12反比例函數(shù)k的幾何意義(第4課時(shí))(1)

1、26.1.3反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3內(nèi)容：內(nèi)容：反比例函數(shù)中反比例函數(shù)中“k”的幾何意義的幾何意義 與面積相關(guān)聯(lián)的題目分析與面積相關(guān)聯(lián)的題目分析 與 的P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE反比例函數(shù)與矩形面積反比例函數(shù)與矩形面積 例例1. 如圖，如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別向點(diǎn)分別向x軸、軸、y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，求，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。解：解：設(shè)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y), 則則OA=x,AP=-y 矩形矩形OAPB的面積的面積

2、S=6 OAAP=6，即，即-xy=6 這個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：這個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系式為： P(x,y)Aoyx Bxy6P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過(guò)過(guò)矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPB過(guò)反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)過(guò)反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P P分別作分別作x x軸、軸、y y軸的垂線，垂足軸的垂線，垂足分別為分別為A,BA,B，它們與坐標(biāo)軸形成的，它們與坐標(biāo)軸形成的矩形面積矩形面積是是不變的。不變的。 推廣：反比例函數(shù)與三角形面積推廣：反比例函數(shù)與三角形面積 例例2. 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)

3、A在反比例函數(shù)在反比例函數(shù) 圖象上，圖象上，AB垂直垂直于于x軸，垂足為軸，垂足為B.求求OAB的面積。的面積。 解解：設(shè)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），），點(diǎn)點(diǎn)A在在 圖象上圖象上xy=-8，xy=8=8 421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx則則垂足為垂足為軸的垂線軸的垂線作作過(guò)過(guò)有有上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)是雙曲線是雙曲線設(shè)設(shè),) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP過(guò)P作x軸的垂線，垂足為A,則它與坐標(biāo)軸形成的三角形的面積是不變的，為：PDoyx1.1.如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P是反

4、比例函數(shù)是反比例函數(shù) 圖象上的圖象上的一點(diǎn)一點(diǎn),PDx,PDx軸于軸于D.D.則則PODPOD的面積為的面積為 . .xy21 12.2.如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn), ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,若陰影部分面積為若陰影部分面積為1,1,則這個(gè)反比例則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是函數(shù)的關(guān)系式是 . .PDoyxPyxOCxy22KS SK的面積不變性的面積不變性 (0)kykx(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面積與面積與P P的位置無(wú)關(guān)的位置無(wú)關(guān)（2）當(dāng)）當(dāng)k符號(hào)不確定的情況符號(hào)不確定的情況下須下

5、須分類討論分類討論P(yáng)Q0 xy）（yx,P0 xy）（yx, 3、在雙曲線、在雙曲線 上上任一點(diǎn)分別作任一點(diǎn)分別作x軸、軸、y軸的垂線段，軸的垂線段，與與x軸軸y軸圍成矩形面積為軸圍成矩形面積為12，求函，求函數(shù)解析式數(shù)解析式_。xky (X0)(X0)yxOxy12xy12或或A._,)0(1,. 4321111111則有面積分別為的記邊結(jié)三點(diǎn)軸于交軸引垂線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)分別向的圖像上有三點(diǎn)在如圖SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy3如

6、圖，如圖，A,B是雙曲線是雙曲線 上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)向兩點(diǎn)向X軸、軸、y軸作垂線段，若軸作垂線段，若 .211SSS，則陰影4Oyxs1s2 如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P、Q Q是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn), ,過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P P、Q Q分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,則則S S1 1( (黃色三角形）黃色三角形）S S2 2( (綠色三角形）的面積大小關(guān)系是：綠色三角形）的面積大小關(guān)系是：S1 _ _ S2. .PQ 趁熱打鐵，大顯身手（提高篇）趁熱打鐵，大顯身手（提高篇）=xyOP1P2P3P41234如圖，在反比例函數(shù)如圖，在反比

7、例函數(shù) 的圖象上，有點(diǎn)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4分別過(guò)這些點(diǎn)作分別過(guò)這些點(diǎn)作 軸與軸與 軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為 ，則，則1234PPPP， ， ，xy2yx（x0)123SSS， ，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值嗎？的值嗎？132.S1呢？呢？1 例例2. 如圖，正比例函數(shù)如圖，正比例函數(shù) 與反比例函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象相交于的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作點(diǎn)作x軸的垂線交軸的垂線交x軸于軸于B，連結(jié)連結(jié)BC，則

8、，則 面積面積S為多少？為多少？ 解：因?yàn)辄c(diǎn)解：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱， 設(shè)設(shè)A（x,y），則），則C(-x,-y),過(guò)過(guò)C點(diǎn)做點(diǎn)做 CD垂直與垂直與X軸軸,垂足為垂足為D點(diǎn)點(diǎn)所以所以ykx k()0yx1ABC21|212121kxyABOBSAOB21|212121kyxCDOBSBOC1221ABCSBOCAOBABCSSSD. 1,6)2( :xyxy解. 3, 22, 3yxyx或解得).2, 3(),3 , 2(BAAy yOBxMNy=kx+1y=kx+1的圖像交于的圖像交于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)A A的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)是3.3. 已知：如

9、圖已知：如圖, ,反比例函數(shù)反比例函數(shù) 與一次函數(shù)與一次函數(shù)xy6（1 1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式（2 2）求）求AOBAOB的面積的面積. .變式變式練習(xí)練習(xí)1 正比例正比例函數(shù)函數(shù)y=y=x與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y= y= 的圖象相交于的圖象相交于A A、C C兩點(diǎn)兩點(diǎn).ABx.ABx軸于軸于B,CDyB,CDy軸于軸于D(D(如圖如圖),),則四邊形則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為( )( ) （A A）1 1 （B B） （C C）2 2 （D D）1x3252變式變式練習(xí)練習(xí)2yBAxo o例例3、如、如圖，已知，圖，已知，A,B是雙曲線是雙曲線 上

