預(yù)備知識(shí)_行列式1

1、預(yù)備知識(shí)（行列式）預(yù)備知識(shí)（行列式） 內(nèi)容內(nèi)容 o行列式的定義行列式的定義o行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)o行列式的展開(kāi)行列式的展開(kāi)o克萊姆法則克萊姆法則o綜合練習(xí)綜合練習(xí)行列式的定義行列式的定義 a11a12a21a22a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11 a22 - a12 a21= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22a31即所有可能項(xiàng)可表示為：a1 p1 . a2 p2 . a3 p3行列式的定義行列式的定義 【定義1】對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)，如果大的排在

2、前面，小的排在后面， 則稱這兩個(gè)自然數(shù)之間有一個(gè)“逆序”。例如： 排列 “3 4 1 5 2” 的逆序數(shù)為：0 + 0 + 2 + 0 + 3 = 5 排列 “5 3 9 2 6” 的逆序數(shù)為：0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5【定義2】一個(gè)排列中所有“逆序”的總和稱為“逆序數(shù)”（）。行列式的定義行列式的定義 【定義3】逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為“奇排列”， 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為“偶排列”。對(duì)于三階行列式： 正符號(hào)：前三行列標(biāo)為 1 2 3（0）、2 3 1（2）、3 1 2（2） 偶排列 負(fù)符號(hào)：后三行列標(biāo)為 1 3 2（1）、2 1 3（1）、3 2 1（3） 奇排列a11a12a1

3、3a21a22a23a31a32a33= （1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3行列式的定義行列式的定義 下面，將上述情況推廣到 n 階行列式。 【定義4】有n 2個(gè)數(shù)aij（i，j = 1，2，3，n），將它們排列成 n行n列的數(shù)，即：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3ann行列式的定義行列式的定義 （1）作出表中不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積：a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn（2）每個(gè)乘積前所帶的符號(hào)由排列p1 p2 p3 pn 的逆序數(shù)決定， 即為：（-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn（3）將 n

4、 ! 這種數(shù)的代數(shù)和 ：（-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn 稱為“n階行列式”，記為：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3annDn = （-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn = （-1） ap1 1 . ap2 2 . ap3 3 apn n 行列式的定義行列式的定義 特殊的行列式特殊的行列式123n對(duì)角行列式Dn = 1.2. 3. n Dn = （-1）n(n-1)/2 1.2. 3. n123n行列式的定義行列式的定義 特殊的行列式特殊的行列式a11a12a13a1na22a23a2na33a3n

5、ann三角行列式Dn = a11.a22. a33. ann Dn = a11.a22. a33. anna11a21a22a31a32a33an1an2an3ann上（下）三角行列式的上（下）三角行列式的值與對(duì)角行列式相等值與對(duì)角行列式相等 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann（1）行列式與其轉(zhuǎn)置的行列式相等。Dn =Dn =a11a21a31an1a12a22a32an2a13a23a33an3a1na2na3nannDn = Dn 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12a13a 1na21a22a23a 2

6、nkai1kai2kai3kai na n 1a n 2a n 3ann（2）用K乘上行列式中的某行（或某列），等于K乘上該行列式。Dn = Ka11a12a13a 1na21a22a23a 2nai1ai2ai3ai na n 1a n 2a n 3ann行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12ka13a 1na21a22ka23a 2nai1ai2kai3ai na n 1a n 2ka n 3ann或：Dn = Ka11a12a13a 1na21a22a23a 2nai1ai2ai3ai na n 1a n 2a n 3ann【推論1】行列式中某行（或某列）的所有公因子均可提到行列式符號(hào)的外

7、面。 【推論2】若行列式中某行（或某列）的所有元素皆為零，則該行列式等于零。行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12a13a 1na21a22a23a 2nbi1+ci1bi2+ci2bi3+ci3bi n+cina n 1a n 2a n 3ann（3）若行列式中某行（或某列）的所有元素皆為兩數(shù)之和，則該行列式等于兩個(gè)行列式之和。Dn =行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12a13a 1na21a22a23a 2nbi1bi2bi3bi na n 1a n 2a n 3ann = +a11a12a13a 1na21a22a23a 2nci1ci2ci3ci na n 1a n 2a n 3ann行

8、列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12 b1j+c1ja 1na21a22 b2j+c2ja 2nai1ai2 bij+cijaina n 1a n 2 bn j+cnjann或：Dn =行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12 b1ja 1na21a22 b2ja 2nai1ai2 bijai na n 1a n 2 bnjann = +a11a12 c1ja 1na21a22 c2ja 2nai1ai2 cijai na n 1a n 2 c n jann上面兩個(gè)公式也可以推廣到多個(gè)元素之和行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)（4）若互換行列式的兩行（或兩列），則行列式變號(hào)。 互換i、j兩行，記為：ri rj

