二項(xiàng)分布經(jīng)典例題+練習(xí)測(cè)試題

1、二項(xiàng)分布1. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種 對(duì)立的狀態(tài)，即A與A,每次試驗(yàn)中P(A) = p>0。我們將這樣的試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)。(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件 第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的；第二： 各次試驗(yàn)中的事件是互相獨(dú)立的；第三：每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果。(2) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X =k) = C：pk(1-p)n，。2.二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的分布列為P(X =k) = c；pkqn 其中0<p<1.p+q=1,k=0,1,2|,n,則稱X服從參數(shù)為n, p

2、的二項(xiàng)分布，記作X|_| B(n, p)。弋.J> I I I1. 一盒零件中有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一個(gè)零件，如果取出的次品不再放回、1 1 |8''i V求在取得正品前已取出的次品數(shù) X的概率分布。2 .一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 -.3(1)設(shè)上為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求 已的分布列；(2)設(shè)疑為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求 n的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.3 .甲乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為1 ,乙每次擊中目標(biāo)的概率為

3、22.3(1)記甲擊中目標(biāo)的此時(shí)為 口求且的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；(3)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo) 2次的概率.【鞏固練習(xí)】歡迎共閱1. (2012年高考(浙江理)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球的2分，取出一個(gè)黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.(I)求X的分布列;(II)求X的數(shù)學(xué)期望 E(X).2. (2012年高考(重慶理)(本小題滿分13分,(I)小問5分,(H)小問8分.) 甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有 人獲勝或每人都已投球3次

4、時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為 L乙每次3投籃投中的概率為1,且各次投籃互不影響.2(I)求甲獲勝的概率；(II)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)。的分布列與期望3.設(shè)籃球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽均有一隊(duì)勝，若有一隊(duì)勝4場(chǎng)則比賽宣告 Il-_ F 弋 Wj f I I | I結(jié)束，假定A,B在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率都是1,試求需要比賽場(chǎng)數(shù)的期望.23. (2012年高考(遼寧理)電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié) 目的收視情況，隨機(jī)抽取了 100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于 40分鐘的觀眾稱為“體育

5、迷”.(I)根據(jù)已知條件完成下面的2M 2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與 性別(H)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù) 歡迎共閱為X若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.5 . （2007陜西理）某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者 進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的 概率分別為4、3、2,且各輪問題能否正確回答互不影響.（I）求該選手被淘555汰的概率；（n）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)

6、記為 己，求隨機(jī)變量己的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）6 . 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下 述三種情況下，分別求直至取得正品時(shí)所需次數(shù)q的概率分別布.（1）每次取出的產(chǎn)品不再放回去； （2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去； （3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.7 . （2007?山東）設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量已表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）.（I）求方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率；（II）求E的分布列和數(shù)學(xué)期望；8 .（本題滿分12分）某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)

7、優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤羅） 一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū) 域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券.例如：消費(fèi)218元, ，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.（I）若某位顧客消費(fèi)128元，求返券金額不低于30元的概率；（II ）若某位顧客恰好消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記 為X （元），求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.9 .（本題滿分12分）中國(guó)黃石第三屆國(guó)際礦冶文化旅游節(jié)將于 2012年8月20日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)準(zhǔn)備在湖北理工學(xué)院和湖北師

8、范學(xué)院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上(包括175cn)定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下(不 包才g 175cn)定義為“非高個(gè)子”，且只有湖北師范學(xué)院的“高個(gè)子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”。(1)根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指 湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)；(2)如果用分層抽樣的方法從“高子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再從這中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”概率是多少？(3)若從所有“高個(gè)子”中選3名 愿者，用之表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼湖北理工湖北師范9158 991612 5 86 519出并求白的數(shù)學(xué)期望。志職個(gè)5人

9、的導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出之的分布列,10 .某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2 ,，8,其中XA5 - -1 -Aj為標(biāo)準(zhǔn)A, XA3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品,丫, 一7 'I 都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù) X1的概率分布列如下所示：產(chǎn)J小、485678P0. 4ab0. 1且X的數(shù)字期望EX=6,求a, b的值;(II )為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù) 為,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下:3 5 3

10、3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)寵的數(shù)學(xué)期望.歡迎共閱11.受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取 50輛，統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下:將頻率視為概率，解答下列問題：(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;(II )若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X一生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)

11、為X2,分別求X1, X2的分布列；(III )該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。鞏固練習(xí)答案1.【解析】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn).(I) X的可能取值有：3,4,5,6.C3P(X =3) = 3C9P(X =5)=c5c242_15C3 一 42;21C5c420 .P(X =4) =3 =;C942C32P(X =6) = 3 =.C942故，所求X的分布列為(II)所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為:E(X>= " i P(X =i) =13 .T3【答案】(i

12、)見解析;( n)生.32.【考點(diǎn)定位】本題考查離散隨機(jī)變量的分布列和期望與相互獨(dú)立事件的概率，考查歡迎共閱運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，相互獨(dú)立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式.解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則-A 1- -1P A -, P Bk -, k 1,2,3 32(1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知，P C)；=P A P AEA2 P A1B1A2B2A3(2)0的所有可能為：1,2,3由獨(dú)立性知：P(W =1 )= P(A )+P(A1B1 =-+-x-=-3

