多元統(tǒng)計(jì)分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告樣例女性空腹及攝入食糖后體內(nèi)血糖含量主成分分析

1、目 錄目 錄I一、問題分析11.1 問題重述1 問題分析1二、主成分分析方法基本原理22.1 主成分分析基本思想22.2 主成分分析的數(shù)學(xué)模型22.3 主成分分析的計(jì)算步驟3三、問題求解5四、結(jié)果分析74.1 相關(guān)系數(shù)矩陣74.2 協(xié)方差陣8五、總 結(jié)9六、課程設(shè)計(jì)心得體會(huì)9參考文獻(xiàn)10一、問題分析 問題重述49位女性在空腹情況下三個(gè)不同時(shí)刻的血糖含量（用表示）和攝入等量食糖一小時(shí)后的三個(gè)時(shí)刻的血糖含量（用小表示）的觀測(cè)值（單位：mg/100ml）.問題：分別從樣本協(xié)方差陣S和樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R出發(fā)做主成分分析，求主成分的貢獻(xiàn)率和各個(gè)主成分. 在兩種情況下，你認(rèn)為應(yīng)保留幾個(gè)主成分？其意義如何解

2、釋？就此而言，你認(rèn)為基于S和R的分析那個(gè)結(jié)果更為合理？ 問題分析我們根據(jù)主成分分析的基本思想，設(shè)法將原來眾多的具有一定相關(guān)性的指標(biāo)，重新組合成一組新的互不相關(guān)的綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo)。通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來個(gè)指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)。然后，在所有的線性組合中分別從樣本協(xié)方差陣S和樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R出發(fā)做主成分分析，計(jì)算出各個(gè)主成分，進(jìn)而代表原來個(gè)指標(biāo)的信息。進(jìn)一步，建立主成分分析的數(shù)學(xué)模型。最后利用sas統(tǒng)計(jì)軟件來求解出各個(gè)主成分和各主成分的貢獻(xiàn)率。二、主成分分析方法基本原理 主成分分析基本思想主成分分析是數(shù)學(xué)上對(duì)數(shù)據(jù)降維的一種方法。其基本思想是設(shè)法將原來眾多的具有一定相關(guān)性的指標(biāo)

3、（比如個(gè)指標(biāo)），重新組合成一組新的互不相關(guān)的綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo)。通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來個(gè)指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)。但是這種線性組合，如果不加限制，則可以有很多，應(yīng)該如何去選取呢？在所有的線性組合中所選取的應(yīng)該是方差最大的，故稱為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來個(gè)指標(biāo)的信息，再考慮選取即選第二個(gè)線性組合。為了有效地反映原有信息，已有的信息就不需要再出現(xiàn)在中，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是要求。稱為第二主成分，依此類推可以構(gòu)造出第三、第四、第個(gè)主成分。 主成分分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)有個(gè)樣品（多元觀測(cè)值），每個(gè)樣品觀測(cè)項(xiàng)指標(biāo)（變量）：，得到原始數(shù)據(jù)資料陣：其中.用數(shù)據(jù)矩陣的個(gè)列向量（即個(gè)指標(biāo)向

4、量）作線性組合，得綜合指標(biāo)向量：簡(jiǎn)寫成：為了加以限制，對(duì)組合系數(shù)作如下要求：即：為單位向量：，且由下列原則決定：1) 與互不相關(guān)，即，其中是的協(xié)方差陣。2) 是的一切線性組合（系數(shù)滿足上述要求）中方差最大的，即: ，其中是與不相關(guān)的一切線性組合中方差最大的，是與，都不相關(guān)的的一切線性組合中方差最大的。 滿足上述要求的綜合指標(biāo)向量就是主成分，這個(gè)主成分從原始指標(biāo)所提供的信息總量中所提取的信息量依次遞減，每一個(gè)主成分所提取的信息量用方差來度量，主成分方差的貢獻(xiàn)就等于原指標(biāo)相關(guān)系數(shù)矩陣相應(yīng)的特征值，每一個(gè)主成分的組合系數(shù):就是相應(yīng)特征值所對(duì)應(yīng)的單位特征向量。方差的貢獻(xiàn)率為 其中，越大，說明相應(yīng)的主成

