高一必修4平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、 平面向量的概念及線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如等. (3)向量的有關(guān)概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度). 零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量. 單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量. 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. 相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量. 共線向量:方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量). 規(guī)定:與任一向量共線.要點(diǎn)詮釋：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。?/p>

2、 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.3平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在 同一直線上的線段的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)二：向量的加(減)法運(yùn)算1運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則2運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：要點(diǎn)詮釋：1兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與 終點(diǎn).2.探討該式中等號(hào)成立的條件，可以解決許多相關(guān)的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)三：數(shù)乘向量1實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：(1)；(2)當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同； 當(dāng)時(shí).的方向與的方向相

3、反； 當(dāng)時(shí)，.2運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)結(jié)合律：； 分配律：，3共線向量基本定理 非零向量與向量共線的充要條件是當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)詮釋：是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.規(guī)律方法指導(dǎo)1.向量的線性運(yùn)算(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的三角形法則應(yīng)記住:連接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運(yùn)用的前提.2.共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題向量

4、共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行.該定理主要用于證明點(diǎn)共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問(wèn)題.經(jīng)典例題透析類型一：向量的基本概念1判斷下列各命題是否正確：(1)若，則；(2)若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；(3)若，則思路點(diǎn)撥：相等向量即為長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.類型二：向量的線性運(yùn)算2如圖所示，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，且用表示思路點(diǎn)撥：利用三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算，用向量法討論幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)幕蛄勘硎酒渌蛄浚绢}的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中總結(jié)升華：用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量

5、解題的基本功，除利用向量加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運(yùn)用加法三角形、平行四邊形法則，運(yùn)用減法三角形法則，充分利用三角形的中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解.舉一反三：【變式1】如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)，求的值.【答案】解：(如圖)設(shè)則 和分別共線，存在使故 ，而由基本定理得 即 類型三：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題

6、3設(shè)兩非零向量和不共線，(1)如果求證三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù)，使和共線.思路點(diǎn)撥：要證明三點(diǎn)共線，須證存在使即可.而若和共線，則一定存在，使.解析：(1)證明 共線，又有公共點(diǎn)， 三點(diǎn)共線.(2)解 和 共線，存在，使，則由于 和不共線，只能有 則.總結(jié)升華：本題充分地運(yùn)用了向量共線的充要條件，即共線存在使(正用與逆用)舉一反三：【變式1】設(shè)和是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量，試證明：A、C、D三點(diǎn)共線.證明： 又與共線，A、C、D三點(diǎn)共線.類型四：綜合應(yīng)用4在中，分別為三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且在時(shí)，分別從A，B，C出發(fā)，各以一定的速度沿各邊向B，C，A移動(dòng)，當(dāng)t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A，求證：在

7、的任何一時(shí)刻t，的重心為G.解析：設(shè)的重心為G.由已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)在邊AB，BC，CA上的速度分別是在任意時(shí)刻時(shí)，有 又為一確定向量. 的重心不變.總結(jié)升華：熟練地進(jìn)行向量的線性運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，另外中設(shè)重心為G，則應(yīng)該熟練記憶并靈活運(yùn)用.舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)分別是三邊的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明：連結(jié).因?yàn)榉謩e是三邊的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則，得(1)，同理在平行四邊形中，(2)，在平行四邊形在中，(3)將(1)(2)(3)相加，得.學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1.下面的幾個(gè)命題：若；長(zhǎng)度不等且方向相反的兩向量不一定是共線向量；若滿足且與同向，則；由

8、于方向不定，故不能與任何向量平行；對(duì)于任意向量必有.其中正確命題的序號(hào)是：( )A. B. C. D.2.在正六邊形ABCDEF中，O為其中心，則A. B. C. D.3.如圖所示，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則=( )A. B. C. D.4.若是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是( )A. B. C.D.5.如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是DC、BC中點(diǎn)，已知，用表示=_，_.6.設(shè)是兩個(gè)不共線向量，則向量與向量共線的充要條件是_.7.一條漁船距對(duì)岸4km，以2km/h速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.8.如圖，D、E是ABC中AB、AC的中點(diǎn)，M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，已知，試用分別表示.綜合探究：1.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為( )方向相同 方向相反有相等的模方向相同A.0B.1C.2D.32.在中，已知是邊上一點(diǎn)，則( )A. B. C. D.3.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，則向量與向量共線的充要條件是( )A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=4.已