附錄24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程

1、附錄附錄24 24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 cos1 eepFM(,)x建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、一、以焦點(diǎn)以焦點(diǎn)F F為極點(diǎn)，以對(duì)稱為極點(diǎn)，以對(duì)稱軸軸為極軸的極坐標(biāo)系：為極軸的極坐標(biāo)系： 二、二、以直角坐標(biāo)系的以直角坐標(biāo)系的x x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系：正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點(diǎn)弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化空間坐標(biāo)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)球坐標(biāo)(,)(x,y)(x,y,z)平面坐標(biāo)極坐標(biāo)常見的常見的坐標(biāo)系坐標(biāo)系(,z)(r,)極

2、坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；引一條射線OX，再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。XO1.1.概念概念 叫做極軸；正方向。對(duì)于平面上任意任意一點(diǎn)M極坐標(biāo)的規(guī)定：用表示線段OM的長度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角M用表示從OX到OM的角度有序數(shù)對(duì)(,)就叫做M的極坐標(biāo)極極坐標(biāo)系坐標(biāo)系極極坐標(biāo)系坐標(biāo)系的的分類分類Z)(k)2,(k常用極坐標(biāo)系：狹義極坐標(biāo)系：廣義極坐標(biāo)系： 0 ,R 0 ,0，2) ,R注 負(fù)極徑的定義：先正后對(duì)稱先正后對(duì)稱注 極坐標(biāo)的多值性與單值性：即:在常用極坐標(biāo)系中，同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)個(gè) :在狹義極坐標(biāo)系中，除極點(diǎn)(0,)外，其他

3、點(diǎn)的極坐標(biāo)是唯一的 Z)(k)2,()2,(kk和:在廣義極坐標(biāo)系中，同一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)個(gè) 即sincos222yxyx極極坐標(biāo)坐標(biāo)與直角與直角坐標(biāo)坐標(biāo)的互化的互化互化的三個(gè)前提條件：互化的三個(gè)前提條件：互化方法：互化方法：（2）數(shù)法：（1）形法：xyxytancossin（1）極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合（2）極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合（3）兩種坐標(biāo)系的單位長度相同類似于輔助角公式中，用形法求振幅及輔助角類似于輔助角公式中，用形法求振幅及輔助角圖圖像像x xl特殊直線的極坐標(biāo)方程特殊直線的極坐標(biāo)方程方方程程O O0直線 和0)(0R00 x xO O)0 ,(alx xO O),(

4、alO O)2,(alx xO O)23,(alx xacosacosasinasin圖圖像像方方程程特殊圓的極坐標(biāo)方程特殊圓的極坐標(biāo)方程O O)23,(rx xO Ox xO Ox xO Ox xO O)2,(rx x)0 ,(rr),(rsin2rcos2rcos2rsin2r求極坐標(biāo)方程常用的方法求極坐標(biāo)方程常用的方法 2.方程法：1.公式法：知型巧用公式法 建系設(shè)式求系數(shù)未知型狀方程法 建系設(shè)需列方程 間接法：先求出普通方程，再轉(zhuǎn)成為極坐標(biāo)方程 直接法：一般地，與正余弦定理有關(guān) 方程法公式法間接法直接法附錄附錄24 24 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 cos1 eepFM(

5、,)x建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、一、以焦點(diǎn)以焦點(diǎn)F F為極點(diǎn)，以對(duì)稱為極點(diǎn)，以對(duì)稱軸軸為極軸的極坐標(biāo)系：為極軸的極坐標(biāo)系： 二、二、以直角坐標(biāo)系的以直角坐標(biāo)系的x x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系：正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點(diǎn)弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化eMAMFeP cosKA)(MBlFx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得 其中 l 是準(zhǔn)線，PFK 整理得圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為： KBMA cospFBKF而 即 cos1 eep一、一、以焦

6、點(diǎn)以焦點(diǎn)F F為極點(diǎn)，以對(duì)稱為極點(diǎn)，以對(duì)稱軸軸為極軸的極坐標(biāo)系：為極軸的極坐標(biāo)系： cos1 eepFAx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 一、一、以焦點(diǎn)以焦點(diǎn)F F為極點(diǎn)，以對(duì)稱為極點(diǎn)，以對(duì)稱軸軸為極軸的極坐標(biāo)系：為極軸的極坐標(biāo)系： 注1：橢圓(雙曲線)的焦參數(shù) cbp2注2：若AB為焦點(diǎn)弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1Bcos1 eepFAx建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則圓錐曲線有統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 注2：若AB為焦點(diǎn)弦，則;cos12|22eepABepBFAF2|1|1B)(1A設(shè) ,)(2B故21|BFAF)cos(1cos1eepeepcos1

