固體物理復(fù)習(xí)試題答案完整版

1、簡答題1.晶格常數(shù)為a的體心立方、面心立方結(jié)構(gòu)，分別表示出它們的基矢、原胞體 積以及最近鄰的格點數(shù)。（答案參考教材P7- 8）a-i =-(i j -k)1a3,最近鄰格點數(shù)：822(1)體心立方基矢：支2 =a(-i + j + k),體積:2a3 =-(i - j k)2a :i =-（i j）2 a1c （2）面心立方基矢：£2=（j+k）,體積：- a ,取近鄰格點數(shù)：1224a：3 =3（k i） I!2 .習(xí)題1.5、證明倒格子矢量G =%E +h2&+h3b3垂直于密勒指數(shù)為（h1h2h3）的晶面系。證明:因為CA =電一二CB二巴h1h3h23 G = h1b

2、lh2b2 h3b3h3利用ai bj =2叫,容易證明CA = 0CB =0所以，倒格子矢量G =%> +h2b2 + h3b3垂直于密勒指數(shù)為（h1h2h3）的晶面系。3 .習(xí)題1.6、對于簡單立方品格，證明密勒指數(shù)為（h,k,l）的晶面系，面間距d滿足：d2 =a2/（h2 +k2 +l2）,其中a為立方邊長；,I解：簡單立方晶格：a1 _L a2 ,L a3,4=at a2 = aj, a3 = akaa. a0才 a a.“ a a由倒格子基矢的定義：4=2n-，b2=2nHa#*, b3 = 2兀凸月*ai a2 a3a1 a2 a3a &2 a3倒格子基矢：bl =

3、Z，b2 = j,，3 = Lk aaa d2n 42盯二2打4倒格子矢量：G=hb1十慮十成，G = hf十k j + l k a a a2二 _1晶面族(hkl)的面間距:d 二Gl (h)2 (k)2 (l)2a a ad22a二 222-(h k l )4 .習(xí)題1.9、畫出立方晶格(111)面、(100)面、(110)面，并指出(111)面 與(100)面、(111)面與(110)面的交線的晶向。解:(1)、(111)面與(100)面的交線的 AB, AB平移，A與。點重合，B點位矢: IIRb = -aj ak ,(111)面與(100)面的交線的晶向TB = -aj+ak,晶向指

4、數(shù)0彳1。(2)、(111)面與(110)面的交線的AB,將AB平移，A與原點O重合，B點位矢: &=-a，+aj, (111)面與(110)面的交線的晶向lB = -aF+aj,晶向指數(shù)110。5 .固體中基本結(jié)合類型有哪些？原子之間的排斥作用取決于什么原因？(1)基本類型：離子性結(jié)合，共價結(jié)合，金屬性結(jié)合和范德瓦爾結(jié)合四種基本 形式(2)相鄰的原子靠得很近，以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時，相 鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力.也就是說，原子間的排斥作用來自相鄰原子內(nèi) 層閉合殼層電子云的重疊.(答案參考教材P49)6 .什么是聲子？聲子就是指格波的量子，它的能量等于力產(chǎn)q 0在晶

5、體中存在不同頻率振動的模式，稱為晶格振動。晶格振動能量可以用聲子來描述，聲子可以激發(fā)，也可以湮滅。(答案參考教材P92)7 .對于一維雙原子鏈，在第一布里淵區(qū)內(nèi)繪出色散關(guān)系VW-K示意圖，并說明光學(xué)模式和聲學(xué)模式所反映的物理意義。(答案參考教材P95- 97)解：(1) 一維雙原子鏈，在第一布里淵區(qū)內(nèi)繪出色散關(guān)系 W-K示意圖如下上面線條表示光學(xué)波，下面線條表示聲學(xué)波。(2)當(dāng)波矢q很小時，w與q的關(guān)系類似于聲波，此格波也可用超聲波來激發(fā)， 因此稱為聲學(xué)波，而離子晶體中的頻率為w的格波可以用光波來激發(fā)，而且晶體 有的光學(xué)性質(zhì)與這一支波有關(guān)，故稱為光學(xué)波。8 .試用能帶論簡述導(dǎo)體、絕緣體、半導(dǎo)體

6、中電子在能帶中填充的特點。導(dǎo)體：除去完全充滿的一系列能帶外， 還有只是部分的被電子填充的能帶， 后 者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶；絕緣體：電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各能帶全部都是空的，由于 滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電；半導(dǎo)體：由于存在一定的雜質(zhì)，使能帶填充情況有所改變，使導(dǎo)帶中有少數(shù)電 子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性，即使半導(dǎo)體中不存在任何 雜質(zhì)，也會由于熱激發(fā)使少數(shù)電子由滿帶熱激發(fā)到導(dǎo)帶底產(chǎn)生本征導(dǎo)電.(答案參考教材P250- 254)9 .請問德拜模型的基本假設(shè)是什么？基本假設(shè)：以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，晶體就是彈性介質(zhì)，德拜也就 是把品格當(dāng)