13、3 23綜上知，E有分布列123y I1 :士/ I 1I -從而，eL2+3(次) 3999 i I I3 .解：(1)事件“ X =4”表示，A勝4場(chǎng)或B勝4場(chǎng)(即B負(fù)4場(chǎng)或A負(fù)4場(chǎng))，且兩_；一： 兩互斥.I,1,11 c 1 ,2d/vc4y/ 4v/ 0+c0x/ 0v/ 4P(X =4) =C4 M(二)X(-) +C4 M(二)*(二)=77，222216(2)事件“ X=5”表示，A在第5場(chǎng)中取勝且前4場(chǎng)中勝3場(chǎng)，或B在第5場(chǎng)中取勝且前4場(chǎng)中勝3場(chǎng)(即第5場(chǎng)A負(fù)且4場(chǎng)中A負(fù)了 3場(chǎng))，且這兩者又是互斥的，所以(3)類似地，事件“ X=6”、“X =7”的概率分別為1 o 1 Q

14、 1 C Q 1 o 1 o 1 E o5civ 3c3 / 3 / 5_3 + c 2/ 、2.15-2。P(X =6)=3c5(+-C5(-) (2),比賽場(chǎng)數(shù)的分布列為4567故比賽的期望為E(X)1|七+嗚+7+58125 (場(chǎng))這就是說，在比賽雙方實(shí)力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說，進(jìn)行6場(chǎng)才能分出勝負(fù).4 .【答案及解析】(I)由頻率頒布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2X2列聯(lián)表如下：由2X2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得:因?yàn)?.030<3.841,所以，沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).(II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概

15、率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為 1,由題意， 4 ' ,1 乜 、山一彳813,二)I 4 ),從而X的分布列為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望E(X)和方差D(X),考查分析解決問題的能力、運(yùn)算求解能力，難度適中.準(zhǔn)確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.5. (I)解法一：記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A(i=1,2,3),則 P(Ai)=4, P(4) = 3，P(A)=2， 555,該選手被淘汰的概率= 1 + 4x2.+ 4x3x3=W1.5 5 5 5 5 5 125(I)解法二：記“該選手能正確

16、回答第i輪的問題”的事件為A(i=1,2,3),則 P(Ai)=4, P(4) = 0, P(A3)=2. 555,該選手被淘汰的概率432 101=1 一一 .*、 *、= .555 125(H )-的可能值為 1,2,3 , P(上=1) = P(A) =1 ,54 281235 5 254 3 125 5 25P( =2) =P(AA2) = P(A)P(A2);P(t =3) =P(AA2) =P(A)P(A2)/的分布列為L(zhǎng)-1 c 8 c 1257E t =1 m +2黑+3父=. 52525256. (1) X的所有可能值為1, 2, 3, 4。X的分布列為P(X=1)=7/10

17、 ,P(X=2)=3/10 乂7/9=7/30 ,P(X=3)=3/10 X2/9 )7/8=7/120 ,P(X=4)=3/10 X2/9 >1/8=1/120 。(2) X的所有可能值為1, 2, 3, 4。X的分布列為P(X=k)=3 kL)10102, 3,(3) X的所有可能值為1, 2, 3,4。X的分布列為歡迎共閱P(X=1)=7/10 ,P(X=2)=3/10 X8/10=6/25 ,P(X=3)=3/10 X2/10 >9/10=27/500 ,"XP(X=4)=3/10 X2/10 M/10=3/500。7.解：(I)由題意知，本題是一個(gè)等可能事件的概

18、率，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為 6X6=36 ,滿足條件的事件是使方程有實(shí)根，則 =b2-4cAQ即b步&下面針對(duì)于c的取值進(jìn)行討論當(dāng) c=1 時(shí)，b=2, 3, 4, 5, 6;當(dāng) c=2 時(shí)，b=3 , 4, 5, 6;當(dāng) c=3 時(shí)，b=4 ,5,6;當(dāng) c=4 時(shí)，b=4 ,5,6;當(dāng) c=5 時(shí)，b=5, 6;當(dāng) c=6 時(shí),b=5, 6,目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為5+4+3+3+2+2=19 ,因此方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為1936(II)由題意知用隨機(jī)變量 E表示方程x2+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)得到E =0 1 , 2 根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到則 P(E=0)=17, P

19、(S=1)= =-, P(S=2)=, 3636 1836E的分布列為 歡迎共閱P(X =30)2 =;2 33P(X =60)=P(X =90)=11115一一 22 633181 11-M M 2 =;691110分0:306090120136其數(shù)學(xué)期望1 P(X =120)=6X= .6 36所以，隨機(jī)變量X的分布列為:11511EX=0- 30 - 60 -90-120 二 4043189361112分i012E的數(shù)學(xué)期望 EE =0X17+1X1+2X17=1,3618368.設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C.111則 P(A)=6，P(B)=3，P(C)=2.3分(I)若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域.111.P = P(A) P(B)二6 3 21即消費(fèi)128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是:(II)由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤 2次.隨機(jī)變量X的可能值為0, 30, 60, 90, 120.5分1 11P(X =0)2 2 41 19、解：(1)根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學(xué)院志愿者身高的中位數(shù)為:168 169彳 q八=168.5 .2 分2歡迎共閱 由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人,