《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第14課 函數(shù)的微分及其應(yīng)用

第14課函數(shù)的微分及其應(yīng)用課題函數(shù)的微分及其應(yīng)用課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1．理解函數(shù)微分的概念，及其幾何意義2．掌握函數(shù)微分的運(yùn)算3．掌握微分在近似運(yùn)算中的應(yīng)用4．掌握用MATLAB求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法思政育人目標(biāo)：由具體問(wèn)題引出微分的定義，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹(shù)立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)微分的概念教學(xué)難點(diǎn)：微分在近似運(yùn)算中的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測(cè)驗(yàn)（12min）→數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過(guò)文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問(wèn)答題：（1）什么是函數(shù)的微分？（2）微分有哪些運(yùn)算？（3）微分在近似計(jì)算中有哪些應(yīng)用？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過(guò)課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好上節(jié)課的復(fù)習(xí)題目，并針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】講解微分的定義、幾何意義和微分的運(yùn)算【教師】通過(guò)案例導(dǎo)出微分的定義，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用圖3-5先看一個(gè)例子：如圖3-5所示，當(dāng)一塊正方形的金屬薄片受熱膨脹后，其邊長(zhǎng)由變到．問(wèn)此薄片的面積增加了多少？圖3-5變到．從上式可以看出，由兩部分組成：第一部分是，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，它是的線性函數(shù)；第二部分是，即圖中帶有交叉斜線的小正方形面積．當(dāng)很小時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，面積的增量可以用近似表示，即，因?yàn)?，所以一般地，?duì)于函數(shù)，當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的增量可表示為．其中，是不依賴的常數(shù)，是比高階的無(wú)窮小．因此，當(dāng)很小時(shí)，的近似值表示為，稱為的線性主部，由此給出微分的定義．定義若函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)處的微分，記作，即．通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即，則函數(shù)在點(diǎn)處的微分可寫成．當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處有微分時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)處可微．一般地，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)的微分稱為函數(shù)的微分，記作，即．由得．由此可見(jiàn)，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．因此導(dǎo)數(shù)也稱微商．例1求函數(shù)在，時(shí)的改變量及微分．例1解由已知得而，即．例2設(shè)，求．例2解由已知得．【教師】通過(guò)函數(shù)圖像講解微分的幾何意義如圖3-6所示，點(diǎn)和是曲線上鄰近的兩點(diǎn)．為曲線在點(diǎn)處的切線，其傾斜角為，容易得到．這就是說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處的微分，在幾何上表示曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)的增量．圖3-6從圖3-6中可以看出，表示與之差．當(dāng)很小時(shí)，與相比是微不足道的，因此可用近似代替．這就是說(shuō)，當(dāng)很小時(shí)，有．因此在點(diǎn)P的附近，可以用切線段來(lái)近似代替曲線段，即．【教師】通過(guò)函數(shù)微分的定義和導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，推出微分的基本公式和運(yùn)算法則，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用根據(jù)函數(shù)微分的定義及導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則，可直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則．1．微分的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．2．函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)都是的可微函數(shù)，為常數(shù)，則存在下列微分法則：（1）；（2）；（3）；（4）．這里給出乘積的微分法則的證明．根據(jù)微分的定義，有．類似地，可以證明其余法則．3．微分形式的不變性由微分的定義知，當(dāng)是自變量時(shí)，函數(shù)的微分是．如果不是自變量而是的可微函數(shù)，那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)，根據(jù)微分的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有．其中，所以上式仍可寫成．由此可見(jiàn)，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總是同一個(gè)形式：，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性．例3設(shè)函數(shù)，求．例3解法一直接應(yīng)用微分公式計(jì)算，則有．解法二把看成中間變量，則有例4求函數(shù)的微分．例4解由已知得．【學(xué)生】理解微分的定義和幾何意義，掌握微分的運(yùn)算學(xué)習(xí)微分的概念、微分的幾何意義和微分的運(yùn)算，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)學(xué)科不是脫離我們實(shí)際生活的，所以要好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】引入課題——微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用．（3-1）由于比容易計(jì)算，且誤差很小，因此上式很有實(shí)用價(jià)值．下面來(lái)研究微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用．【教師】通過(guò)例題，介紹計(jì)算函數(shù)增量的近似值的方法當(dāng)很小時(shí)，可得．例5例5解設(shè)圓片的半徑為，圓片的面積為，于是．由題意知，當(dāng)，時(shí)，圓片面積的改變量為，因此圓片面積增大了約．【教師】通過(guò)例題，介紹計(jì)算函數(shù)值的近似值的方法當(dāng)很小時(shí)，由式（3-1）可得．（3-2）在式（3-2）中，令，（當(dāng)很小時(shí)），可得．（3-3）例6計(jì)算的近似值．例6解設(shè)，則．因?yàn)?，所以可取，．由式?-2）得．例7證明：當(dāng)較小時(shí)，．例7證明設(shè)，則，于是，．由式（3-3）得，即證當(dāng)較小時(shí)，．利用式（3-3）可計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)附近的近似值，同時(shí)由它可以推出常用的近似公式，即當(dāng)較小時(shí)，有下列常用的近似公式．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，經(jīng)常要用到一些近似公式．由微分得到的上述近似公式，為解決近似計(jì)算中的某些問(wèn)題提供了較好的方法．例8計(jì)算的近似值．例8解利用近似公式，得．例9求的近似值．例9解利用近似公式，得．【教師】講解誤差估計(jì)，并通過(guò)例題介紹其應(yīng)用如果某個(gè)量的精確值為，它的近似值為，那么稱為近似值的絕對(duì)誤差，而絕對(duì)誤差與的比值稱為近似值的相對(duì)誤差．在實(shí)際工作中，某個(gè)量的精確值往往是無(wú)法知道的，于是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差也就無(wú)法求得．但是根據(jù)測(cè)量?jī)x器的精度等因素，有時(shí)能夠確定誤差在某一個(gè)范圍內(nèi)．如果某個(gè)量的精確值是，測(cè)得它的近似值是，又已知它的誤差不超過(guò)，即，則稱為測(cè)量的絕對(duì)誤差限（簡(jiǎn)稱絕對(duì)誤差），稱為測(cè)量的相對(duì)誤差限（簡(jiǎn)稱相對(duì)誤差）．例10測(cè)得圓鋼截面的直徑60.03