5、分反映綜合信息的能力越強(qiáng)。2.3 主成分分析的計(jì)算步驟(1) 計(jì)算協(xié)方差矩陣計(jì)算樣品數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：其中, (2) 求出的特征值及相應(yīng)的特征向量求出協(xié)方差矩陣的特征值及相應(yīng)的正交化單位特征向量：則的第個(gè)主成分為(3) 選擇主成分 在已確定的全部個(gè)主成分中合理選擇個(gè)來實(shí)現(xiàn)最終的評(píng)價(jià)分析。一般用方差貢獻(xiàn)率解釋主成分所反映的信息量的大小，的確定以累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到足夠大（一般在85%以上）為原則。(4) 計(jì)算主成分得分計(jì)算個(gè)樣品在個(gè)主成分上的得分： (5) 標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)際應(yīng)用時(shí)，指標(biāo)的量綱往往不同，所以在主成分計(jì)算之前應(yīng)先消除量綱的影響。消除數(shù)據(jù)的量綱有很多方法，常用方法是將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即做如下數(shù)據(jù)變

6、換：其中， ， ，標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)陣記為，其中每個(gè)列向量（標(biāo)準(zhǔn)化變量）的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，數(shù)據(jù)無量綱。標(biāo)準(zhǔn)化后變量的協(xié)方差矩陣（Covariance Matrix），即原變量的相關(guān)系數(shù)矩陣（Correlation Matrix）此時(shí)個(gè)樣品在個(gè)主成分上的得分應(yīng)為：三、問題求解1. 使用“分析家”做主成分分析的步驟1) 在“分析家”中打開數(shù)據(jù)集； 2) 選擇菜單“Statistics（統(tǒng)計(jì)）”®“Multivariate（多元分析）”®“Principal Components（主成分分析）”，打開“Principal Components”對(duì)話框； 3) 在對(duì)話框中輸入主成

7、分分析的變量，如圖所示。圖6-1 多元分析對(duì)話框 3) 單擊“Method”按鈕，在打開的對(duì)話框中可以選擇計(jì)算協(xié)方差矩陣的特征值或是計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值。系統(tǒng)默認(rèn)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，單擊“OK”按鈕返回。 4) 單擊“Output”按鈕，在打開的對(duì)話框（圖左）中包括“Descriptive Statistics”選項(xiàng)、“Bivariate Plots”選項(xiàng)以及各種多元分析的選項(xiàng)。選中“Principal Component Analysis”復(fù)選框，單擊下面的“Principal Component Options”按鈕，打開“Principal Component Opt

8、ions”對(duì)話框，選中“Eigenvectors”復(fù)選框，取消“Correlations(Structure)”復(fù)選框，如圖右所示。四、結(jié)果分析4.1 相關(guān)系數(shù)矩陣變量的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)關(guān)系矩陣相關(guān)系數(shù)關(guān)系矩陣的特征值特征向量主成分分析：,其中，4.2 協(xié)方差陣協(xié)方差矩陣特征值特征向量主成分分析：,其中，五、總 結(jié)本次課程設(shè)計(jì)，我們運(yùn)用sas統(tǒng)計(jì)軟件，來分析“女性空腹及攝入食糖后體內(nèi)血糖含量主成分分析”，我們從樣本協(xié)方差陣S和樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R出發(fā)來做主成分分析，進(jìn)一步來求出主成分的貢獻(xiàn)率和各個(gè)主成分的模型. 同時(shí)，在應(yīng)用軟件操作時(shí)，我們求解出了相應(yīng)的協(xié)方差系數(shù)矩陣，特征值以及特征向量，從而

9、寫出了主成分的模型和各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率。與此同時(shí)，我們亦討論了在從樣本協(xié)方差陣S和樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R出發(fā)來做主成分分析的這兩種情況下，我們應(yīng)保留的主成分是什么。 六、課程設(shè)計(jì)心得體會(huì)通過本次課程設(shè)計(jì)，使我們對(duì)多元統(tǒng)計(jì)分析的主成分分析有了進(jìn)一步了解。主成分分析是將多指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)綜和指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。在實(shí)際問題中，研究多指標(biāo)的問題是經(jīng)常遇到的問題，多元統(tǒng)計(jì)分析處理的是多變量(多指標(biāo))問題。由于變量個(gè)數(shù)太多，并且彼此之間存在著一定的相關(guān)性，因而使得所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)在一定程度上反應(yīng)的信息有所重疊，而且變量較多時(shí)，在高位空間上研究樣本的分布規(guī)律比較復(fù)雜，勢(shì)必增加分析問題的復(fù)雜性。從而，人們想用較少的綜合變量來代替較多的變量；而這幾個(gè)綜合變量又能反映原來變量的信息，并且彼此之間互不相關(guān)，利用降維的思想，產(chǎn)生了主成分分析。同時(shí)，讓我對(duì)sas統(tǒng)計(jì)軟件有了一定的了解，對(duì)其一些基本思想有了一些理論根據(jù)，明白了其中些許的規(guī)則。 參考文獻(xiàn)1 方開泰編著實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析上海：華東師