捕獲量,平時(shí)捕獲過(guò)程中魚(yú)的價(jià)格會(huì)大于脈沖捕獲時(shí)魚(yú)的價(jià)格,即.注2 對(duì)模型(1.4),一般有,根據(jù)文獻(xiàn)13,不妨假設(shè).

7、注3 為使總利潤(rùn)最大,只需使最小,根據(jù)最優(yōu)控制原理,可設(shè)性能指標(biāo)為 (1.5)綜上所述,得出以下具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型 (1.6)針對(duì)模型(1.6),利用最優(yōu)脈沖控制原理,確定使取最小值的最優(yōu)連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時(shí)刻以及相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平與最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平.2 預(yù)備知識(shí)本部分介紹最優(yōu)脈沖控制原理,以備后用.設(shè)狀態(tài)變量為(),并且,分別為正?？刂谱兞亢兔}沖控制變量,假設(shè)為函數(shù)且滿(mǎn)足: 這里,.設(shè)目標(biāo)函數(shù)為這里是函數(shù),是中的脈沖點(diǎn).定義2.114 在是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)() 在是可行性策略;() ,;這里表示處所有可行性策略,是從出發(fā)的由引起的目標(biāo)集.是從出發(fā)的由引起的目標(biāo)集.設(shè)

8、(1) 是上具有左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù);(2) ;(3) .定理2.114 存在,是方程(a) ;(b) ;在和上的解,并且滿(mǎn)足下列關(guān)系() ,;() ;() () ,;() ;當(dāng)時(shí),橫截條件變?yōu)殡S后部分,利用最優(yōu)脈沖控制原理對(duì)模型(1.6)實(shí)施控制.3 最優(yōu)脈沖控制根據(jù)定理2.1,本文的控制分為兩個(gè)部分:連續(xù)控制部分、脈沖控制部分.模型(1.1)的初值問(wèn)題的解為 (3.1)假設(shè)連續(xù)控制部分記為:和,脈沖控制部分記為:和),有用表示連續(xù)哈密頓函數(shù),表示脈沖哈密頓函數(shù),表示伴隨變量,于是有 (3.2a) (3.2b)根據(jù)式(3.2),本文的最優(yōu)控制分為兩部分進(jìn)行.3.1 連續(xù)控制由定理2.1的式(

9、a)有 (3.3)由式(3.3),得 (3.4)由定理2.1的()可得如下三種情況 (3.5)假設(shè)脈沖捕獲時(shí)刻為,則在內(nèi),模型(1.6)是連續(xù)系統(tǒng).由于控制在連續(xù)型哈密頓函數(shù)(1.5)中以線性方式出現(xiàn),并且模型(1.6)對(duì)有約束,根據(jù)最優(yōu)控制原理20來(lái)討論最優(yōu)連續(xù)控制.式(3.2a)可改寫(xiě)為由,得 (3.6)由式(3.6),有 (3.7)式(3.6)代入式(3.3)中,并結(jié)合式(3.7)消去控制,得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻時(shí)的種群數(shù)量根據(jù)文獻(xiàn)20,如果函數(shù)不是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則會(huì)產(chǎn)生奇異現(xiàn)象,下面就來(lái)看函數(shù)是否具有單調(diào)性.首先討論的單調(diào)性,由于 (3.8)因?yàn)?所以有.則式(3.8)的解為由于,所

10、以有進(jìn)一步,有易知,從而是嚴(yán)格增函數(shù).本文假設(shè)在進(jìn)行脈沖捕獲前解曲線的斜率為正的,所以當(dāng)時(shí),從而是嚴(yán)格增函數(shù),又因?yàn)槭浅?shù),所以是嚴(yán)格減函數(shù),從而本文的連續(xù)控制不存在奇異現(xiàn)象.由上述分析可知,只可能有一個(gè)零點(diǎn).由最優(yōu)控制原理知最優(yōu)連續(xù)控制函數(shù)是分段常值函數(shù).根據(jù)式(3.5),或者從到,或者從到.就這兩種情況,分別作出如下討論:情況1 如果在開(kāi)始時(shí)刻魚(yú)種群數(shù)量較少,為使魚(yú)種群增長(zhǎng)速度不至于過(guò)慢,對(duì)魚(yú)種群需進(jìn)行少量捕撈,捕撈努力應(yīng)該小,故開(kāi)始時(shí)刻有,開(kāi)關(guān)是從到.如圖3.1所示.情況2 如果在開(kāi)始時(shí)刻魚(yú)種群數(shù)量較大,可以實(shí)施最大捕獲努力來(lái)抑制種群增長(zhǎng)速度,此時(shí)在開(kāi)始時(shí)刻有,開(kāi)關(guān)是從到.如圖3.2所示