7、cos1eepeep| AB22cos12eep|1|1BFAFep22111epeepe)cos(1cos1(1)(1983年全國)如圖,若橢圓的|A1A2|=6,焦距|F1F2|=24過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線設(shè)F2F1M=（0）|MN|等于橢圓短軸的長？F1F2A1A2MN法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 交橢圓于兩點(diǎn)M，N當(dāng)取什么值時(shí)，法3：極坐標(biāo)方程練習(xí)1.圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 42p則橢圓的極坐標(biāo)方程為cos2231322e故023cos法3：極坐標(biāo)方程由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標(biāo)系XF1F2MN得 又因 2121|NFMFMNc

8、os2231cos22312cos8962656或.故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離(2)(2014年新課標(biāo))設(shè)F為拋物線2: y =3xC3037 3A. B.6 C.12 D.的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為300的直線交于C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程若AB為焦點(diǎn)弦，則;cos12|22eepABFAxB23p由題意得離心率 e=1 , 焦參數(shù)030, 0230cos13|AB=12323AFFB 23的離心率為過右焦點(diǎn)F且斜率為 k 的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，則k=A.1 B. C. D.2(3)(2010年全國)已知橢圓C

9、：12222byax若因3AFFB F1F2AB法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程析：由對(duì)稱性，不妨：將右焦點(diǎn)看成是左焦點(diǎn) FBAF3故cos3233cos323pp33cos2tan(4)(2007年重慶)過雙曲線422 yx為1050的直線，交雙曲線于PQ兩點(diǎn)，則|FP|FQ|=_的右焦點(diǎn)F作傾斜角法1：直角坐標(biāo)系普通方程+設(shè)而不求 法2：直角坐標(biāo)系參數(shù)方程+設(shè)而不求 法3：極坐標(biāo)方程FPxQ1050cos212由題意得,離心率為 ,建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則雙曲線的極坐標(biāo)方程為焦參數(shù)為2e故00105cos212105cos212|

10、FQFP02105cos2140210cos43382p2213627xy0122331120P FPP FPP FP213111FPFPFP(5)(2007年重慶簡化)如圖橢圓C：P1，P2，P3是橢圓上任取的三個(gè)不同點(diǎn)且證明：為定值的左焦點(diǎn)為FxFyP1P2P30122331120PFPPFPPFP證明:易得cos29由題意得,離心率為 ,建立的極坐標(biāo)系,則C的極坐標(biāo)方程為焦參數(shù)為21e9p設(shè) )240,(),120,(),(03302211PPP9)240cos(29)120cos(29cos200故 213111FPFPFP32(6)(2012年上海簡化)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知

11、若M、N分別是 C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),且OMON求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓12:221 yxC14:222 yxC析：析： 設(shè))90,(),(021NM|MNONOM 22221122222211在RtMNO中由用面積法得：O到直線MN的距離為222111=常數(shù)二、二、以直角坐標(biāo)系的以直角坐標(biāo)系的x x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系：正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： 即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化即普通方程與極坐標(biāo)方程的互化練習(xí)練習(xí)2.2.以直角坐標(biāo)系的以直角坐標(biāo)系的x x正半軸為極軸的極坐標(biāo)系：正半軸為極軸的極坐標(biāo)系： MNO(6)OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.雙曲線 ，橢圓12

12、:221 yxC14:222 yxC設(shè))90,(),(021NM即 1)90(sin)90(cos402202222|MNONOM 22221122sin3211222sin311,故O到直線MN的距離為222111易得C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為：1sincos222221sincos42222；,將其代入C1、C2的極坐標(biāo)方程得1sincos422221131122213整理得MNO證明：證明：(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b；A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OAOB2211OAOB求證： 為定值求AOB面積的最大和最小值.析 ：由于點(diǎn)的極坐標(biāo)直

13、接表示了：距離和角度 故涉及到長度和角度的問題 采用極坐標(biāo)系往往更簡便析 ：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則橢圓的普通方程為BA012222byax將其化為極坐標(biāo)方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222

14、222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。(7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOB2211OAOB求證： 為定值析 ：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系BA012222byax將其化為極坐標(biāo)方程得 22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossinco

15、ssin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。則橢圓的普通方程為22222222222112122222212222222221111222212

16、222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )( sin )1cossin,A(,), (,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B

17、是定值。2211OAOB故22222222222112122222212222222221111222212222222221111222(cos )(sin )1cossin,A(,),(,),2cossincossin1111cossincossin11aba bbaOAOBBa ba bbabaOAOBbabaa bOAO 即由于可設(shè)則，于是所以，2B是定值。22122122122122cossinsincosbaabab2222baba 雙曲線中有定值2222baba (7)(課本P：15 Ex6)已知橢圓OAOBBA0故當(dāng)且僅當(dāng)求AOB面積的最值.析：依題意得AOB122222222

18、222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，即或 時(shí)，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，即或 時(shí)，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba ba baba b 依題意得當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，即或 時(shí)，有最大值A(chǔ)OB122222222222111122222222121122AOB22211AOB11S=221=2(cossin)cossin1=2sin 2(-)45sin 2144Sabsin 200S2OA OBa bbabaa ba