高數(shù)求極限方法總結(jié)

1、第一章極限計(jì)算方法總結(jié)一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1定義：數(shù)列極限、函數(shù)極限， 說(shuō)明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：；等。定義證明按著總結(jié)的四個(gè)步驟來(lái)，缺一不可！（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2極限運(yùn)算法則定理1 已知 ，都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且（1）（2）（3） 說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3兩個(gè)重要極限（1） （2） ； 說(shuō)明：（1）不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)

2、用它們的變形形式。 （2）一定注意兩個(gè)重要極限成立的條件。 例如：，；等等。4等價(jià)無(wú)窮小定理2 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有： 。說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成時(shí)（），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng)時(shí)， ； 。 定理4 如果函數(shù)都是時(shí)的無(wú)窮小，且，則當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于。5連續(xù)性 定理5 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有 。求極限的一個(gè)方法。6極限存在準(zhǔn)則 定理6（準(zhǔn)則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理7（準(zhǔn)則2） 已知為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（1） （2）

3、， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。二、求極限方法舉例1 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限例1 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 解：原式= 。例3 解：原式 。2 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)， 所以 原式= 。3 利用兩個(gè)重要極限求極限例5 解：原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則(第三章)例6 解：原式= 。例7 解：原式= 。4 利用定理2求極限例8 解：原式=0 （定理2的結(jié)果）。5 利用等價(jià)無(wú)窮小代換（定理4）求極限 例9 解：，原式= 。例10 解：原式= 。注：下面的解法是錯(cuò)誤的： 原式= 。 正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣： 。例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）5 利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（0<<2），由準(zhǔn)則1極限存在，設(shè) 。對(duì)已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。例21 解： 易見(jiàn)：因?yàn)?，所以由準(zhǔn)則2得： 。上面對(duì)求第一章極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