高中數(shù)學(xué)排列組合中的分組分配問題

1、排列組合中的分組分配問題分組分配問題是排列組合教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。某些排列組合問題看似非分配問題，實(shí)際上可運(yùn)用分配問題的方法來解決。下面就排列組合中的分組分配問題，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的體會和做法。一、 提出分組與分配問題，澄清模糊概念n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對象，稱為分配問題，分定向分配和不定向分配兩種問題；將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問題.分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌匀皇强蓞^(qū)分的.對于后者必須先分組后排列。二、基本的

2、分組問題例1 六本不同的書，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組兩本.(2)一組一本，一組二本，一組三本.(3)一組四本，另外兩組各一本.分析：(1)分組與順序無關(guān)，是組合問題。分組數(shù)是=90(種) ，這90種分組實(shí)際上重復(fù)了6次。我們不妨把六本不同的書寫上1、2、3、4、5、6六個(gè)號碼，考察以下兩種分法：(1，2)(3，4)(5，6)與(3，4)(1，2)(5，6)，由于書是均勻分組的，三組的本數(shù)一樣，又與順序無關(guān)，所以這兩種分法是同一種分法。以上的分組方法實(shí)際上加入了組的順序，因此還應(yīng)取消分組的順序，即除以組數(shù)的全排列數(shù)，所以分法是=15(種)。(2)先分組，方法是

3、，那么還要不要除以？我們發(fā)現(xiàn)，由于每組的書的本數(shù)是不一樣的，因此不會出現(xiàn)相同的分法，即共有=60(種) 分法。(3)分組方法是=30(種) ，那么其中有沒有重復(fù)的分法呢？我們發(fā)現(xiàn)，其中兩組的書的本數(shù)都是一本，因此這兩組有了順序，而與四本書的那一組，由于書的本數(shù)不一樣，不可能重復(fù)。所以實(shí)際分法是=15(種)。通過以上三個(gè)小題的分析，我們可以得出分組問題的一般方法。結(jié)論1： 一般地，n個(gè)不同的元素分成p組，各組內(nèi)元素?cái)?shù)目分別為m，m，m，其中k組內(nèi)元素?cái)?shù)目相等，那么分組方法數(shù)是。三、基本的分配的問題(一)定向分配問題例2 六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(

4、1) 甲兩本、乙兩本、丙兩本.(2) 甲一本、乙兩本、丙三本.(3) 甲四本、乙一本、丙一本. 分析：由于分配給三人，每人分幾本是一定的,屬分配問題中的定向分配問題，由分布計(jì)數(shù)原理不難解出：分別有=90(種)，=60(種)， =30(種)。(二)不定向分配問題例3六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1) 每人兩本.(2) 一人一本、一人兩本、一人三本.(3) 一人四本、一人一本、一人一本.分析：此組題屬于分配中的不定向分配問題，是該類題中比較困難的問題。由于分配給三人，同一本書給不同的人是不同的分法，所以是排列問題。實(shí)際上可看作“分為三組，再將這三組分給

5、甲、乙、丙三人”，因此只要將分組方法數(shù)再乘以，即=90(種)， =360(種) =90(種)。結(jié)論2. 一般地，如果把不同的元素分配給幾個(gè)不同對象，并且每個(gè)不同對象可接受的元素個(gè)數(shù)沒有限制，那么實(shí)際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以不同對象數(shù)的全排列數(shù)。通過以上分析不難得出解不定向分配題的一般原則：先分組后排列。例4 六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？分析：六本書和甲、乙、丙三人都有“歸宿”，即書要分完，人不能空手。因此，考慮先分組，后排列。先分組，六本書怎么分為三組呢？有三類分法(1)每組兩本(2)分別為一本、二本、三本(3)兩組各一本，另一組四本。所以根據(jù)

6、加法原理，分組法是+=90(種)。再考慮排列，即再乘以。所以一共有540種不同的分法。四、分配問題的變形問題例5 四個(gè)不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？分析：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1，1，2。實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有(種)，然后將這三組(即三個(gè)不同元素)分配給四個(gè)小盒(不同對象)中的3個(gè)的排列問題，即共有=144(種)。例6有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有多少種？分析：先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有(種)分法。再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的那個(gè)組只能承擔(dān)甲任務(wù)，而一個(gè)人的兩組既可承擔(dān)乙任務(wù)又可承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有=2520(種)不同的選法。例7設(shè)集合A=1，2，3，4，B=6，7，8，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同的函數(shù)有多少個(gè)？分析：由于集合A為定義域，B為值域，即集合A、B中的每個(gè)元素都有“歸宿”，而集合B的每個(gè)元素接受集合A中對應(yīng)的元素的數(shù)目不限，所以此問題實(shí)際上還是分組后分配的問題。先考慮分組，集合A中4個(gè)元素分為三組，各組的元素