數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及通項(xiàng)公式的十五種求法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及通項(xiàng)公式的十五種求法一、基本概念1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)二、等差數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差 ，或1、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則有 性質(zhì)： 2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式： 等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：（1） （2） 若等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則 （3）等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）若，則有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足若，則有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足三、等比數(shù)列：從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比1

2、、通項(xiàng)公式及其性質(zhì) 若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則2、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)四、(1)與的關(guān)系：（檢驗(yàn)是否滿足）(2)五、一些方法1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)；前n項(xiàng)和的最大值、最小值2、求通向公式的常見方法 （1）觀察法；待定系數(shù)法（已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列）； （2）累加消元;累乘消元。（3）；（4）化為構(gòu)造等比，化為，分是否等1討論。3、求前n項(xiàng)和的常見方法 公式法、倒序相加、錯(cuò)位相減、列項(xiàng)相消、分組求和一.公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1.等差數(shù)列求和公式：2.等比數(shù)列求和公式： 3.4.5.【例1】已知，求的前項(xiàng)和.解：由由等比數(shù)列求和公式得解析：

3、如果計(jì)算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于的多項(xiàng)式的求和形式，可以直接利用公式.二.錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.【例2】求數(shù)列，(為常數(shù))的前項(xiàng)和.解：若，則若，則若且則當(dāng)時(shí)，此式也成立 解析：數(shù)列是由數(shù)列與對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，(課本中的的等比數(shù)列前項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的)，但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況.三.倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè).【例3】求證：.證明：設(shè).把式

4、右邊倒轉(zhuǎn)過來得 (反序)又由可得.得 (反序相加)解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的.四.分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.【例4】解：按為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)： 五.裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如：1.2.3.4.5.6.，則【例5】求數(shù)列，的前項(xiàng)和.解：=解析：要先觀察通項(xiàng)

5、類型，在裂項(xiàng)求和，而且要注意剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下象上例中的四項(xiàng)，后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系.六.合并求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求.【例6】數(shù)列滿足，求.解：設(shè)由，可得， (找特殊性質(zhì)項(xiàng)) (合并求和)七.拆項(xiàng)求和先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和.n個(gè)5【例7】求數(shù)，的前項(xiàng)和.n個(gè)5解：因?yàn)閚個(gè)5解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別求和.另外：可以拆成：八、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列

6、的通項(xiàng)公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求

7、的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比

8、數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十一、對數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。在式兩邊取常用對?shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，

9、以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十二、迭代法例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。十三、數(shù)學(xué)歸納法例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何

10、都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十四、換元法例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因?yàn)椋蕜t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十五、不動(dòng)點(diǎn)法例14 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根，進(jìn)而