高二數(shù)學不等式的證明

1、高二數(shù)學不等式的證明(二)本周學習內(nèi)容不等式證明中的綜合證明方法：1. 換元法：通過適當?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。2. 放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。3. 反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式反證：假設結(jié)論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設不正確，原命題正確。4. 數(shù)學歸納法：這是一種利用遞推關系證明與非零自然數(shù)有關的命題，可以是等式、不等式、命題。證明格式：(1)當n=n0時，命題成立；(2)假設當n=k時命題成立；則當

2、n=k+1時，證明出命題也成立。由(1)(2)知：原命題都成立。本周教學例題一、換元法：1. 三角換元：例1. 求證：證一：(綜合法)即：證二：(換元法)-1x1 令x=cos,0,則-1sin21 例2. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。證一：證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設則例3. 若x2+y21，求證：證：設則例4. 若x>1，y>1，求證：證：設則例5

3、. 已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：證：a>1,b>0,a-b=1，不妨設則小結(jié)：若0x1，則可令若x2+y2=1，則可令x=cos， y=sin (0<2)若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan (0<2)若x1，則可令，若xR，則可令2. 代數(shù)換元：例6：證明：若a>0，則證：設則即原式成立小結(jié)：還有諸如“均值換元”“設差換元”的方法。二、放縮法：例7. 若a,b,c,dR+，求證：證：記a,b,c,dR+1<m<2 即原式成立例8. 當n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1證：n>2

4、 logn(n-1)>0，logn(n+1)>0n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1例9. 求證：證：三. 反證法例10. 設0<a,b,c<1，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不可能同時大于證：設則三式相乘： 又0<a,b,c<1 同理：以上三式相乘：與矛盾原式成立例11. 已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：設a<0，abc>0，bc<0又由a+b+c>0，則b+c=-a>0ab+bc+ca=a(b+c)+bc<

5、;0 與題設矛盾又：若a=0，則與abc>0矛盾，必有a>0同理可證：b>0，c>0四. 構(gòu)造法：1. 構(gòu)造函數(shù)法例12. 已知x>0，求證：證：構(gòu)造函數(shù)由顯然上式>0f(x)在上單調(diào)遞增，左邊例13. 求證：證：設用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增，令：3t1<t2，2. 構(gòu)造方程法：例14. 已知實數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。證：由題設：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設a>0則有兩個實根。例15. 求證：證：設當y=1時，命題顯然成立，當y1時， =(y+1)2-4(y-1)2=(3

6、y-1)(y-3)0綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xyac+bd證一：(分析法)a,b,c,d,x,y都是正數(shù)要證：(xy)ac+bd只需證即：(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c22abcd由基本不等式，顯然成立xyac+bd證二：(綜合法)證三：(三角代換法)x2=a2+b2， 不妨設y2=c2+d2 五. 數(shù)學歸納法：例17. 求證：設nN，n2，求證：分析：關于自然數(shù)的不等式?？捎脭?shù)學歸

7、納法進行證明。證：當n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。當n=k時，命題成立，即：成立。當n=k+1時，左邊又；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；于是可得：即當n=k+1時，命題也成立；綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n2均成立。本周參考練習證明下列不等式：1. 提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用法，分情況討論。2. 已知關于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數(shù)x恒成立，求證：提示：分3. 若x>0，y>0，x+y=1，則提示：左邊令t=xy，則在上單調(diào)遞減 4. 已知|a|1，|b|1，求證：，提示

8、：用三角換元。5. 設x>0，y>0，求證：a<b放縮法6. 若a>b>c，則10. 左邊11. 求證：高二數(shù)學不等式的應用 三. 關于不等式的應用：不等式的應用主要圍繞著以下幾個方面進行：1. 會應用不等式的證明技巧解有關不等式的應用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。(求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構(gòu)造定值”的數(shù)學思想方法的應用在極值使用中有著相當重要的作用。2. 會把實際問題抽象為數(shù)學問題

9、進而建立數(shù)學模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運用數(shù)學的意識。3. 通過不等式應用問題的學習，進一步激發(fā)學數(shù)學、用數(shù)學的興趣。四、不等式的應用問題舉例：例10. 已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求最大值。分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。解：由可得；小結(jié)：如果本題采用兩式相加而得：；則出現(xiàn)了錯誤：“=”號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。例11. 求函數(shù)的最小值。分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關鍵。解：即f(x)最小值為-1此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當取的某一個子集時)，

10、要則要借助于函數(shù)的基本性質(zhì)解決問題了。例12. 若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關鍵。解：當且僅當：4a2+2=3b2+6，即時取等號，y的最大值為8。小結(jié)：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉(zhuǎn)化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號)例13. 已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。

11、解：x>y>0 x-y>0又x·y=1，也即：；當且僅當時取等號。也即；時，取等號。例14. 設x，y，zR+，x+y+z=1，求證：的最小值。分析：此類問題的關鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進而進行類加。2. 另一個途徑是直接進行1的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構(gòu)造代入。解：x，y，zR+，且x+y+z=1當且僅當時，取“=”號，的最小值為9。小結(jié)：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，zR+，且x+y+z=1得：。進而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結(jié)果，其關鍵在于三個“=”號是否同時成立。例15. 已知a

12、>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進行變形分析才可解決問題。解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab2ac又a>0,bc,(當且僅當a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2c2，結(jié)合：b>c可得：b>c>0又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a小結(jié)：本題中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和變形是解決問題的關鍵。例16

13、. 某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？ 分析：如何把實際問題抽象為數(shù)學問題，是應用不等式等基礎知識和方法解決實際問題的基本能力。解：設矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)所以當a=2b，即a=40(m),b=20(m)時， =648(m2)答：當矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為6

14、48m2.例17. 某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進行技術(shù)改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為()設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達式；()依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？分析：數(shù)學建模是解決應用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關系

15、式、數(shù)列求和、不等式的基礎知識，運用數(shù)學知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。解：()依題設，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2；()因為函數(shù)上為增函數(shù)，當1n3時，當n4時，僅當n4時，Bn>An。答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤。小結(jié)：如何進行數(shù)學建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關因素進行分析，通過文字說明轉(zhuǎn)化為等量關系或者是相互關系，再把文字關系處理為數(shù)學關系。五、本周參考練習1. 已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：2. 如果ABC的三內(nèi)角滿足關系式：sin

16、2A+sin2B=sin2C，求證：3. 已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：4. 已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：5. 已知a，b，cR+，求證：6. 已知a>0，求的最值。(答最小值為)7. 證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。8. 某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最??？ (答：當x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數(shù)

17、學練習三1. xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是( )A. |x|<1 B. x<1 C. |x|>1 D. x<-1或|x|<12. 已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值( )A. 一定是正數(shù) B. 一定是負數(shù) C. 可能是0 D. 無法確定3. 已知a,b,c是ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0( )A. 有兩個不相等的實根 B. 有兩個相等的實根C. 沒有實數(shù)根 D. 要依a，b，c的具體取值確定4. 設0<a<b，a+b=1，則下列不等式不正確的是( )A. B. C. D. 5. 設a,bR+，則A，B的大小關系是( )A. AB B. AB C. A>B D. A<B6