高中數(shù)學(xué)選修人教A導(dǎo)學(xué)案空間向量與立體幾何313空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1、31.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)一 求兩向量的數(shù)量積如圖所示，已知正四面體O-ABC的棱長(zhǎng)為 a，求.解 由題意知 | | = | | = | | = a，且，= 120， ，= 120， =（ ）= ,= a2cos120a2cos1200【反思感悟】 在求兩向量的夾角時(shí)一定要注意兩向量的起點(diǎn)必須在同一點(diǎn)，如，60時(shí)， ，120. 已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為AB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：（1） ；（2） ；（3） .解 如圖所示，設(shè)a，b，c，則|a|c|2，|b|4，abbcca0. （1） = b （c a ）+b= | b |2 =

2、 42 = 16 .(2) = （c a +b ）（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3） = (ca)b(ba)(abc)(ba)|a|2|b|22.知識(shí)點(diǎn)二 利用數(shù)量積求角如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC所成角的余弦值解 . 因,所以 = =|cos ，| | | | cos , =84cos135 86cos120所以cos,=.即OA與BC所成角的余弦值為.【反思感悟】在異面直線上取兩個(gè)向量，則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)角的關(guān)系可能相等也

3、可能互補(bǔ)在二面角l中，A，B，C，Dl，ABCD為矩形，P，PA，且PAAD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn)(1)求二面角l的大小；(2)求證：MNAB；(3)求異面直線PA與MN所成角的大小(1)解 PA，lPAl，又ADl，PAAD=A，l平面PAD，lPD，故ADP為二面角-l-的平面角，由PA=AD得ADP=45.二面角-l-的大小為45.（2）證明 ，()， ， = = ，ADAB，APAB 0，0， MNAB.(3)解 設(shè)APa，由(2)得 a2，|a，| |a， cos，即異面直線PA與MN所成角為45.知識(shí)點(diǎn)三 利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系如圖所示，m，n是平面內(nèi)的兩條相交直線如果lm

4、，ln，求證：l . 證明 在內(nèi)作任一直線g，分別在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因?yàn)閙與n相交，所以向量m，n不平行由向量共面的充要條件知，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使gxmyn.將上式兩邊與向量l作數(shù)量積，得lgxlmyln.因?yàn)閘m0，ln0，所以lg0, 所以lg.即lg.這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，所以l.【反思感悟】證明兩直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明兩向量數(shù)量積為零已知：在空間四邊形OABC中，OABC，OBAC，求證：OCAB.證明 OABC，OBAC，= 0，= 0. (+) ( + )= = ()= ()0， ，OCAB.

5、課堂小結(jié)：空間兩個(gè)向量a，b的數(shù)量積，仍舊保留平面向量中數(shù)量積的形式，即：ab|a|b|cosa，b，這里a，b表示空間兩向量所成的角(0a，b)空間向量的數(shù)量積具有平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用數(shù)量積可以判斷空間兩直線的垂直問題，可以求兩直線夾角問題和線段長(zhǎng)度問題即(1)利用abab0證線線垂直(a，b為非零向量)(2)利用ab|a|b|cosa，b，cos，求兩直線的夾角(3)利用|a|2aa，求解有關(guān)線段的長(zhǎng)度問題 一、選擇題1若a，b均為非零向量，則ab|a|b|是a與b共線的( )A充分不必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分也非必要條件答案 A解析 ab|a|b|cosa，

6、b|a|b|cosa，b1a，b0，當(dāng)a與b反向時(shí)，不能成立2已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b|等于( )A. B.C. D4答案 C解析 |a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913.3對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是( )A若ab0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若abac，則bc答案 B解析 A中若ab，則有ab0，不一定有a0，b0.C中當(dāng)|a|b|時(shí)，a2b2，此時(shí)不一定有ab或ab.D中當(dāng)a0時(shí)，abac，不一定有bc.4已知四邊形ABCD滿足：*60，0，0，*60，則該四邊形為( )A平行四邊形 B

7、梯形C平面四邊形 D空間四邊形答案 D5已知a、b是平面內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則ca0且cb0是l的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案 B二、填空題6已知向量a、b滿足條件：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_答案 45解析 因?yàn)閍與2ba垂直，所以a(2ba)0.即2ab|a|20，所以2|a|b|cosa，b|a|20，所以4cosa，b40cosa，b，所以a與b的夾角為45.7. 已知線段AB,BD在平面內(nèi),ABD=120,線段AC,如果AB=a,BD=b,AC=c,則| |為_答案 解析 |2|2

8、222222a2b2c22abcos60a2b2c2ab.|.8已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，則_.答案 解析 由mn0，得(ab)(ab)0，列方程解得.三、解答題9. 如圖，已知E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，試求向量與所成角的余弦值. 解 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為m，a，b，c，則|a|b|c|m.abbcca0.又ab，ca. (ab)(ca)acbca2aba2m2.又| |m，|m，cos ， = .10已知在平行六面體ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的長(zhǎng)(如圖所示)； (2) 求 與的夾角的余弦值解 (1)= + + ,|2 = (+ + )2=| |2 + | |2+ | |2 + 2 ( + + )= 42 + 32 + 52 +