高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義——向量

1、2012屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義向量知識清單一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔]有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.

2、5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ),向量確實(shí)是一個好工具.特別是向量可以用

3、坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來運(yùn)算,向量運(yùn)算問題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：; ;兩個向量的數(shù)量積:=; ()=()=();(+)=+注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算

4、，例如()2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2

5、），則=(x2-x1,y2-y1)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實(shí)數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),0；當(dāng)與異向時(shí),0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，的符號與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，則兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長度);(垂直的判斷); (求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價(jià)值.注:兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大

6、小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān).叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.課前預(yù)習(xí)1在中，（ ）2.平面內(nèi)三點(diǎn),若，則x的值為()(A)-5(B)-1 (C)1 (D)53. 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：()()=0|-|()()不與垂直(3+2)(32)=9|2-4|2中，真命題是( )(A)(B)(C)(D)4.OAB中,=,=,=,若=，tR，則點(diǎn)P在( )(A)AOB平分線所在直線上 (B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上 (D)AB邊的中線上5. 正方形對角線交點(diǎn)為M，

7、坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且=（0，3），=（4，0），則=( )(A)（）(B)（） (C)（7，4） (D)（）6.已知,則實(shí)數(shù)x=_.7.已知則_,_,與的夾角的余弦值是_.8在中,若,則=.； 9. 已知的三個頂點(diǎn)分別為求的大小.10. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。11.在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量.典型例題一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念 B AC O F D E圖1EG1.如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、相等的向

8、量。變式1：如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、共線的向量。 B AC O F D E 圖2解：變式2：如圖2，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的線性運(yùn)算EG2. D CA B如圖，在平行四邊形ABCD中，a，b ，你能用a，b表示向量，嗎？變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a，b ，c ，d ， D E C A B試用a，b ， c ， d表示向量和. D C OA B變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a，b則下列各表述是正確的為（ ）ABCa + b D(a +b)變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形AB

9、CD為平行四邊形，則（）A. a+b+c+d=0B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A平行四邊形B菱形C梯形 D矩形變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件變式6：在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形變式7：已知菱形ABCD，點(diǎn)P在對角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,

10、)C.(),(0,1)D.(),(0,)變式8：已知D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=，=,則下列各式：= += +=其中正確的等式的個數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4EG3 ba如圖，已知任意兩個非零向量a、b ，試作a+ b，a+ 2b，a+ 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？變式1：已知a+ 2b，2a+ 4b，3a+ 6b (其中a、b是兩個任意非零向量)，證明：A、B、C三點(diǎn)共線證明：a+ 2b，2a+ 4b， 所以，A、B、C三點(diǎn)共線變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a+ b，a+ 2b，a+ 3b (其中a、b是兩個任意

11、非零向量)，試求m、n之間的關(guān)系EG4.已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F， D C E FA B求證：.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示EG4.已知a= (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求y變式1：與向量a= (12，5) 平行的單位向量為（ ）A BC 或 D 或變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，值為（ ）A1 B2 C D變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1

12、,1) 變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1)試問：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？EG5.設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為，(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)變式1：已知兩點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）OAPQBabA B C D變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則，(用a、b表示)四、平面向量的數(shù)量積EG6.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a+2b)(ab)變式1：已知那么與夾角為A、 B、C、 D、變式2：已知向量a和b的夾角為60，| a | 3

13、，| b | 4，則（2a b）a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3變式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則等于（ ）A.2B.2C.2D.4變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.EG7.已知|a|3，|b| 4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a+kb與ab互相垂直？變式1：已知ab，|a|2，|b| 3，且向量3a+2b與kab互相垂直，則k的值為（ ）A B C D1變式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，則a與b夾角的大小為EG8.已知a = (4，2)，求與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo)變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與

14、2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3jC3i+2jD2i3j變式2：已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=（ ）A1B1C0D2 變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ ）ABCD變式4：已知向量a（3，4），b（2，x），c（2，y）且ab，ac求|bc|的值EG9.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則 一定為（ ）A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形變式2：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若0，則O是ABC的（ ）A重心B 垂心C 內(nèi)心D 外心變式3：已知，

15、則ABC一定是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形變式4：四邊形中，（1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。 五、平面向量應(yīng)用舉例EG10.題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍變式1：如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.變式2：已知ABC中，若，求證：ABC為正三角形.變式3：已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證.變式4：四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、

16、F，求證：實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1.（08全國一3）在中，若點(diǎn)滿足，則ABCD2.（08安徽卷3）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若，,則（ ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4） 3.（08湖北卷1）設(shè),則CA.B. C. D.4.（08湖南卷7）設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則與( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5.（08陜西卷15）關(guān)于平面向量有下列三個命題：若，則若，則非零向量和滿足，則與的夾角為其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）6.（08廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)若，則（ ）

17、ABCD7.（08浙江卷9）已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D）8.（08遼寧卷5）已知O，A，B是平面上的三個點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足，則（ ） ABCD9.（08海南卷8）平面向量，共線的充要條件是（ ）A. ，方向相同B. ，兩向量中至少有一個為零向量C. ，D. 存在不全為零的實(shí)數(shù)，10.（08上海卷5）若向量，滿足且與的夾角為，則 11.（08全國二13）設(shè)向量，若向量與向量共線，則12.（08北京卷10）已知向量與的夾角為，且，那么的值為 13.（08天津卷14）已知平面向量，若，則_ 14.（08江蘇卷5），的夾角為，則15.（08江西卷13）直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，若為線段的三等分點(diǎn)，則=16（08海南卷13）已知向量，且，則= _17（08福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n=，mn1，且A為銳角.（）求角A的大??；（）求函數(shù)的值域.18.在中，角A、B、C的對邊分別為，已知向量且滿足，（）求角A的大??；（）若試判斷的形狀。19.已知向量，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和（I）求的值；（II）求的最小正周期，并