10、的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的條件下，若點(diǎn)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為為3，連接，連接OA,OB,AB，求，求OAB的面積。的面積。CDE解法一：解法一：yBAxo o例例3、如、如圖，已知，圖，已知，A,B是雙曲線是雙曲線 上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的條件下，若點(diǎn)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為3，連接連接OA,OB,AB，求，求OAB的面積。的面積。C(5,0)解法二：解法二：yBAxo o如圖，已知，如圖，已知，A,B是雙曲線是雙曲線 上的兩點(diǎn)

11、，上的兩點(diǎn)，)0( kxky（1）若）若A(2,3)，求，求K的值的值（2）在）在(1)的條件下，若點(diǎn)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為3，連接連接OA,OB,AB，求，求OAB的面積。的面積。C CD D解法三：解法三：yxoBEACD 若若A(mA(m，n)n)是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0m30m0)與矩形與矩形OABC的邊的邊AB、BC交于交于F、E兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且BE=CE，四邊形，四邊形OEBF的面積為的面積為2 .1.求證：求證：AF=BF2.求三角形求三角形OAF的面積的面積3.求求k的值的值xky yxOABCFE解法一：面積法解法一：面

12、積法解法二：函數(shù)法解法二：函數(shù)法練習(xí)練習(xí)：1.如如圖，點(diǎn)圖，點(diǎn)A在雙曲線在雙曲線 上上，點(diǎn)，點(diǎn)B在在雙曲線雙曲線 上，且上，且ABx軸，軸，C、D在在x軸上，若四邊形軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的為矩形，則它的面積為面積為 .2.如圖，過(guò)反比例函數(shù)如圖，過(guò)反比例函數(shù) 的圖象上任意的圖象上任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)A、B分別作分別作x軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)連結(jié)OA、OB。設(shè)。設(shè)AC與與OB的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為E， 與與梯形梯形ECDB的面積分別為的面積分別為S1、S2，比較它們的，比較它們的大小，可得（大小，可得（ ） A. B. C. D. 大小關(guān)系不能確定大小關(guān)系不能確定1

13、yx3yxyxx10()AOE21SS SS12SS12E3.如圖，如圖，A、B是函數(shù)是函數(shù) 的圖象上關(guān)于原點(diǎn)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC平行于平行于y軸，軸，BC平行于平行于x軸，軸， 的的面積為面積為S，則（，則（ ） A. S1 B. C. S2 D. xy1ABC12SS 24.如圖，函數(shù)如圖，函數(shù) 和和 的圖象分別是的圖象分別是 和和 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在在 上，上，PCx軸，垂足軸，垂足為為C，交，交 于點(diǎn)于點(diǎn)A，PDy軸，垂足為軸，垂足為D，交交 于點(diǎn)于點(diǎn)B，則三角形，則三角形PAB的面積為的面積為_(kāi).xy1xy31l2l1l2l2l5、（、（2011湖北）如圖

14、，雙曲線湖北）如圖，雙曲線 經(jīng)過(guò)四邊形經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A、C，ABC90，OC平分平分OA與與x軸軸正半軸的夾角，正半軸的夾角，ABx軸軸，將，將ABC沿沿AC翻折后得到翻折后得到ABC，B點(diǎn)落在點(diǎn)落在OA上，則四邊形上，則四邊形OABC的面積的面積是是 .)0(2xxyD6、如圖，已知直線yx2分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線 交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若AB2EF，則k的值是（ ） A1 B1 C D xky 2143利用幾何知識(shí)解決問(wèn)題利用幾何知識(shí)解決問(wèn)題（2，0）（0，2） 7、如圖，一次函數(shù)y=kx1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù) （x0）的圖象交于點(diǎn)B，BC垂直x軸

15、于點(diǎn)C若ABC的面積為1，則k的值是 xy3函數(shù)法函數(shù)法,方程思想方程思想8、如圖，反比例函數(shù) （k0）的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)S =2，則k的值為 xky BEF（2，m） kx4x. 2,8,的縱坐標(biāo)都是的橫坐標(biāo)和點(diǎn)且點(diǎn)兩點(diǎn)的圖象交于的圖象與反比例函數(shù)已知一次函數(shù)如圖練習(xí)BABAxybkxy：AyOBx求（1 1）一次函數(shù)的解析式）一次函數(shù)的解析式（2 2）根據(jù)圖像寫出使一）根據(jù)圖像寫出使一 次函數(shù)的值小于反比例函次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的數(shù)的值的x x的取值范圍。的取值范圍。 如圖所示，已知直線如圖所示，已知直線y1=x+m與與x軸、軸、y 軸分軸

16、分別交于點(diǎn)別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線與雙曲線y2= （ky2（2）求出點(diǎn)）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（1）分別求直線）分別求直線AB與雙曲線的解析式；與雙曲線的解析式； 與 的P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE總結(jié)提高總結(jié)提高一個(gè)性質(zhì)：反比例函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：反比例函數(shù)的面積不變性面積不變性兩種思想：兩種思想：分類討論分類討論和和數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 已知已知：直線：直線AB過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A（m,0) ， B(0,n) (m0,n0)。反比例函數(shù)反比例函數(shù) 的的圖象與圖象與AB交于交于C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn)。若若 ,求求n的值。的值。yxABCDO?DOBCODAOCSSSxmy MN拓拓展展提提高高 如圖，已知正方形如圖，已知正方形OABC的面積為的面積為9，點(diǎn)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在在x軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)C在在y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)B在函數(shù)在函數(shù)y=k/x的圖象上，點(diǎn)的圖象上，點(diǎn)P(m,n) 是圖象上