7、做彈性介質(zhì)來處理的。(答案參考教材P126- 129)10 .晶體由N個原子組成，試求出德拜模型下的態(tài)密度、德拜頻率的表達式3二 2 . N 1/3態(tài)餐'度：gg)=0 ,頻率表達式：8m=C6n (-)232二2 C3答案參考教材P127 12911.簡述Bloch定理，該定理必須采取什么邊界條件？(答案參考教材 P154157)(1)當(dāng)勢場具有品格周期性時，波動方程的解 中具有如下性質(zhì)：Rr+R)=eikW(r),其中k為一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：當(dāng)平移品格矢量Rn時，波函數(shù)只增加了位相因子 eikRno(2)邊界條件：(r) = 1- (r Ni： i)'(r)

8、 = ' (r N2： 2)其中Ni,山，N3為沿%，口2方向的原胞數(shù)，總的原胞N=Ni? N2? N3二、證明or計算題1.已知某晶體中相距為r的相鄰原子的相互作用勢能可表示為：U（r） = -=+上，其中a、P、m>n都是>0的常數(shù)，求： r ra）平衡時兩原子間的距離；b）平衡時結(jié)合能；思路參考教材P53 54解：（1）求平衡間距ro由du(r)r *dr結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結(jié)合能（用 w表示）（2）求結(jié)合能w （單個原子的）題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原 子，而非原

9、子團、離子基團，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時，晶體的勢能，即 Umin11即：W =-U （r0） =-（ +二-二）（可代入ro值，也可不代入） 22 r0m ron2.已知N個質(zhì)量為m,間距為a的相同原子組成的一維原子鏈，（1）推導(dǎo)其色散關(guān)系 試繪出整個布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系，并說明截止頻率的意義。 試求出它的格波態(tài)密度函數(shù)g（），并作圖表示。2解. m n （ n十 n）（ nnT）（ n 力n-1 2 n）設(shè)方程的解，=Aeiafaq,代回方程中得到：2CO”1.cosaq 上叫aq),一- aq sin 2(2)(D.0，截止頻率范圍以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值

10、范圍稱為布里淵區(qū)。(3) g(=/。2,代入。即可得出。2二2 C3答案參考教材P82 87習(xí)題4-3.電子在周期場中的勢能函數(shù)V(x)=<2一 (x - naf，當(dāng)na bExEna + b,當(dāng)(n-1 )a+b m x m na - b其中a = 4b ,切為常數(shù),(1)畫出此勢能曲線，并求其平均值；(2)用近自由電子近似模型求出晶體的第一個以及第二個禁帶的寬帶。 解：(I)題設(shè)勢能曲線如下圖所示.SqEs(2)勢能的平均值：由圖可見，-11aV(x)LV(x) = bV(x)dxla題設(shè)a = 4b,故積分上限應(yīng)為aa=4bHCKJ4 gqV(x)是個以a為周期的周期函數(shù)，所以1

11、a -b-b = 3b,但由于在lb,3b區(qū)間內(nèi)V(x)= 0,故只需在4,b區(qū)間內(nèi)積分.這時，n=0,于是1 b、，、,V = V (x)dx =_b2 m-2ab z. 22. . m 2 .2(b -x )dxF bxb 1 3“3xbb 1=- mob2。60OV(x) =V°、m 二 ：；(3),勢能在-2b,2b區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)m 二2 2b、，、im,1 b、，、im.Vm cos x,Vm =V (x)cosxdx = V (x)cos xdx2b 2b 02b b 02b2 b_第一個禁帶寬度Eg =2Vi ,以m=1代入上式，Eg =三 J0(

12、b2-x2)cos：dx利用積分公式 u2 cosmudu = 當(dāng) K mu sin mu + 2cos mu )1 馬 sin mu 得 m -mq =曾匚d第二個禁帶寬度Eg? =2V2，以m =2代入上式，代入上式 3T2. 2Eg =m(b2 x2)cos 注dx 再次利用積分公式有 Eg = m2 b2 g2b 0b2 二4-3用緊束縛近似求出面心立方金屬和體心立方金屬中與s態(tài)原子能級對應(yīng)的能帶的s(k )函數(shù)。解：(1)如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中SS電子的能量可表示成：Es(k)，s-J。一(£1感Rs位鄰在面心立方中，有12個最近鄰，若取Rm