11、. 圖3.1 情況1的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換圖 圖3.2 情況2的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換圖針對(duì)情況1,根據(jù)式(3.1)可得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻 從而得到相應(yīng)情況下的最優(yōu)連續(xù)控制為 綜上所述,可得如下定理:定理3.1 對(duì)于模型(1.6),魚(yú)種群的初始狀況為情況1時(shí),最優(yōu)的連續(xù)控制取,得到最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻及相應(yīng)的種群數(shù)量為, 針對(duì)情況2,據(jù)式(3.1)可得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻 從而得到相應(yīng)情況下的最優(yōu)連續(xù)控制為可得如下定理:定理3.2 對(duì)于模型(1.6),魚(yú)種群的初始狀況為情況2時(shí),最優(yōu)的連續(xù)控制取,得到最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻及相應(yīng)的種群數(shù)量為, 假設(shè)魚(yú)種群增長(zhǎng)曲線沿著上述討論的曲線走向脈沖捕獲,則連續(xù)控制

12、轉(zhuǎn)換后成為,魚(yú)種群在之前的時(shí)刻轉(zhuǎn)換到新的斑塊,即發(fā)生脈沖捕獲.針對(duì)上述兩種情況,分別研究在具有連續(xù)控制基礎(chǔ)上的最優(yōu)脈沖控制.3.2 脈沖控制首先,對(duì)于情況1.由定理2.1的式(b)有 (3.9)由式(3.4),得 (3.10)由定理2.1的()可得如下三種情況 (3.9)式()表示有脈沖發(fā)生的情況,式()表示無(wú)脈沖發(fā)生的情況,式()代表式()與式()的邊界情況,這個(gè)邊界定義為定義集合其中集合是進(jìn)行脈沖捕獲行為的區(qū)域,集合是不進(jìn)行脈沖捕獲行為的區(qū)域.根據(jù)模型(1.3)有 (3.12)漁民管理魚(yú)池是通過(guò)捕獲魚(yú)種群來(lái)獲得利益,脈沖捕獲是獲得最大經(jīng)濟(jì)利用的一種途徑,假設(shè)式()成立,結(jié)合式(3.4)與式

13、(3.12),有根據(jù)定理2.1的(),得進(jìn)一步有 (3.13)把式(3.6)代入式(3.13)中,得 (3.14) 此處有三點(diǎn)說(shuō)明:(1) 設(shè)由式(3.14)定義的曲線為,則最優(yōu)的脈沖捕獲只能發(fā)生在曲線上.(2) 如果連續(xù)控制下的解曲線式(3.1)與曲線相交,則在交點(diǎn)處進(jìn)行的脈沖捕獲是連續(xù)控制作用下所實(shí)施的最優(yōu)脈沖捕獲.(3) 對(duì)于說(shuō)明(2)中的交點(diǎn),如果此交點(diǎn)屬于集合,則表示可以進(jìn)行脈沖捕獲,并且是可允許的連續(xù)控制作用下所實(shí)施的最優(yōu)脈沖捕獲.如果此交點(diǎn)屬于集合,則表示無(wú)脈沖捕獲發(fā)生.由式(3.1)與式(3.14)可以得到最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻,具體如下進(jìn)一步,得 (3.15)由于最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻,

14、在時(shí),最優(yōu)的連續(xù)控制取,所以令其中.如果,且,則由式(3.15)可得相應(yīng)于定理1的最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻 (3.16)式(3.16)代入式(3.10)中,令 (3.17)其中.式(3.17)代入式(3.14)中,可得相應(yīng)于定理3.1的最優(yōu)收獲水平綜上所述,對(duì)情況1可得如下定理:定理3.3 對(duì)于模型(1.6),如果定理3.1的條件被滿(mǎn)足,且滿(mǎn)足以下條件(1) ,且,(2) ,則模型(1.6)存在最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平 其次,對(duì)于情況2.對(duì)脈沖控制的討論(式(3.11)-式(3.15)如情況1. 但在求最優(yōu)脈沖時(shí)刻時(shí),對(duì)于情況2,最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻,在時(shí),最優(yōu)的連續(xù)控制取,所以令其中.如果,