mm，測(cè)量的絕對(duì)誤差限．利用公式計(jì)算圓鋼的截面積時(shí)，試估計(jì)面積的誤差．例10解由已知得．因?yàn)榈慕^對(duì)誤差限為，所以

，于是．已知60.03mm，0.05mm，因此面積的絕對(duì)誤差為()，面積的相對(duì)誤差為．【學(xué)生】掌握微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用學(xué)習(xí)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（12min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛抗碱}目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對(duì)同學(xué)掌握答題知識(shí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目的正確答案，演示解題過(guò)程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（10min）?使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)【教師】演示用MATLAB求函數(shù)導(dǎo)數(shù)MATLAB中用diff函數(shù)來(lái)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)一元函數(shù)求導(dǎo)和多元函數(shù)求偏導(dǎo)，diff函數(shù)的調(diào)用格式主要有以下幾種：diff(f)：表示函數(shù)f對(duì)默認(rèn)變量x求一階導(dǎo)數(shù)；diff(f,t)：表示函數(shù)f對(duì)變量t求一階導(dǎo)數(shù)；diff(f,x,n)：表示函數(shù)f對(duì)變量x求n階導(dǎo)數(shù)．例求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù).例解在命令窗口中輸入:>>symsx %創(chuàng)建符號(hào)變量x>>f=sin(x)/x;>>y1=diff(f) %求一階導(dǎo)數(shù)y1=cos(x)/x-sin(x)/x^2 %輸出結(jié)果

>>y2=diff(f,x,2) %求二階導(dǎo)數(shù)y2=-sin(x)/x-2*cos(x)/x^2+2*sin(x)/x^3 %輸出結(jié)果

【學(xué)生】觀看、聆聽(tīng)、記錄、思考通過(guò)演示使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了函數(shù)微分的概念，及其幾何意義，掌握了函數(shù)微分的運(yùn)算和微分在近似運(yùn)算中的應(yīng)用，還掌握了用MATLAB求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題3-5、復(fù)