高中數(shù)學(xué)柯西不等式與排序不等式

1、3.1 3.2 柯西不等式1.二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2.已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證證法：（比較法）=.=定理：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則.變式： 或 或.定理：設(shè)，則 （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，假設(shè)）變式：. 定理：設(shè)是兩個向量，則.等號成立？（是零向量，或者共線）練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）三角不等式： 定理：設(shè)，則.變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 變式： 推廣：例2：若，求證：.分析：如何變形后利用柯

2、西不等式？ （注意對比 構(gòu)造） 要點(diǎn)： 討論：其它證法（利用基本不等式）練習(xí)：已知，求的最小值. 解答要點(diǎn)：（湊配法）.討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法）練習(xí)：已知、，求證：.例1：已知，求的最小值.練習(xí)：若，且，求的最小值.變式：若，且，求的最小值. 變式：若，且，求的最大值.例2：若>>，求證：. 要點(diǎn)：例3已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因?yàn)?在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故例4 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。練習(xí)：已知實(shí)數(shù)滿足， 試求的最值 解：由柯西不等式得，有即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng)

3、 時等號成立，代入時， 時 3.3 排序不等式排序不等式（即排序原理）：設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組:······.···是，···的任一排列,則有 ···+ (同序和)+···+ (亂序和)+···+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)···=或···=時，反序和等于同序和.排序不等式的應(yīng)用：例1：設(shè)是n個互不相同的正整數(shù)，求證：. 證明過程： 設(shè)是的一個排列，且，則. 又，由排序不等式，得 小結(jié)：分析目標(biāo)，