15、且,則由式(3.15)可得相應(yīng)于定理3.2的最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻 (3.18) 式(3.18)代入式(3.10)中,令 (3.19) 其中.式(3.19)代入式(3.14)中,可得相應(yīng)于定理3.2的最優(yōu)收獲水平綜上所述,對(duì)情況2可得如下定理:定理3.4 對(duì)于模型(1.6),如果定理3.2的條件被滿(mǎn)足,且滿(mǎn)足以下條件(1) ,且,(2) ,則模型(1.6)存在最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平 4 數(shù)值模擬下面通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)檢驗(yàn)結(jié)論的有效性.對(duì)于定理3.3,令,初始值為,并且這些常數(shù)的含義如前文所述.則最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻以及相應(yīng)的種群數(shù)量、最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻以及相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平如圖4.3所示.

16、 對(duì)于定理3.4,令,初始值為,其余參數(shù)取值同上,則最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻以及相應(yīng)的種群數(shù)量、最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻以及相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平如圖4.4所示 圖4.3 情況1時(shí)的最優(yōu)脈沖控制曲線 圖4.4 情況2時(shí)的最優(yōu)脈沖控制曲線在圖4.3中,曲線為魚(yú)種群的增長(zhǎng)曲線,曲線是能夠發(fā)生最優(yōu)脈沖的曲線,是可能發(fā)生脈沖的區(qū)域,是不能發(fā)生脈沖的區(qū)域,而曲線正是這兩個(gè)區(qū)域的分界線.魚(yú)池中的魚(yú)種群在初始時(shí)刻的數(shù)量為,隨著時(shí)間的變化魚(yú)種群數(shù)量在不斷地增長(zhǎng),由定理3.1知,當(dāng)時(shí)間從初始時(shí)刻到最優(yōu)的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時(shí)刻,連續(xù)控制取最小值,在最優(yōu)的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時(shí)魚(yú)種群數(shù)量為,當(dāng)時(shí)連續(xù)控制取最大值.由定理3.3知,當(dāng)魚(yú)種群數(shù)量增

17、長(zhǎng)曲線與曲線相交于區(qū)域內(nèi),此時(shí)即為進(jìn)行脈沖捕獲的最優(yōu)時(shí)刻,相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平為.圖4.4的討論與圖4.3的討論類(lèi)似.由圖4.3與圖4.4不難看出,魚(yú)種群數(shù)量增長(zhǎng)曲線受連續(xù)捕獲影響,從而影響著最優(yōu)脈沖捕獲時(shí)刻以及最優(yōu)捕獲水平.5 結(jié)束語(yǔ)本文研究了通過(guò)魚(yú)池養(yǎng)魚(yú)來(lái)實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)利益的實(shí)際問(wèn)題.當(dāng)魚(yú)種群按照自然規(guī)律增長(zhǎng)時(shí),對(duì)其施加連續(xù)以及脈沖控制以獲得最大的經(jīng)濟(jì)利益.在定理3.3和定理3.4滿(mǎn)足的條件下,確定了最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時(shí)刻以及連續(xù)控制的值,并找出了連續(xù)控制情況下進(jìn)行脈沖捕獲的最優(yōu)時(shí)刻,在這個(gè)時(shí)刻對(duì)魚(yú)種群進(jìn)行脈沖捕獲,可以使?jié)O民在整個(gè)過(guò)程中獲得最大的經(jīng)濟(jì)利益.本文以漁民獲利為原則,未考慮使生態(tài)資源持

18、續(xù)生存的優(yōu)化問(wèn)題,在隨后的研究中,將把優(yōu)化問(wèn)題以及多次脈沖捕獲與經(jīng)濟(jì)效益結(jié)合,研究使經(jīng)濟(jì)獲益最大并且使生態(tài)持續(xù)生存的問(wèn)題.參 考 文 獻(xiàn)1 王麗娟.微分方程的最優(yōu)控制J. ,2002,2 陳蘭蓀,劉平舟,肖藻.種群生態(tài)系統(tǒng)的持續(xù)生存J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988,3(1):18-32.3 l李晶,陳思.淺談最優(yōu)控制J.黑龍江科技信息,2008,27.4 Song Xinyu,Chen Lansun.Optimal harvesting and stability for a two-species competitive system with stage structureJ.Mathemati

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