9、 互換i、j兩列，記為：ci cj【推論1】如果行列式有兩行（或兩列）的元素完全相同，則該行列式等于零?！就普?】如果行列式有兩行（或兩列）的元素成比例，則該行列式等于零。 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a12a13a 1nai1ai2ai3ai naj1aj2aj3aj na n 1a n 2a n 3ann（5）若用數(shù)值k乘行列式某行（或某列）的所有元素，加到另一行 （或另一列）的對(duì)應(yīng)元素之上，則行列式值不變 a11a12a13a 1nai1 + kaj1ai2 + kaj2ai3 + kaj3ai n + kaj naj1aj2aj3aj na n 1a n 2a n 3ann=行列式的

10、性質(zhì)行列式的性質(zhì)1021011-1-1120-20111021011-1014100531 021011-100320053利用上述性質(zhì)可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。如：r1 r2011-11021-1120-20111021011-10032000-1/3D=-r3 + r1r4 + 2r1r3 - r2r4 - 5/3r3-= 1行列式按行（或列）展開(kāi)行列式按行（或列）展開(kāi) a11a12a13a21a22a23a31a32a33（以低階行列式來(lái)表示高階行列式）【定義5】在n階行列式Dn中，劃去元素aij所在的第i行和第j列所在的元素，剩下的元素按原來(lái)的次序構(gòu)成一個(gè)n-1階行列式Dn-1，該行列式稱

11、為 “元素aij的余子式”，記為 “Mij”，而稱Aij = （-1）i+j Mij為“元素aij的代數(shù)余子式”。例如D= 余子式：M11= a22a23a32a33M23= a11a12a31a32代數(shù)余子式：A11 = （-1）1+1 M11 = M11，A23 = （-1）2+3 M23 = - M23 行列式按行（或列）展開(kāi)行列式按行（或列）展開(kāi) 21-3-13107-124-210-15【定理】（行列式展開(kāi)定理）行列式等于它的任一行（或任一列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即： D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + + ain Ain 或： D

12、= a1j A1j + a2j A2j + a3j A3j + + anj Anj應(yīng)用D=23-11000C3 + C 1C4 - 5C 1按4行展開(kāi)行列式按行（或列）展開(kāi)行列式按行（或列）展開(kāi) 1-1-1113-82331-1-110043525r2 - r1r3- 2r1（-1）4+1按1列展開(kāi)-（-1）1+1= -85【推論】行列式任一行（或任一列）的元素與另一行（或另一列） 對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即： D = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ai3 Aj3 + + ain Ajn （i j） 或：D = a1i A1j + a2iA2j + a3i A3j + + a

13、ni Anj （i j）克萊姆法則克萊姆法則 （應(yīng)用 n 階行列式的理論來(lái)解 n 個(gè)變量、n 個(gè)方程的線性方程組）【定義6】若變量X1、X2、X3、Xn 有 n 個(gè)線性方程組：a11X1 + a12X2 + a13X3 + + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + a23X3 + + a2nXn = b2 an1X1 + an2X2 + an3X3 + + annXn = bn則稱由它的系數(shù)aij組成的 n 階行列式：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3annD =為該方程組的“系數(shù)行系數(shù)行列式列式”。如果方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)均為零，則稱對(duì)應(yīng)的方程組為

14、“齊齊次線性方程組次線性方程組”?？巳R姆法則克萊姆法則 【定理】（克萊姆法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式D不等于零， 則方程組有唯一的解。即：X1 = D1/D，X2 = D2/D，X3 = D3/D ，Xn = Dn/DDj= 其中，Dj（j = 1，2，3，n）是將D的第 j 列元素a1j，a2j，a3j， anj 分別換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，b3，bn所得到的 n 階行列式，即：a11a12a1(j-1)b1a1(j+1)a1na21a22a2(j-1)b2a2(j+1)a2na31a32a3(j-1)b3a3(j+)a3nan1an2an(j-1)bnan(j+1)ann克萊姆法則克萊姆

15、法則 2115221054281166221375422815662101374 應(yīng)用 求下述方程組的解：D =2X1 + X2 +X3 = 285X1 + 2X2 + 2X3 = 6610X1 + 5X2 + 4X3 = 13721285266105137= 16 + 20 + 25 20 - 20 20 = 1 0。方程有解！ D1=D2=D3=10= 5= 3X1 = D1/D = 10，X2 = D2/D = 5，X3 = D3/D = 3克萊姆法則克萊姆法則 【推論】當(dāng)系數(shù)行列式D不等于零時(shí)，則齊次線性方程組只有唯一的零解。 （因?yàn)楫?dāng)b1 = b2 = b3 = bn = 0時(shí)，D1 = D2 = D3 = Dn = 0） 反之，如果某一齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D必為零，即 “D不等于零” 是次線性方程有非零解的必要條件。 （也可以證明它是充分的）綜合練習(xí)綜合練習(xí)（1）a1111a1111a11111aa + n - 1111a + n - 1a11a + n - 11a1a + n - 1111a11111a1111a11111a11110a-10000a-100000a-1C1 + C 2+ C 3+ CnC1（a + n - 1）（a + n - 1）