13、=0,則這12個最近鄰的坐標是: a(1,1,0),a(1,1,0), a(1,1,0), a(1,1,0)2222 a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1)2222 a(1Q1)a(1,0,1),a(1Q1), a(1,0, 1)22221由于SS波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分相同，因此J(Rs)有相同I的值，簡單表示為J1=J(Rs) O又由于s態(tài)波函數(shù)為偶字稱，即l/)=%*)在近鄰重疊積分-J(Rs) = . i*(，_出(仁)v(Rs)r«)dt中，波函數(shù)的貢獻為正ji>0。于是，把近鄰格矢Rs代入Es(Rs)表達式得到:Es(k)

14、J0 - J eRs =近鄰-ik一 J1閆一kx %)aa一(kx ky)一(kxAy)2- e 2-ia(ky kz),ky-i ( - ky ' kz )e 2i-( -ky -kz)e 2.a，、-i-( -kx -kz)+ e 2.a5(kx ,；kz)e 2.a-i (kx -kz)e 2,a-i( -kx''kz )e 2%-Jo-2Jiaaaacos- (kxky)cos2(kx - ky)cos2(kykz)cos-(ky - kz)cosa(kz kx) cos(kz - kx)一 2_ll-cos(-l " 1) cos(: - - )

15、= 2cos - cos :s _J0-4Ji (a,a, a, a, a, a,cos- kxcos- kv cos- kv cos- kz cos-kz cos- k2 x2 y 2y 2z 2 z 2(2)對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標是:機1),凱向凱而凱1,1)aa a - 一 aa"可。1,1,),即,1),*1,1)Es(k)=飛-J0 f 8J1(cosa kx cosa ky cosakz) 22 y 2習(xí)題5-1.晶格常數(shù)為a的一維晶體電子能量h2 71E(k) 2(- coskcos2k：)ma 88試求：(1)能帶寬度；波矢為k的電子速度；解：

16、(1) E(k) =(3)能帶底部和頂部的電子有效質(zhì)量2(一 - coska - cos2ka) ma 8827,12-coska+ (2cos ka 1)ma2 88'fe2.=2 1( coska 2)2 1 4ma當(dāng) ka=(2n+1)冗時,n=0, ±1,工2Emax(k)=2力22 ma2獷當(dāng) ka=2nn時，Emin(k)=0 能帶寬度=Emax - Emin =ma/c、1 dE(k)1 . 、(2) = (sin ka-一sin 2ka)d dk ma4方2,1= m = m(coska - 一 cos2ka)一非 一當(dāng)k=0時，帶底，m =2m當(dāng) k=

17、77;±時，帶頂，m* = 2ma3習(xí)題6.2 ,習(xí)題6.3 ,習(xí)題6.46.2在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實驗結(jié)果為：C = 2.087 +2.57T3求鉀的費米溫度G和德拜溫度D.解：(本題將書上的題目稍微修改了一下設(shè)一個摩爾的金屬鉀有一二臺正。23個電子，一摩爾的電子對熱容的貢獻 .、。當(dāng)心"2 r與實驗結(jié)果比較C= 2-087 + 2577 - mJ mol * Kfc. n- ktiTt = 2.08 x 10 _ mJ mol - K2 A/費米溫度兀=Ar = 9624 KF ° 2x2.08xl0-i德拜定律G J：'' '

18、飛口5 必與實驗結(jié)果比較C= 2.087+ 2.57T'3 nil mob K()3 = 157xl(rT" ndimobK 5%德陋度包=(?嚴=96?若將看成具有球形費米面的單價金屬計算以下各量0費密能量和費密溫度2）費密球半程3）費密速度4）費密球面的橫藏面積卻在室溫以及低溫時電子的平均自由程銀質(zhì)量密度a，= 10.5 g cnr,原子 =107.87p= L6lx|0Q*cw 一7二295Kp = 0.038x- 7 = 20 A：解（1）費密能量和費密溫度費需能量%=£（3,內(nèi)嚴4=（3不%）n = 0-5-xlO.V,= 0,586x 1 M 107.87m = 9.1Lxl(TJ1Ag力=L05x】(T"，e以=8.821尸 J = 5.5 gy費寄溫度 T, =- = 6.4xlOJ K（2）費密球半徑£；=8.82xl0-19 J = 1.2x0'%r' （3）費密速度138x10" s(4)費密球面的橫截面積S =爾"sin=旌 f sin' 90是后與二軸之間的夾角碎=(3M門產(chǎn)